2.4函數(shù)與方程教學(xué)設(shè)計-2025-2026學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修1-人教B版2004學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具設(shè)計思路本節(jié)課以人教B版必修1教材為依據(jù)，針對高中數(shù)學(xué)2.4函數(shù)與方程的內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計。課程將緊密結(jié)合教材內(nèi)容，注重學(xué)生對函數(shù)概念、性質(zhì)和方程求解方法的理解與掌握，通過實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。同時，注重教學(xué)方法的多樣性，如小組討論、合作學(xué)習(xí)等，以提高教學(xué)效果。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，通過函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)，理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實問題的能力。增強邏輯推理意識，通過方程求解過程，鍛煉學(xué)生邏輯推理和演繹能力。提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生解決實際問題的能力。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點，

①理解函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，掌握函數(shù)的定義域、值域和圖像特征。

②掌握一元二次方程的解法，包括公式法、配方法和因式分解法，并能靈活運用。

③能夠根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，并利用函數(shù)知識解決實際問題。

2.教學(xué)難點，

①函數(shù)概念的理解與抽象，特別是函數(shù)的定義域和值域的確定。

②方程求解中的復(fù)雜情況分析，如方程的判別式、根的性質(zhì)等。

③不同類型方程的解法之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及在實際問題中的應(yīng)用。

④在實際問題中如何正確建立數(shù)學(xué)模型，以及如何將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為方程進行求解。教學(xué)資源軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、白板、粉筆、黑板擦。

課程平臺：學(xué)校網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺、教學(xué)資源庫。

信息化資源：函數(shù)圖像生成軟件、在線數(shù)學(xué)工具、教學(xué)視頻資源。

教學(xué)手段：實物模型、教學(xué)卡片、課堂練習(xí)題。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念，了解了函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像。今天，我們將進一步探討函數(shù)與方程的關(guān)系，學(xué)習(xí)如何利用方程來研究函數(shù)的性質(zhì)。

（學(xué)生）好的，老師。

二、新課講解

1.函數(shù)與方程的關(guān)系

（教師）同學(xué)們，我們先來回顧一下函數(shù)的定義：給定一個非空數(shù)集A，按照某個對應(yīng)規(guī)則f，對于A中的任意一個數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)。這個對應(yīng)規(guī)則f可以表示為一個方程。那么，函數(shù)與方程之間有什么關(guān)系呢？

（學(xué)生）函數(shù)可以通過方程來表示，方程也可以通過函數(shù)來描述。

（教師）很好，函數(shù)與方程是相互關(guān)聯(lián)的。接下來，我們通過一些例子來具體看看它們之間的關(guān)系。

2.一元二次方程的解法

（教師）現(xiàn)在，我們來看一個一元二次方程的例子：x^2-5x+6=0。這是一個典型的二次方程，我們可以通過以下幾種方法來求解它。

（學(xué)生）公式法、配方法和因式分解法。

（教師）非常好。我們先來嘗試使用公式法。根據(jù)一元二次方程的求根公式，我們有：

x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

在這個例子中，a=1，b=-5，c=6。我們將這些值代入公式，計算出方程的解。

（學(xué)生）計算后，我們得到x1=2，x2=3。

（教師）很好，接下來我們嘗試配方法。首先，我們需要將方程左邊化為完全平方形式。通過移項和配方，我們可以得到：

(x-2.5)^2=0.25

然后，我們可以直接解出x的值。

（學(xué)生）經(jīng)過計算，我們得到x1=x2=2.5。

（教師）最后，我們嘗試因式分解法。我們需要找到兩個數(shù)，它們的乘積等于ac，它們的和等于b。在這個例子中，a=1，b=-5，c=6。我們可以找到兩個數(shù)-2和-3，它們的乘積等于-6，和等于-5。因此，我們可以將方程因式分解為：

(x-2)(x-3)=0

然后，我們分別解出x的值。

（學(xué)生）經(jīng)過計算，我們得到x1=2，x2=3。

（教師）同學(xué)們，通過這三種方法，我們都得到了方程的解。在實際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)具體情況選擇合適的方法。

3.函數(shù)與方程在實際問題中的應(yīng)用

（教師）接下來，我們來看一個實際問題。假設(shè)一個長方體的長是x厘米，寬是x-2厘米，高是x-4厘米。已知長方體的體積是200立方厘米，請求出長方體的長、寬和高。

（學(xué)生）我們可以建立一個方程來表示體積，即x(x-2)(x-4)=200。然后，我們可以通過解方程來求解長方體的長、寬和高。

（教師）很好，同學(xué)們能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并利用方程求解。這個過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要作用。

