專題4幾何最值之瓜豆原理初中數(shù)學(xué)有一類動態(tài)問題叫做主從聯(lián)動，這類問題應(yīng)該說是非常出題，好多優(yōu)秀老師都在研究它，原因是它在很多名校?？嫉臅r候經(jīng)常出現(xiàn)，有的老師叫他瓜豆原理，個人理解可能是種瓜得瓜種豆得豆的意思吧，主動點運動的軌跡是什么，則從動點的軌跡就是什么。也有的老師叫他旋轉(zhuǎn)相似，或者手拉手。我感覺這類問題在解答的時候需要有軌跡思想，就是先要明確主動點的軌跡，然后要搞清楚主動點和從動點的關(guān)系，進而確定從動點的軌跡來解決問題，但在解答問題時，要符合解不超綱的原則，所以最后解決問題還是用到了旋轉(zhuǎn)相似的知識，也就是動態(tài)手拉手模型，下面整理一些題目來集中訓(xùn)練一下這類題目，希望對你能有所幫助.涉及的知識和方法：知識：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點到直線之間的距離垂線段最短；④點到圓上點共線有最值。方法：第一步：找主動點的軌跡；第二步：找從動點與主動點的關(guān)系；第三步：找主動點的起點和終點；第四步：通過相似確定從動點的軌跡，第五步：根據(jù)軌跡確定點線、點圓最值在此類題目中，題目或許先描述的是主動點P，但最終問題問的可以是另一點Q（從動點），根據(jù)P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點出發(fā)探討Q點運動軌跡并求出最值。一、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？分析當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．引例如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？分析當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．模型總結(jié)必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）確定動點軌跡的方法（重點）=1\*GB3①當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；=2\*GB3②當(dāng)某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；例1．如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．例2．如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點，點在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．模型二、運動軌跡為圓弧模型2-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？分析：如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型2-2.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意時刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型2-3.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型2-4.為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱P為“主動點”，Q為“從動點”。此類問題的兩個必要條件：①主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；②主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP：AQ是定值）。分析：如圖，連結(jié)AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意時刻均有△APO∽△AQM。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。特別注意：很多題目中主動點的運動軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。（1）定義型：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。（2）定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。例3.如圖，點，半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，則的最小值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3例4．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

【鞏固練習(xí)】1. 如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F，有甲、乙、丙三名同學(xué)同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙2. 如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．4. 如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．6. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．7. 點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝8，BC＝6，點D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM的長度的最大值為.9. 如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為.10. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為.11. 如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．12. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？13. 如圖，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120o，C是在上的動點，以BC為邊作正方形BCDE，當(dāng)點C從點A移動至點B時，求點D運動的路徑長？14. 如圖，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點P在△ABC邊上運動一周時，求點Q的軌跡形成的封閉圖形面積是多少？15. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，軸于點M，交直線于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30o，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當(dāng)點P從點O運動到點N時，求點B的運動路徑長？16．如圖，矩形中，，，點E在線段上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點E從點B運動到點C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．17．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，，是上一動點，則的最小值為_________（2）問題探究：如圖②，在正方形中，，點是平面上一點，且，連接，在上方作正方形，求的最大值．（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運會，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對一正方形區(qū)域進行設(shè)計改造，方使大家鍛煉運動．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計等腰直角為健身運動區(qū)域，直角頂點E設(shè)計在草坪區(qū)域扇形的弧上．設(shè)計鋪設(shè)和這兩條不同造價鵝卵石路，已知米，米，，，若鋪設(shè)路段造價為每米200元，鋪設(shè)路段的造價為每米100元，請求出鋪設(shè)和兩條路段的總費用的最小值．

18．（2024·吉林長春·二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，的半徑為2，點是外的一個定點，．點在上，作點關(guān)于點的對稱點，連接、．當(dāng)點在上運動一周時，試探究點的運動路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②，延長至點，使，連接，通過證明，可推出點的運動路徑是以點為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：延長至點，使，連接．1°當(dāng)點在直線外時，證明過程缺失2°當(dāng)點在直線上時，易知．綜上，點的運動路徑是以點為圓心、2為半徑的圓．請你補全證明中缺失的過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形中，點分別為邊的中點，連接，點是中點，點是線段上的任意一點，．點是平面內(nèi)一點，，連接．作點關(guān)于點的對稱點，連接．（1）當(dāng)點是線段中點時，點的運動路徑長為________________．（2）當(dāng)點在線段上運動時，連接．設(shè)線段長度的最大值為，最小值為，則________________．參考答案例1．如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．例2．如圖，四邊形為矩形，對角線與相交于點，點在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，先根據(jù)面積法可計算的長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：是一個定點，的軌跡為中垂線上的一部分，所以垂線段最短，可知的長是的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，是一個定點，的軌跡為中垂線上的一部分，如下圖所示，過點作于，過點作于，過點作于，所以垂線段最短，則的最小值為的值，，，，中，，，，，，即的最小值為．故答案為：．例3.如圖，點，半徑為2，，，點是上的動點，點是的中點，則的最小值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】A【分析】本題考查了坐標與圖形、三角形中位線定理、勾股定理，連接交于，連接，由題意得出是的中位線，則，從而得到當(dāng)最小值，最小，即當(dāng)運動到時，最小，此時也為最小，求出的長即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接交于，連接，∵，，∴，，∴，，∵點是的中點，∴，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)最小值，最小，∴當(dāng)運動到時，最小，此時也為最小，∵，∴的最小值為，故選：A．例4．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

