五年制高等職業(yè)教育公共基礎課程教材《數(shù)學（第五冊）》教案課題23.1.1原函數(shù)授課時間學習目標1.通過具體實例，理解原函數(shù)的概念2.理解原函數(shù)存在定理，知道什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)3.會求常見基本初等函數(shù)的原函數(shù)教學重點理解原函數(shù)的概念、原函數(shù)存在定理，理解原函數(shù)和導函數(shù)的關系教學難點會求常見基本初等函數(shù)的原函數(shù).教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括（一）原函數(shù)的概念教師活動第22章介紹了如何求一個函數(shù)的導數(shù)，而在實際問題中也會遇到相反的問題，即如果已知某個函數(shù)的導數(shù)，如何求出這個函數(shù).問題探究已知物體行進路程是時間的函數(shù)，則可以求出該物體在任一時刻處的速度.反之，如已知速度函數(shù)，如何求出？例如，李華從地鐵站騎共享自行車到學校，已知騎車速度函數(shù)為，能否求出李華在時刻的騎行路程？我們熟悉已知距離函數(shù)求導得到速度函數(shù)的問題，現(xiàn)在需要解決其逆問題：已知變速直線運動的速度函數(shù)，要求該運動的路程與時間的函數(shù).因為，所以可以表示為.又因為，所以，即抽象概括（一）原函數(shù)的概念定義23.1使得對任意，均有或，則稱函數(shù)一個原函數(shù).例如，對于函數(shù)，由于函數(shù)滿足所以一個函數(shù)具備什么樣的條件，才一定存在原函數(shù)呢？下面給出定理．學生活動討論并發(fā)現(xiàn)，如果將求函數(shù)的導數(shù)看作是一種運算，那么求導運算有沒有逆運算？如果有，是什么呢？理解原函數(shù)的概念.通過具體實例，進一步理解原函數(shù)的概念.教學過程教學內容教師活動學生活動（二）原函數(shù)存在定理三、合作交流四、例題講析五、課內練習六、課堂小結（二）原函數(shù)存在定理定理23.1如果函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上一定存在可導函數(shù)，使對任意都有．簡言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)函數(shù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)．合作交流是否都是的原函數(shù)？原函數(shù)的不唯一性：一般地，若也是的原函數(shù).可以驗證，若函數(shù)有一個原函數(shù)，則就有無窮多個原函數(shù)，且這些原函數(shù)之間僅相差一個常數(shù)，即：若的一個原函數(shù)，是的全體原函數(shù).如無特別說明，求原函數(shù)即指求全體原函數(shù).四、例題講析例1求下列函數(shù)的原函數(shù).（1）；（2）；（3）.五、課內練習填空：求下列函數(shù)的原函數(shù)：（1）；（2）；（3）.六、課堂小結1.通過具體實例，理解原函數(shù)的概念；2.理解原函數(shù)存在定理，知道什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)；3.會求常見基本初等函數(shù)的原函數(shù).理解原函數(shù)存在定理，知道什么樣的函數(shù)具有原函數(shù).通過具體事例，發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的不唯一性。會用表示的全體原函數(shù).不漏解.練習,會求常見基本初等函數(shù)的原函數(shù).討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.1.2不定積分的概念授課時間學習目標1.通過具體實例，理解不定積分的概念，明確的數(shù)學表達式；2.理解求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)；3.會求常見基本初等函數(shù)的不定積分.教學重點深刻理解不定積分的概念.教學難點會求常見基本初等函數(shù)的不定積分.教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括（一）不定積分的概念教師活動問題探究已知曲線在點處切線的斜率，求該曲線的方程.求曲線方程，即為求的原函數(shù)因為，所以為的一個原函數(shù)，為符合條件的一條曲線方程，所有符合條件的曲線方程為（如圖23-1）.二、抽象概括（一）不定積分的概念定義23.2函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作.即.其中,稱為積分號，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分常數(shù).由定義知，求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)，求不定積分的運算實質上就是求導（或求微分）運算的逆運算.“問題探究”中，切線斜率為的所有曲線的方程可以用不定積分來表示.學生活動討論并發(fā)現(xiàn)，的原函數(shù)有無數(shù)個.可以用表示.理解不定積分的概念.明確的數(shù)學表達式.理解求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù).教學過程教學內容教師活動學生活動三、例題講析四、課內練習五、課堂小結三、例題講析例2求函數(shù)的不定積分.例3求函數(shù)的不定積分，其中例4求函數(shù)的不定積分.例5已知曲線在點處的切線斜率為2，且曲線過點（1,2），求此曲線的方程.四、課內練習1.