三、課堂練習(xí)

（教師）現(xiàn)在，請同學(xué)們完成以下練習(xí)題，鞏固今天所學(xué)的內(nèi)容。

1.求解方程：x^2-6x+9=0。

2.已知函數(shù)f(x)=2x-3，求f(4)。

3.一個等腰三角形的底邊長是8厘米，腰長是x厘米。已知三角形的面積是24平方厘米，求三角形的腰長。

（學(xué)生）好的，老師。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握了一元二次方程的解法，并探討了函數(shù)與方程在實際問題中的應(yīng)用。希望大家能夠通過今天的課堂學(xué)習(xí)，提高自己的數(shù)學(xué)思維能力。

（學(xué)生）謝謝老師，我們明白了。

五、布置作業(yè)

（教師）請同學(xué)們課后完成以下作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。

1.完成課本第123頁的練習(xí)題。

2.思考：函數(shù)與方程在生活中有哪些應(yīng)用？

（學(xué)生）好的，老師。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-函數(shù)圖像的動態(tài)變化：介紹如何使用幾何畫板或類似的數(shù)學(xué)軟件來動態(tài)展示函數(shù)圖像的變化，讓學(xué)生直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。

-方程求解的歷史與發(fā)展：簡要介紹方程求解的歷史背景，從古代的代數(shù)問題到現(xiàn)代的計算機求解方法，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的興趣。

-應(yīng)用數(shù)學(xué)案例：提供一些實際生活中的數(shù)學(xué)案例，如物理學(xué)中的運動方程、經(jīng)濟學(xué)中的供需方程等，讓學(xué)生了解函數(shù)與方程在各個領(lǐng)域的應(yīng)用。

2.拓展建議：

-幾何畫板使用：建議學(xué)生利用幾何畫板軟件，繪制不同類型的函數(shù)圖像，觀察函數(shù)圖像的變化規(guī)律，加深對函數(shù)性質(zhì)的理解。

-數(shù)學(xué)史研究：鼓勵學(xué)生查閱相關(guān)資料，了解方程求解的歷史發(fā)展，撰寫一篇關(guān)于數(shù)學(xué)史的小論文，提高學(xué)生的研究能力。

-實際案例分析：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識，分析實際案例中的數(shù)學(xué)問題，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，并運用方程求解，提升學(xué)生的實際問題解決能力。

-小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進行小組討論，共同解決一些具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的團隊協(xié)作能力和溝通能力。

-數(shù)學(xué)競賽準備：對于有興趣參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生，提供一些競賽題目和解答技巧，幫助他們提高數(shù)學(xué)競賽水平。

-在線學(xué)習(xí)資源：推薦一些優(yōu)質(zhì)的在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺，如KhanAcademy、Coursera等，讓學(xué)生在課外進行自主學(xué)習(xí)，拓寬知識面。

-數(shù)學(xué)閱讀：推薦一些數(shù)學(xué)讀物，如《數(shù)學(xué)之美》、《數(shù)學(xué)家的眼光》等，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。典型例題講解1.例題：已知函數(shù)f(x)=2x+1，求函數(shù)的值域。

解答：由于函數(shù)f(x)=2x+1是一個一次函數(shù)，其圖像是一條直線。直線上的任意一點(x,y)都滿足y=2x+1，因此，函數(shù)的值域為所有可能的y值。由于直線斜率為正，隨著x的增大，y也增大，因此值域為(-∞,+∞)。

2.例題：解方程x^2-4x+3=0。

解答：這是一個一元二次方程，我們可以使用因式分解法來解它。首先，找到兩個數(shù)，它們的乘積等于ac（即3），它們的和等于b（即-4）。這兩個數(shù)是-1和-3。因此，我們可以將方程因式分解為：

(x-1)(x-3)=0

然后解出x的值：

x-1=0或x-3=0

x=1或x=3

所以，方程的解是x1=1，x2=3。

3.例題：已知函數(shù)f(x)=3x^2-2x-1，求函數(shù)在x=2時的導(dǎo)數(shù)。

解答：為了求函數(shù)在x=2時的導(dǎo)數(shù)，我們需要先對函數(shù)f(x)=3x^2-2x-1求導(dǎo)。使用導(dǎo)數(shù)的基本公式，我們得到：

