系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)卷積積分.第1頁，共36頁。3．8系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)·卷積積分3．7節(jié)討論了周期激勵作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。在不考慮初始階段的瞬態(tài)振動時，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動。但在許多實際問題中，激勵并非是周期函數(shù)，而是任意的時間函數(shù)，或者是在極短時間間隔內(nèi)的沖擊作用。例如，列車在啟動時各車廂掛鉤之間的沖擊力；火炮在發(fā)射時作用于支承結(jié)構(gòu)的反作用力；地震波以及強(qiáng)烈爆炸形成的沖擊波對房屋建筑的作用；精密儀表在運(yùn)輸過程中包裝箱速度(大小與方向)的突變等。第2頁，共36頁。在這種激勵情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動，而只有瞬態(tài)振動。在激勵停止作用后，振動系統(tǒng)將按固有頻率進(jìn)行自由振動。但只要激勵持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵產(chǎn)生的響應(yīng)也將會無限地持續(xù)下去。系統(tǒng)在任意激勵作用下的振動狀態(tài)，包括激勵作用停止后的自由振動，稱為任意激勵的響應(yīng)，周期激勵是任意激勵的一種特例。第3頁，共36頁。

有多種方法可以確定系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)，這取決于描述激勵函數(shù)的方式。一種方法是用傅里葉積分來表示激勵，它是由傅里葉級數(shù)通過令周期趨近于無窮大的極限過程來得到的。所以，實質(zhì)上激勵不再是周期的。另一種方法是將激勵視為持續(xù)時間非常短的脈沖的疊加，引用卷積積分的方法，對具有任何非齊次項的微分方程，都用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式把解表示出來，而且所得到的解除代表強(qiáng)迫振動外，還包括伴隨發(fā)生的自由振動。第4頁，共36頁。1．脈沖響應(yīng)一單位脈沖輸入，具有零初始條件的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。寬度T0、高度l／T0的矩形脈沖，如圖所示。這個矩形脈沖的面積為1，為了得到單位脈沖，使脈沖寬度T0接近于零，而保持面積為1，在極限情況下，單位脈沖的數(shù)學(xué)定義為第5頁，共36頁。這個脈沖發(fā)生在t=O處，如圖所示。如果單位脈沖發(fā)生在t=a處，則它可由下式定義注意，δ(t-a)是一個沿著時間軸正向移動了a時間的單位脈沖。第6頁，共36頁。具有上述特性的任何函數(shù)(并不一定是矩形脈沖)，都可用來作為一個脈沖，稱為δ函數(shù)。數(shù)學(xué)上，單位脈沖必須具有零脈沖寬度、單位面積和無限的高度。這樣的脈沖模型不可能在現(xiàn)實應(yīng)用中實現(xiàn)，然而在具體系統(tǒng)的脈沖試驗中，若激勵的持續(xù)時間同系統(tǒng)的固有周期(T=1／f)相比非常的短，則激勵就可以考慮為一個脈沖。δ函數(shù)的單位為s-1，在其他方面的情況，δ函數(shù)將有不同的量綱。第7頁，共36頁。如果在t=0與t=a處分別作用有瞬時沖量，則對應(yīng)的脈沖力可方便地寫成式中的單位為N·s?，F(xiàn)在來研究單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力的響應(yīng)，系統(tǒng)振動微分方程為假定系統(tǒng)在脈沖力作用之前處于靜止，即第8頁，共36頁。由于作用在t=0處，對于t≥0+，系統(tǒng)不再受脈沖力的作用，但其影響依然存在。另外，系統(tǒng)對于零初始條件的響應(yīng)，將變成t=O+時的初始條件引起的自由振動。為了找出t=0+時的初始條件，對方程在區(qū)間0-≤t≤O+上積分兩次，有因為第9頁，共36頁。則方程的右端積分兩次為無限小量，可以略去不計。又因為位移x為有限值，所以方程左端第二項和第三項的積分值是無限小量或高一階的無限小量，同樣近似取為零?？紤]到x(O-)=0，則有也就是說，在脈沖力作用的極短時間內(nèi)，質(zhì)量m還來不及發(fā)生位移。第10頁，共36頁。在區(qū)間0-≤t≤O+上積分一次，有現(xiàn)在，只對方程同理，上面方程的右端為，左端的第二項為零，而第三項可以忽略不計，得可見，若系統(tǒng)在脈沖力作用之前靜止，脈沖力使速度產(chǎn)生瞬時變化，則可以認(rèn)為在t=0時作用的脈沖力等效于初始位移x(0)=0和初始速度的初始干擾作用，第11頁，共36頁。所以方程等價于初始條件引起的自由振動，即其解為令，則系統(tǒng)受單位脈沖力F(t)=δ(t)作用，其響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)，即第12頁，共36頁。第13頁，共36頁。2．卷積積分利用脈沖響應(yīng)，可以計算振動系統(tǒng)對任意激勵函數(shù)F(t)的響應(yīng)，把F(t)視為一系列幅值不等的脈沖，用脈沖序列近似地代替激勵F(t)，如圖所示，脈沖的強(qiáng)度由脈沖的面積確定，在任意時刻t=τ處，相應(yīng)的時間增量為△τ，有一個大小為F(τ)△τ的脈沖，相應(yīng)的力的數(shù)學(xué)表達(dá)為F(τ)△τδ(t-τ)。因為在t=τ處對脈沖的響應(yīng)為h(t-τ)，所以脈沖F(τ)△τδ(t-τ)的響應(yīng)為其單位脈沖響應(yīng)和脈沖強(qiáng)度的乘積，即F(τ)△τh(t-τ)。