求下列函數(shù)的不定積分.（1）（2）（3）（4）2.設曲線過點，并且曲線上任意一點處切線的斜率等于此點的橫坐標，求此曲線的方程.五、課堂小結1.理解不定積分的概念，認識并掌握的數(shù)學表達式；2.理解求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)；3.會求常見基本初等函數(shù)的不定積分通過例題，理解求不定積分的方法：先找出一個原函數(shù)，再加上任意常數(shù)即可.練習進一步熟練求常見基本初等函數(shù)的不定積分的方法.討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.1.3基本積分公式授課時間學習目標1.熟練掌握基本積分公式；2.能利用基本積分公式求簡單的不定積分；教學重點熟練掌握基本積分公式教學難點能利用基本積分公式求簡單的不定積分教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括（一）基本積分公式教師活動問題探究第22章介紹了求導數(shù)（微分）的基本公式，而求不定積分是求導數(shù)運算的逆運算，那么你能由導數(shù)（微分）的基本公式推出相應的積分公式嗎？二、抽象概括求不定積分運算是求導數(shù)運算的逆運算，由導數(shù)的基本公式可以得出相應的基本積分公式（見表23-1）.表23-1導數(shù)公式基本積分公式（為常數(shù)）學生活動不定積分運算與求導數(shù)運算互為逆運算，所以可以從導數(shù)的基本公式，得到相應的基本積分公式.熟練掌握基本積分公式.教學過程教學內容教師活動學生活動三、例題講析四、思維拓展五、課內練習六、課堂小結現(xiàn)在，可以利用不定積分的基本積分公式求不定積分.三、例題講析例6求不定積分.例7求不定積分.例8求不定積分.例9求不定積分.四、思維拓展試求的不定積分.五、課內練習1.填空：(1)_________________；(2)_________________；(3)_________________；(4)_________________；.2.求下列不定積分:六、課堂小結1.熟練掌握基本積分公式；2.能利用基本積分公式求簡單的不定積分；通過例題，利用基本積分公式求簡單的不定積分.能利用基本積分公式求簡單的不定積分討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.1.4不定積分的性質授課時間學習目標1.理解并掌握不定積分的性質；2.利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分.教學重點理解不定積分的性質教學難點利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括（一）性質1（二）性質2教師活動問題探究若為在區(qū)間I上的原函數(shù)，則請思考：由不定積分的定義，是的原函數(shù)，所以或,又因為是的原函數(shù)，所以“問題探究”中，已知，計算可得.所以不定積分的導數(shù)等于被積函數(shù)，一個函數(shù)的導數(shù)的不定積分等于該函數(shù)自身再加上任意一個常數(shù).的計算結果不一致.一個函數(shù)先積分再求導，結果仍為這個函數(shù)；一個函數(shù)先求導后積分，結果為這個函數(shù)加上一個任意常數(shù).不定積分有如下性質:抽象概括性質1求不定積分與求導數(shù)（微分）互為逆運算.，由不定積分的定義，可以得到如下性質：性質2兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于兩個函數(shù)積分的代數(shù)和，即此性質可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形，即學生活動思考、討論不定積分的導數(shù)等于被積函數(shù)，一個函數(shù)的導數(shù)的不定積分等于該函數(shù)自身再加上任意一個常數(shù).發(fā)現(xiàn)體會,的計算結果不一致.理解并掌握不定積分的性質.教學過程教學內容教師活動學生活動（三）性質3三、合作交流四、例題講析五、思維拓展六、課內練習七、課堂小結性質3若為非零常數(shù)，則三、合作交流成立嗎？請說明理由.四、例題講析例11求不定積分.例12求不定積分思維拓展請試求的不定積分.六、課內練習1.計算下列不定積分：（1）（2）（3）（4）2.已知一物體的前進速度求前進距離函數(shù)關系式.七、課堂小結1.不定積分的性質；2.利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分.利用不定積分的性質2和性質3推到結論.通過例題,學會利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分.利用二倍角公式化為基本積分公式中所列出的被積函數(shù)，再運算.練習熟練掌握利用不定積分的性質和基本積分公式求不定積分.討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.2.1曲邊梯形的面積授課時間學習目標1.理解曲邊梯形的概念和特征；2.掌握求曲邊梯形面積的基本方法—“分割、求和、取極限”；3.運用求曲邊梯形面積的方法解決實際問題.教學重點理解并掌握求曲邊梯形面積的基本方法教學難點運用求曲邊梯形面積的方法解決實際問題教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究1.有限和估計二、思維拓展曲邊梯形的面積教師活動通過將任意給定的多邊形分割成若干個矩形與三角形，可以計算出多邊形的面積，通過速度乘以時間可以計算出勻速運動物體所經過的路程，那么曲線圍成的平面圖形的面積、變速運動物體行進的路程等應該如何求呢？問題探究如何估計曲線所圍成平面圖形的面積？1.