【答案】【分析】通過證可得，由勾股定理可得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求AF的最小值即可；【詳解】解：如圖，取CD中點G，連接AE、GF、AG，

∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°，∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，∵，∴，∴，又AE=1，解得，由勾股定理可得，，由三邊的關(guān)系可得，AF的最小值為：AG-GF=；故答案為：.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】1. 如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F，有甲、乙、丙三名同學(xué)同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙【解答】B【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，甲行走的距離是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；乙行走的距離是AF＋EF＋EC＋CD；丙行走的距離是AF＋FC＋CD，∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即順序是甲丙乙，故選B．2. 如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．【解答】1.5【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．∵C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F，以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作圓，即為點C軌跡，如圖所示：由題中數(shù)據(jù)可知OP＝5，又∵點A、F分別是OB、BP的中點，∴AF是△BPO的中位線，∴AF＝2.5，當(dāng)M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、O三點共線，∴AC＝2.5－1＝1.5.3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．【解答】π【解析】當(dāng)點P位于弧AB的中點時，M為AB的中點，，設(shè)分別為AC、BC的中點，連接交CP于點O，如圖所示：∵，當(dāng)點P沿半圓從點A運動至點B時，點M的運動路徑是以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓，如圖藍色半圓，∴點M的運動路徑長為π.4. 如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．【解答】【解析】法一、∵OE＝2，∴點E可以看成是在以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓上運動，延長BA至點P，使得AP＝OC，連接PE，如圖所示：∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，當(dāng)O、E、P三點共線時，PE的值最小，，，∴OF的最小值是.法二、E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO＝2，故E點軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓．考慮DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F(xiàn)點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．5. △ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．【解答】【解析】如圖，以AO為直角邊作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90o，則AO＝FO，，∵四邊形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90o，∵∠BOC＝∠AOF＝90o，∴∠AOB＝∠COF，∴△AOB≌△FOC，∴CF＝AB＝4，若點A、C、F三點不共線時，AF＜AC＋CF，若點A、C、F三點共線時，AF＝AC＋CF，∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值是6，∵，∴AO的最大值是；法二、考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．根據(jù)AC＝2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓．接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心．連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．6. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．【解答】【分析】根據(jù)∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：AP:AB＝，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為．7. 點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.【分析】動點C可看作是由主動點A繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到的，所說點C所在的圖像必然也是雙曲線.【解答】【解析】連接OC，作CD⊥軸于點D，AE⊥軸于點E，如圖所示：設(shè)點A的坐標為，∵A、B兩點是正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點，∴點A與點B關(guān)于原點對稱，∴OA＝OB，∵△ABC為等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC＋∠AOE＝90o，∵∠DOC＋∠DCO＝90o，∴∠DCO＝∠AOE，在△COD與△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），，，∴點C在反比例函數(shù)的圖像上.8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝8，BC＝6，點D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM的長度的最大值為.【分析】本題即可用中點模型處理（詳見本專輯的專題02中點模型），也可以用瓜豆原理得到點M的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點到圓的距離問題，然后求解.【解答】7【解析】法一、中點模型取AB的中點E，連接EM、CE，如圖所示：在Rt△ABC中，，∵E是Rt△ABC斜邊上的中點，∴CE＝5，∵M是BD的中點，E是AB的中點，，∴在△CEM中，，即，∴CM的長度最大值為7.法二、瓜豆原理由M為BD的中點，結(jié)合瓜豆原理內(nèi)容可得點M的軌跡是一個圓，如圖所示，M點的軌跡就是由圓A以定點B為位似中心，以為位似比縮小來的.∴圓E的半徑為2，當(dāng)C、E、M三點共線時，CM的長度最大，∵E是Rt△ABC斜邊的中點，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7.9. 