2025成年人數(shù)學(xué)圓錐曲線計(jì)算考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)4.若拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)上一點(diǎn)\((5,m)\)到焦點(diǎn)的距離為6，則\(p\)的值為（）A.2B.4C.6D.85.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的一個(gè)焦點(diǎn)為\(F(1,0)\)，且\(a=2b\)，則橢圓方程為（）A.\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1\)6.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.\(a\)B.\(2a\)C.\(b\)D.\(2b\)7.拋物線\(x^2=-4y\)的準(zhǔn)線方程是（）A.\(y=1\)B.\(y=-1\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)8.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)上一點(diǎn)\(P\)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則\(P\)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.5B.7C.8D.109.雙曲線\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)的焦距為（）A.3B.6C.9D.1210.拋物線\(y=\frac{1}{8}x^2\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,2)\)B.\((0,\frac{1}{32})\)C.\((2,0)\)D.\((\frac{1}{32},0)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于圓錐曲線的有（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質(zhì)正確的有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.離心率\(e\in(0,1)\)D.焦點(diǎn)在\(y\)軸上3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的性質(zhì)正確的有（）A.實(shí)軸長(zhǎng)\(2a\)B.虛軸長(zhǎng)\(2b\)C.漸近線方程\(y=\pm\frac{a}x\)D.離心率\(e\gt1\)4.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的性質(zhì)正確的有（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\frac{p}{2},0)\)B.準(zhǔn)線方程\(x=-\frac{p}{2}\)C.開(kāi)口向右D.離心率\(e=1\)5.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(a=3\)B.\(b=2\)C.焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\pm\sqrt{5},0)\)D.離心率\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)6.雙曲線\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(a=4\)B.\(b=3\)C.漸近線方程\(y=\pm\frac{3}{4}x\)D.離心率\(\frac{5}{4}\)7.拋物線\(x^2=4y\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)\((0,1)\)B.準(zhǔn)線方程\(y=-1\)C.開(kāi)口向上D.離心率\(e=1\)8.橢圓的離心率\(e\)的大小會(huì)影響橢圓的（）A.形狀B.大小C.焦點(diǎn)位置D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)度9.雙曲線的漸近線與雙曲線的關(guān)系是（）A.漸近線無(wú)限接近雙曲線B.漸近線與雙曲線相交C.漸近線決定雙曲線開(kāi)口大小D.漸近線與雙曲線離心率有關(guān)10.拋物線\(y^2=-8x\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)\((-2,0)\)B.準(zhǔn)線方程\(x=2\)C.開(kāi)口向左D.離心率\(e=1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）2.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率\(e\lt1\)。（）3.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)在\(x\)軸正半軸。（）4.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定大于短軸長(zhǎng)。（）5.雙曲線的漸近線是雙曲線的一部分。（）6.拋物線\(x^2=2py(p\gt0)\)的準(zhǔn)線方程是\(y=-\frac{p}{2}\)。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點(diǎn)在\(x\)軸上。（）8.雙曲線\(\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1}=1\)的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等。（）9.拋物線\(y=ax^2(a\neq0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,\frac{1}{4a})\)。（）10.橢圓離心率越大，橢圓越扁。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率。-答案：\(a^2=25\)，\(a=5\)；\(b^2=9\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4\)。焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\pm4,0)\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。2.求雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程。-答案：對(duì)于雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，\(a=3\)，\(b=4\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，即\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。3.已知拋物線\(y^2=12x\)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。-答案：\(2p=12\)，\(p=6\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)\((\frac{p}{2},0)\)即\((3,0)\)，準(zhǔn)線方程\(x=-\frac{p}{2}=-3\)。4.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a=4\)，\(c=2\)，求\(b\)的值和離心率。-答案：由\(c^2=a^{2}-b^{2}\)，\(b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓和雙曲線在性質(zhì)上的異同點(diǎn)。-答案：相同點(diǎn)：都有焦點(diǎn)、離心率等概念。不同點(diǎn)：橢圓離心率\(e\in(0,1)\)，封閉曲線；雙曲線離心率\(e\gt1\)，不封閉。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)等，雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)等，且雙曲線有漸近線，橢圓沒(méi)有。2.如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷其開(kāi)口方向？-答案：對(duì)于\(y^2=2px(p\gt0)\)，開(kāi)口向右；\(y^2=-2px(p\gt0)\)，開(kāi)口向左；\(x^2=2py(p\gt0)\)，開(kāi)口向上；\(x^2=-2py(p\gt0)\)，開(kāi)口向下。即看\(x\)、\(y\)的平方項(xiàng)系數(shù)正負(fù)判斷開(kāi)口方向。3.探討橢圓離心率的大小對(duì)橢圓形狀的具體影