通過疊加，求出序列中每一脈沖引起的響應(yīng)的總和為第14頁，共36頁。第15頁，共36頁。令△τ→0，并取極限，上式表示為積分形式上式稱為卷積積分，又稱為杜哈梅(Duhamel)積分，它將響應(yīng)表示成脈沖響應(yīng)的疊加。這里h(t-τ)是將方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而，將方程中h（t）的t換成t-τ后代入上面方程，得到第16頁，共36頁。上式表示單自由度有阻尼的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)對任意激勵F(t)的響應(yīng)。要注意的是，上面方程是在零初始條件下，對于輸入F(t)得到的系統(tǒng)輸出x(t)。若在t=0時，任意激勵F(t)作用的瞬時，系統(tǒng)的初始位移和初始速度為則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵和初始條件引起的響應(yīng)的疊加，即第17頁，共36頁。積分式中的脈沖響應(yīng)被推遲或移動了時間t-τ，也可以移動激勵函數(shù)F(t)來代替脈沖響應(yīng)的移動而導(dǎo)出一個相似的式子。令t-τ=u則-dr=du，此外考慮式中的積分限界，當(dāng)τ=0時，u=t，當(dāng)τ=t時，u=0，將其代入式中，得到式上式為卷積積分的另一種表達(dá)形式。式中的τ和式中的u只是積分變量，可見卷積積分對于激勵F(t)和脈沖響應(yīng)h(t)是對稱的，即第18頁，共36頁。卷積積分在線性系統(tǒng)研究中是一個有力的工具。雖然式不便于筆算，但是用計算機(jī)可以容易地進(jìn)行計算。第19頁，共36頁。例3．8-1設(shè)一單自由度無阻尼系統(tǒng)受到的簡諧激勵如下：試用卷積積分計算其響應(yīng)。解：在方程中，令ζ=0，ωd=ωn，則第20頁，共36頁。為當(dāng)t<O時沒有激勵，所以其響應(yīng)應(yīng)該寫成下面的形式上式右端第一項代表強(qiáng)迫振動，它是按激勵頻率ω進(jìn)行的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，即使振動系統(tǒng)有阻尼也并不衰減；第二項是按固有頻率ωn進(jìn)行的自由振動，只要振動有極微小的阻尼就會迅速衰減，所以是瞬態(tài)振動。應(yīng)用卷積積分，則穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動可同時得出。第21頁，共36頁。例3.8—2試確定單自由度無阻尼系統(tǒng)在零初始條件下對圖中激勵函數(shù)的響應(yīng)。解：由圖可得激勵函數(shù)為由方程得到第22頁，共36頁。第23頁，共36頁。例3.8—3如圖所示為一質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，箱子由高h(yuǎn)處靜止自由下落，當(dāng)箱子觸到地面時，試求傳遞到質(zhì)量m上的最大力是多少?假定質(zhì)量m和箱子之間有足夠的間隙，不會碰撞。解：設(shè)x與y分別代表質(zhì)量m與箱子的絕對位移，在自由下落過程中，質(zhì)量m的運(yùn)動微分方程為以z=x-y代表質(zhì)量m相對于箱子的相對位移，有第24頁，共36頁。式中假定箱子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于質(zhì)量m，因而可以認(rèn)為質(zhì)量m的運(yùn)動不影響箱子的自由下落。由于箱子是由高h(yuǎn)處自由下落，故有由卷積積分有第25頁，共36頁。因而這就是在箱子著地前質(zhì)量m相對于箱子的位移與速度。設(shè)箱子著地的瞬時為t1，由自由落體知就在瞬時t1之前，質(zhì)量m的相對位移和相對速度為第26頁，共36頁。同時箱子的速度為由于箱子著地后即靜止在地面上，不回跳。在箱子著地的瞬間，質(zhì)量m相對箱子的位移與速度分別為第27頁，共36頁。改取瞬時t1為初始瞬時，則箱子著地后質(zhì)量m相對箱子作自由振動，其相對運(yùn)動方程為式中第28頁，共36頁。通過彈簧傳遞到質(zhì)量m上的最大力等于kA，即3．單位階躍響應(yīng)作為卷積積分的一種應(yīng)用，現(xiàn)在來計算單自由度阻尼系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應(yīng)。如圖所示的單位階躍函數(shù)在數(shù)學(xué)上可以定義為第29頁，共36頁。顯然，函數(shù)在t=a處有一突變，其值從O跳到1。如果突變發(fā)生于t=0處，那么這一函數(shù)可以簡單地寫成u(t)。單位階躍函數(shù)是無量綱的函數(shù)。于是當(dāng)一個任意函數(shù)F(t)與單位階躍函數(shù)u(t-a)相乘時，F(xiàn)(t)u(t-a)相對于t<a的部分等于零，而其余t>a的部分則不受影響，即單位階躍函數(shù)u(t-a)與脈沖函數(shù)δ(t-a)之間存在著密切的關(guān)系，即第30頁，共36頁。反過來，則δ(t-a)可以視為u(t-a)對時間的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)對在t=0處所作用的單位階躍函數(shù)u(t)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，用g(t)表示。將F(τ)=u(τ)代入卷積積分，可得單位階躍響應(yīng)考慮到第31頁，共36頁。因而積分可以改寫成令t-τ=a，dτ=-da，并互換積分的限界后，積分成為作一些代數(shù)運(yùn)算后，并注意到方程簡化為第32頁，共36頁。式中單位階躍函數(shù)u(t)表明t<0時g(t)=0。g(t)對t的曲線如圖所示。上式也可以變換為式中第33頁，共36頁。這說明突加單位力不僅使彈簧產(chǎn)生靜變形