如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為.【解答】6【解析】法一、連接AM、CM，如圖所示：∵△ACD為等邊三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60o，∵四邊形DCFE是矩形，點M是DF的中點，∴DM＝CM，在△ADM與△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，∵∠DAC＝60o，∴∠ACM＝30o，∴當(dāng)BM⊥AM時，MB有最小值，此時.法二、如圖所示∵∠FCB＝30o，∴F的路徑是定射線DF，又∵點M是DF的中點，∴，∵D點為定點，F(xiàn)點為主動點，M點為從動點，由瓜豆原理內(nèi)容可知M點的路徑亦是一條射線，取CD的中點N，連接NM并延長，則射線NM就是M點的路徑，且NM∥CF，作BG⊥NM于點G，交CF于點H，則BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6，∴線段BM的最小值即為BG，最小值為6.10. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為.【解答】【解析】由題意可知C為定點，D點為主動點，路徑為線段AB，點E為從動點，∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45o，，結(jié)合瓜豆原理內(nèi)容可知從動點E的路徑為一條線段，可以看成是由線段AB先繞著定點C逆時針旋轉(zhuǎn)45o，再以定點C為位似中心，以為位似比縮小來的，如圖，將BE的最小距離轉(zhuǎn)化為點到線的最小距離（點B到的最短距離），由旋轉(zhuǎn)相似可得，，，在中，有，則，∴線段BE的最小值為.11. 如圖，在平面直角坐標系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．【解答】【解析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當(dāng)點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當(dāng)點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．根據(jù)∠ABP＝60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2＝OA＝3，所以．12. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？【解答】【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡．CG最小值即當(dāng)CG⊥的時候取到，作CH⊥于點H，CH即為所求的最小值．根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．過點E作EF⊥CH于點F，則HF＝＝1，，所以，因此CG的最小值為．13. 如圖，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120o，C是在上的動點，以BC為邊作正方形BCDE，當(dāng)點C從點A移動至點B時，求點D運動的路徑長？【解答】【解析】將圓O補充完整，延長BO交圓O于點F，取的中點H，連接FH、HB、BD，如圖所示：由題意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90o，∵∠FDB＝45o＝∠FHB，∴點D在圓H上運動，軌跡如圖中藍色虛線，∴∠HFG＝∠HCF＝15o，∴∠FHG＝150o，∴∠CHB＝120o，∴，∴點D的運動路徑長度為.14. 如圖，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點P在△ABC邊上運動一周時，求點Q的軌跡形成的封閉圖形面積是多少？【解答】3【解析】根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ＝，可得P點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，△ABC面積為1/2×3×4＝6，故Q點軌跡形成的封閉圖形面積為3．15. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，軸于點M，交直線于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30o，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當(dāng)點P從點O運動到點N時，求點B的運動路徑長？【解答】【解析】由題意可知，點N在直線上，于點M，則△OMN是等腰直角三角形，∴，如圖1，設(shè)動點P在O點（起點）時，點B的位置為，動點P在N點（終點）時，點B的位置為，連接，，又∵，，相似比為，，如圖2，當(dāng)點P運動至ON上任意一點時，設(shè)其對應(yīng)的點B為，連接AP、、，∵，∵，，，又，，∴點在線段上，即線段就是點B運動的路徑，綜上所述，點B運動的路徑是線段，其長度為.16．如圖，矩形中，，，點E在線段上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證：；(2)連接，點E從點B運動到點C的過程中，試探究是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；（2）過點作于點，于交點為，根據(jù)全等和勾股定理，得出，點在射線上運動，當(dāng)點與點重合時，有最小值，證明，得出，，進而得到，再證明，求出的長，即可得到的最小值．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，在和中，，，（2）解：存在，理由如下：如圖，過點作于點，于交點為，在矩形中，，，，，，，，，點在射線上運動，當(dāng)點與點重合時，有最小值，，，，，，，，，，，，，，即的最小值為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次根式的混合運算，最短線段等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，，是上一動點，則的最小值為_________（2）問題探究：如圖②，在正方形中，，點是平面上一點，且，連接，在上方作正方形，求的最大值．（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運會，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對一正方形區(qū)域進行設(shè)計改造，方使大家鍛煉運動．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計等腰直角為健身運動區(qū)域，直角頂點E設(shè)計在草坪區(qū)域扇形的弧上．設(shè)計鋪設(shè)和這兩條不同造價鵝卵石路，已知米，米，，，若鋪設(shè)路段造價為每米200元，鋪設(shè)路段的造價為每米100元，請求出鋪設(shè)和兩條路段的總費用的最小值．

【答案】（1）（2）的最大值是（3）鋪設(shè)兩條路段總費用的最小值為10000元【分析】（1）以為斜邊構(gòu)造的直角三角形，則，求的值即可；（2）根據(jù)題意確定E點的運動軌跡，進而得出最大時點E的位置，求出即可；（3）根據(jù)費用的關(guān)系可求出線段的最小值即可．【詳解】解：（1）以為斜邊構(gòu)造的直角，且，此時，則，則當(dāng)P、B、E在同一直線上時有最小值為，如下圖：

即的最小值為如圖所示的長度，，，，，，，又四邊形為矩形，，，，；（2）為動點且，點E的運動軌跡為以C為圓心，半徑為1的圓