立體幾何專題二空間幾何體8.5空間幾何體及其表面積和體積知識點1

空間幾何體的定義和特征1.

多面體（1）多面體由若干個平面多邊形圍成的封閉的幾何體稱為多面體.圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的面，相鄰的兩個面的公共邊稱為多面體的

棱，棱與棱的公共點叫作多面體的頂點.（2）棱柱①概念：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個面的交線都互

相平行的多面體叫作棱柱.棱柱的兩個互相平行的面稱為棱柱的底面；其余各面稱為棱柱的側(cè)面；相鄰兩個

側(cè)面的公共邊稱為棱柱的側(cè)棱；側(cè)棱與底面的交點叫作棱柱的頂點；不在同一平

面上的兩個頂點的連線叫作棱柱的對角線；兩個底面間的距離稱為棱柱的高.②直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為直棱柱.③斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱.④正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.⑤正棱柱的主要性質(zhì)：a.兩個底面是平行且全等的正多邊形；b.側(cè)面都是全等的矩形；c.側(cè)棱互相平行并垂直于底面，各側(cè)棱都相等，側(cè)棱與高相等.（3）棱錐①概念：有一個面是多邊形，其余各面是三角形，且這些三角形有一個公共點，

我們稱這樣的多面體為棱錐.這個多邊形稱為棱錐的底面（簡稱底）；其余各面稱為棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公

共點稱為棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊稱為棱錐的側(cè)棱；頂點到底面的距離稱

為棱錐的高.②正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面內(nèi)的投影是底面中心的棱錐稱為正棱

錐，正棱錐側(cè)面三角形的高稱為棱錐的斜高.③正棱錐的性質(zhì)：a.各條側(cè)棱相等，斜高相等，側(cè)面是全等的等腰三角形；b.頂點到底面中心的連線垂直于底面，是正棱錐的高；c.正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影構(gòu)成一個直角三角形，正棱錐的高、

側(cè)棱和側(cè)棱在底面的投影構(gòu)成一個直角三角形.2.

旋轉(zhuǎn)體（1）旋轉(zhuǎn)體一般地，一條平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋

轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸，這

條曲線稱為旋轉(zhuǎn)體的母線.（2）圓柱以矩形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體稱為

圓柱.旋轉(zhuǎn)軸稱為圓柱的軸.垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的圓面稱為圓柱的底面.平行于軸的

邊稱為圓柱的母線，母線旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的側(cè)面.兩個底面圓心之間的

距離叫作圓柱的高.圓柱的性質(zhì)：①兩個底面是半徑相等且平行的圓，平行于底面的橫截面是與底面相同的圓；②母線平行且相等，都等于圓柱的高；③過軸的截面（軸截面）是矩形，且該矩形的相鄰的兩條邊長分別為圓柱的高和

底面的直徑.（3）圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸，其余各邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的封閉的幾何

體稱為圓錐.這條軸稱為圓錐的軸.另一條直角邊旋轉(zhuǎn)所形成的圓面稱為圓錐的底面.斜邊旋轉(zhuǎn)

而形成的曲面稱為圓錐的側(cè)面，這條斜邊叫作圓錐的母線.母線與軸的交點稱為

頂點.頂點到底面圓心的距離稱為圓錐的高.圓錐的性質(zhì)：①平行于底面的截面都是圓；②高垂直于底面圓，且過圓心；③軸截面為等腰三角形，高為圓錐的高，腰是圓錐的母線，底邊是底面圓的

直徑.注：①截面：用平面截一個幾何體所得到的面.②軸截面：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面.

知識點2

柱、錐和球的表面積與體積幾何體側(cè)面積公式表面積（全面積）

公式體積公式圓柱S側(cè)＝ch＝2πrhS全＝S側(cè)＋2S底V＝S底h＝πr2h圓錐S全＝S側(cè)＋S底棱柱S側(cè)＝chS全＝S側(cè)＋2S底V＝S底h正棱錐S全＝S側(cè)＋S底球—S表＝4πR2其中，c表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）底面的周長，r表示圓柱（或圓錐）

底面圓的半徑，h表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的高，l表示圓錐的母線，h'

表示正棱錐的斜高，R表示球的半徑，S全或S表表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱

錐、球）的全（或表）面積，S底表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的底面積，S

側(cè)表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的側(cè)面積，V表示體積.

例1

（2020年安徽省職教高考真題）下列幾何體中，為旋轉(zhuǎn)體的是（）.A.

①③B.

②④C.

②③D.

①④【考查目標】本題考查旋轉(zhuǎn)體的概念和對常見旋轉(zhuǎn)體的識別.【解析】圓柱、圓錐和球為常見的旋轉(zhuǎn)體.理解多面體和旋轉(zhuǎn)體的區(qū)別即可做出

選擇.【答案】

C變式訓練1將一銳角三角形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉的空間幾何體是

（D）.A.