f'(x)=6x-2

現(xiàn)在將x=2代入導(dǎo)數(shù)公式中：

f'(2)=6*2-2=12-2=10

所以，函數(shù)在x=2時的導(dǎo)數(shù)是10。

4.例題：一個等腰三角形的底邊長是6厘米，腰長是x厘米。已知三角形的面積是18平方厘米，求三角形的腰長。

解答：等腰三角形的面積可以用公式A=(底邊長*高)/2來計算。由于底邊長是6厘米，我們可以設(shè)高為h厘米。那么，面積公式變?yōu)椋?/p>

18=(6*h)/2

解這個方程得到h的值：

h=18*2/6=6

由于等腰三角形的高是腰長的平方根的兩倍，我們可以使用勾股定理來求腰長。設(shè)腰長為x，則有：

x^2=h^2+(底邊長/2)^2

x^2=6^2+(6/2)^2

x^2=36+9

x^2=45

x=√45

x=3√5

所以，三角形的腰長是3√5厘米。

5.例題：已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求函數(shù)的極值點。

解答：為了找到函數(shù)的極值點，我們需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對函數(shù)f(x)=x^3-3x求導(dǎo)，得到：

f'(x)=3x^2-3

將導(dǎo)數(shù)設(shè)為0，解方程找到極值點：

3x^2-3=0

x^2=1

x=±1

我們需要檢驗這兩個點是否是極值點。我們可以通過第二導(dǎo)數(shù)測試或者導(dǎo)數(shù)的符號變化來判斷。這里我們使用導(dǎo)數(shù)的符號變化方法。當x<-1時，f'(x)<0；當-1<x<1時，f'(x)>0；當x>1時，f'(x)<0。因此，x=-1是局部極大值點，x=1是局部極小值點。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的關(guān)系，重點講解了函數(shù)的定義域、值域、圖像特征以及一元二次方程的解法。通過實際例題的講解，同學(xué)們應(yīng)該掌握了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并利用方程求解。以下是對今天所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)：

1.函數(shù)與方程的關(guān)系：函數(shù)可以通過方程來表示，方程也可以通過函數(shù)來描述。一元二次方程是函數(shù)圖像與x軸交點的具體體現(xiàn)。

2.一元二次方程的解法：包括公式法、配方法和因式分解法。學(xué)生需要熟練掌握這些方法，并能根據(jù)具體情況選擇合適的方法。

3.函數(shù)的圖像特征：函數(shù)的圖像可以直觀地展示函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。

4.函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：學(xué)生需要學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并利用函數(shù)知識解決實際問題。

當堂檢測：

1.已知函數(shù)f(x)=2x-3，求f(4)。

答案：f(4)=2*4-3=8-3=5

2.解方程x^2-5x+6=0。

答案：x1=2，x2=3

3.已知函數(shù)f(x)=3x^2-2x-1，求函數(shù)在x=2時的導(dǎo)數(shù)。

答案：f'(2)=6*2-2=12-2=10

4.一個等腰三角形的底邊長是8厘米，腰長是x厘米。已知三角形的面積是24平方厘米，求三角形的腰長。

答案：三角形的腰長是3√5厘米

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求函數(shù)的極值點。

答案：極值點為x=-1（局部極大值點）和x=1（局部極小值點）教學(xué)反思九、教學(xué)反思

今天的數(shù)學(xué)課，我們一起探討了函數(shù)與方程的關(guān)系，這是一個非常重要且基礎(chǔ)的知識點。我想，通過這節(jié)課，我有以下幾點反思：

首先，我注意到學(xué)生們對于函數(shù)的定義和性質(zhì)的理解相對較好，但當他們面對一元二次方程的解法時，有些學(xué)生顯得有些吃力。這讓我意識到，對于一些較難的概念和技巧，我可能需要更加細致地講解和示范。例如，在解方程x^2-5x+6=0時，我花了較多時間講解了因式分解的步驟，但我發(fā)現(xiàn)，對于如何識別合適的因式分解形式，學(xué)生們的掌握程度并不一致。因此，我考慮在未來的教學(xué)中，可以提供更多的練習(xí)和案例，讓學(xué)生在實踐中逐步提高。

其次，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在解決實際問題時，能夠很好地將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，但他們在運用方程求解時，往往容易忽略方程的解的合理性。例如，在解等腰三角形的問題時，有些學(xué)生會直接將面積公式應(yīng)用于底邊長為0的情況，這是不合理的。這說明我需要更加強調(diào)方程求解的實際意義和適用條件，讓學(xué)生明白每一個解都是基于現(xiàn)實情境的。

再者，我在課堂上嘗試了多種教學(xué)手段，如實物模型、小組討論和在線資源等，這些方法在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然而，我也發(fā)現(xiàn)，在小組討論環(huán)節(jié)，部分學(xué)生參與度不高，可能是由于他們對某些概念的理解還