一個圓柱B.

一個圓錐C.

一個圓臺D.

兩個圓錐的組合體D例2

給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（）.A.0B.1C.2D.3【考查目標】本題考查空間幾何體的定義和特征.【答案】

A【解析】對于①，在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一

定是圓柱的母線，故①錯；對于②，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的

幾何體不一定是棱錐，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是

有一個公共頂點的三角形”，故②錯誤；對于③，棱臺的上、下底面互相平行且

是相似圖形，各側(cè)棱的延長線交于一點，正棱臺的側(cè)棱長一定相等，故③錯.變式訓練2（1）圓柱的側(cè)面展開圖是（B）.A.

平行四邊形B.

矩形C.

三角形D.

正方形【解析】沿圓柱的一條母線將圓柱側(cè)面展開在一個平面上所得的圖形稱為圓柱的

側(cè)面展開圖，它是一個矩形.（2）下列命題中：①直棱柱的側(cè)棱長和高相等；②有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是

直棱柱；③底面為正多邊形的棱柱一定是正棱柱；④正棱柱的所有側(cè)面都是全等

的矩形.其中正確的是（B）.A.

①②B.

①④C.

②③D.

③④BB【解析】直棱柱的定義是側(cè)棱與底面垂直，所以側(cè)棱長和高相等，故命題①正

確；有兩個側(cè)面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，命題②說法不正確；底面為正多

邊形的棱柱不一定是正棱柱，還要滿足側(cè)棱與底面垂直，故命題③不正確；根據(jù)

正棱柱的定義知，正棱柱的所有側(cè)面都是全等的矩形，故命題④正確.例3

（2022年安徽省職教高考真題）如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為

1，E，F(xiàn)分別為A'B'，C'D'的中點，則三棱柱BB'E－CC'F的體積為（）.【考查目標】本題考查棱柱的體積計算.【答案】

C

【解題技巧】

①了解棱柱、直棱柱、正棱柱的區(qū)別與聯(lián)系，厘清它們之間

的關(guān)系.②掌握正棱柱的性質(zhì)：底面是正多邊形；側(cè)棱與底面垂直，即側(cè)棱與高相等.③如果幾何體是不規(guī)則的幾何體，但能分解成幾個規(guī)則的幾何體，要分別求表面

積和體積，在求表面積時注意里面被相互遮擋的面（也就是從表面看不到的面）

的面積要減掉.變式訓練3已知長方體ABCD－A1B1C1D1的長、寬、高分別為a，b，c，且a＋b＋c＝

12，體對角線AC1＝8，則該長方體的表面積為（C）.A.100B.84C.80D.64C

例4

（2017年安徽省職教高考真題）如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱

長為1，則三棱錐A1－BCD的體積為（）.【考查目標】本題考查三棱錐體積公式的應(yīng)用.

【答案】

C【解題技巧】

①了解棱錐、正棱錐與正多面體的概念，清楚正三棱錐和正四面體

的區(qū)別和聯(lián)系.②正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱長都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；正棱錐的

高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱

在底面上的射影也組成一個直角三角形.根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，結(jié)合已知量求出未

知量，是求解正棱錐的側(cè)面積、表面積和體積的關(guān)鍵.③求正棱錐的側(cè)面積時，關(guān)鍵要知道斜高和底面邊長；求棱錐的體積時，關(guān)鍵要

知道底面面積和高.變式訓練4（1）（2020年安徽省職教高考真題）如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的體

積為1，點M，N分別是棱A1D1，AB的中點，則三棱錐M－ANC的體積為

（D）.D

（2）如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，側(cè)棱與底面邊長都是2，下列說法正

確的是（D）.D例5

（2025屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谌温?lián)考）已知一圓柱的側(cè)面展

開圖是面積為4π的矩形，則該圓柱軸截面的面積為（）.A.2πB.4πC.2D.4【考查目標】本題考查圓柱的有關(guān)計算.【解析】由題意可知該圓柱的高h與底面半徑r滿足2πrh＝4π，即rh＝2，故該

圓柱的軸截面的面積是2rh＝2×2＝4.【答案】

D【解題技巧】解決圓柱的有關(guān)計算要弄清楚以下問題：（1）圓柱的側(cè)面展開圖

是矩形，且其相鄰的兩邊長分別為底面周長和圓柱的高；（2）圓柱的軸截面也

是矩形，且其相鄰的兩邊長分別為底面的直徑和圓柱的高；（3）柱體的體積公

式：底面積×高.變式訓練5已知一個圓柱的軸截面是一個邊長為2的正方形，則它的表面積為（C）.A.2πB.4πC.6πD.8π【解析】因為一個圓柱的軸截面是一個邊長為2的正方形，所以該圓柱的底面半

徑r＝1，h＝2，所以圓柱的側(cè)面積為S側(cè)＝2πrh＝2π×1×2＝4π，底面積S底＝

πr2＝π，所以它的表面積為S表＝S側(cè)＋2S底＝6π.C例6

（2024年安徽省職教高考真題）某糧囤由圓柱體和圓錐形的頂組成，它的

直觀圖如圖所示.已知圓柱的底面直徑為8

m，高為4

m，圓錐的母線PB與底面圓

的直徑AB成45°角，則此糧囤的容積（單位：m3）為（）.B.96πC.128π【考查目標】本題考查圓柱和圓錐的體積公式的應(yīng)用.【答案】

A

【解題技巧】

（1）熟記圓柱、圓錐的體積計算公式；（2）圓錐的母線、高、底

面半徑三者構(gòu)成一個直角三角形；（3）圓錐的母線、和底面直徑構(gòu)成一個等腰

三角形（也是圓錐的軸截面三角形），底角即為母線與底面所成的角.變式訓練6（1）（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第五次聯(lián)考）已知圓錐的軸截面是

腰長為2的等腰直角三角形，則下列結(jié)論錯誤的是（D）.

D（2）（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考高三摸底聯(lián)考）把一圓錐的側(cè)面沿

母線展開得到一個面積是2π的半圓，則該圓錐的體積是（C）.A.3πB.π

C

解：如圖，因為圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，

例7

已知一個球的表面積是16π.求該球的體積.【考查目標】本題考查球的表面積和體積公式的應(yīng)用.【解析】由球的表面積是16π，知S表＝4πR2＝16π，解得R＝2.

B.2πD.6π【考查目標】本題考查球的表面積和圓柱的表面積的計算.

【答案】

D【解題技巧】

①求球的體積和表面積時，必須知道球的半徑R或通過條件求出半

徑R，然后代入體積公式或表面積公式求解.②半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積和體積的相

關(guān)題目就易如反掌了.③球的截面問題：有關(guān)球的截面問題，常畫出球的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中

圓的問題.解題時要注意借助于球的半徑R，截面圓的半徑r，球心到截面圓的距

離d構(gòu)成直角三角形，根據(jù)R2＝r2＋d2求解.④長方體的外接球問題：長方體的八個頂點都在球面上，稱該球為長方體的外接

球.根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是外接球的直徑.⑤正方體的內(nèi)切球問題：正方體的六個面都與球面相切，稱該球為正方體的內(nèi)切

球.根據(jù)球的定義可知，正方體的棱長是內(nèi)切球的直徑.變式訓練7（1）（2023年安徽省職教高考真題）將一個由扇形和矩形組成的平面圖形（圖

①）繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體（圖②）的體積為（C）.A.7πB.8πC

（2）（2019年安徽省職教高考真題）若一個球的表面積為12π，則該球的半徑為

（B）.A.2D.3（3）（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第六次聯(lián)考）若一個體積是36π的球

剛好內(nèi)切在一個圓柱內(nèi)，則該圓柱的表面積是（D）.A.27πB.36πC.45πD.54π

BD（4）（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第八次聯(lián)考）已知球的直徑為6，則

該球內(nèi)接正方體的表面積是（A）.A.72B.72πC.18D.18π

（5）球心同側(cè)兩個相距1的平行截面，其面積分別為9π，16π，則球半徑為

（A）.A.5B.6C.7D.8AA

一、選擇題1.

下列說法正確的是（C）.A.

底面是正方形的四棱錐是正四棱錐B.

側(cè)棱都相等且底面四邊形的四邊都相等的四棱錐是正四棱錐C.

正棱柱的側(cè)面是全等的矩形D.

直棱柱都是正棱柱【解析】正棱錐定義：底面是正多邊形且頂點在底面的投影是底面正多邊形的中

心；正棱柱的定義：底面是正多邊形的直棱柱.因此A，B，D項錯誤，C項正確.C2.

（2018年安徽省職教高考真題）若一球的半徑為2，則該球的體積為

（D）.

3.

如果正方體的棱長是2a，則其外接球的體積是（B）.C.24a3πDB4.

已知一正四棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的表面積與體積分別是

（A）.A.128，96B.112，96C.128，72D.112，72【解析】由題知該正四棱柱的表面積為4×4×6＋2×42＝128，體積為42×6＝

96.A5.

（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第一次聯(lián)考）如圖，在正方體ABCD

－A1B1C1D1中，若A1B＝2，則三棱錐B1－A1BC1的體積為（B）.第5題圖B

6.

如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的