有限和估計例1（曲邊三角形的面積）試估計函數(shù)的圖象與直線及軸所圍成的平面圖形（如圖23-2）的面積.結論：用有限和估計計算曲邊三角形面積的方法，是通過分割區(qū)間，以各區(qū)間為底，區(qū)間左（右）斷點的函數(shù)值為高，計算矩形面積并求和，得到曲邊三角形面積的近似值.區(qū)間分割越細致，所得值越精確.思維拓展試估計函數(shù)的圖象與軸和軸所圍成封閉圖形的面積.2.曲邊梯形的面積問題探究在區(qū)間上非負的連續(xù)函數(shù)的圖象和直線及軸所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形（如圖23-4），學生活動通過實例，感受區(qū)間分割越細致，所得值越精確.教學過程教學內容教師活動學生活動三、問題探究抽象概括曲線稱為曲邊梯形的曲邊．那么，曲邊梯形的面積如何計算呢？在初等數(shù)學中，我們知道，矩形面積=底高.而區(qū)間上各點處的高是變化的，故它的面積不能直接按矩形面積來計算.由于函數(shù)在上連續(xù)，當變化很小時，相應的函數(shù)值的變化也很小．因此為了計算曲邊梯形的面積，我們可以先把曲邊梯形分成若干小曲邊梯形，再將每個小曲邊梯形近似地看作小矩形（如圖23-5），那么所有這些小矩形面積之和就是曲邊梯形面積的一個近似值．我們發(fā)現(xiàn)，區(qū)間分得越細，這個近似值就越接近所求的面積，當每個小區(qū)間的長度趨于零時，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形的面積．根據上面的分析，曲邊梯形的面積可按以下步驟計算：四、抽象概括（1）分割.在區(qū)間中任取一組分點滿足，將區(qū)間分割成個小區(qū)間：x0，x1，[x1，x2]，?，過每一分點，作與軸平行的直線，這些直線把曲邊梯形分成個小曲邊梯形．（2）求和.在每個小區(qū)間上任取一點，那么以小區(qū)間為底、為高的小矩形的面積就是，用它來近似代替相應的小曲邊梯形的面積，即.將個小矩形的面積求和，就得到曲邊梯形的面積的近似值，即.（3）取極限.為保證所有小區(qū)間的長度都趨于零，我們要求小區(qū)間長度中的最大值趨于0.記所有小區(qū)間長度的最大值為（即），當時，取和式的極限，便得到曲邊梯形的面積:理解曲邊梯形的概念和特征.體會、感受無限細分，無限趨近，鍛煉抽象思維能力.理解求曲邊梯形面積的基本方法—“分割、求和、取極限”教學過程教學內容教師活動學生活動五、例題講析六、課內練習七、課堂小結五、例題講析例2用和式的極限表示函數(shù)的圖象與直線及軸所圍成平面圖形的面積.六、課內練習1估計由函數(shù)的圖像與軸、軸所圍成平面圖形的面積，取個等長子區(qū)間，并用每個子區(qū)間的中點確定每個區(qū)間的高2.用和式的極限表示函數(shù)的圖象與軸和直線所圍成封閉圖形的面積.3.某大型企業(yè)集團的收益是隨時流入的.因此，這一年收益可以表示為一個連續(xù)的收入流.設為收入流在時刻的變化率（單位：元/年），現(xiàn)需計算從現(xiàn)在（）到T年內的總收入（不計利息）.七、課堂小結1.理解曲邊梯形的概念和特征；2.掌握求曲邊梯形面積的基本方法—“分割、求和、取極限”；3.運用求曲邊梯形面積的方法解決實際問題.通過例題掌握求曲邊梯形面積的基本方法.鞏固練習運用求曲邊梯形面積的方法解決實際問題討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.2.2定積分的定義授課時間學習目標通過具體實例，理解定積分的概念，掌握定積分表達式中的數(shù)學符號；2.了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積分是存在的；3.會計算簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，體會積分的思想方法.教學重點定積分的概念及計算教學難點定積分與實際問題的聯(lián)系教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究教師活動問題探究設某物體作直線運動，已知速度是時間區(qū)間上的一個連續(xù)函數(shù)，且，如何求物體在這段時間內所經過的路程？這是一個典型的求變速直線運動路程的問題.我們知道，對于勻速直線運動，路程=速度時間.但是，現(xiàn)在速度隨時間而變化，在很短一段時間內，其速度變化也很小，可近似看作勻速的情形.因此，把整段時間分割成若干小段，每個時間段上以勻速直線運動代替變速運動，則可以計算出在每個小時間段內路程的近似值，再求出各個小時間段的路程和，便得到整個路程的近似值，最后通過求極限得到路程的精確值，具體步驟如下：（1）分割.如圖23-6，在時間間隔中任意插入個分點：，把T1，T2分成記第個小區(qū)間的長度為，即?ti=ti在每個小時間段ti?1，ti上任取τi，以時刻τi的速度vτ學生活動通過具體實例，體會“分割、求和、取極限”的積分思想方法.教學過程教學內容教師活動學生活動二、抽象概括三、合作交流.（2）求和.將這樣得到的n個小時間段上路程的近似值之和作為所求變速直線運動路程的近似值，即.（3）取極限.設，當時，取上述和式的極限，便得到變速直線運動路程的精確值.可以看出，求曲邊梯形面積的幾何問題、求變速直線運動路程的物理問題等，盡管實際背景完全不同，但通過“分割、求和、取極限”，最終都歸結為和式的極限.由此，可以給出定積分的定義.抽象概括定義23.3設函數(shù)在上有定義，任取分點滿足，將區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為．在每個小區(qū)間上任取一點(xi?1≤ξi≤xi)，作乘積的和式．如果不論對區(qū)間采取何種分法以及如何選取，當最大小區(qū)間的長度趨向于零時，上面和式極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，與分別稱為積分的下限與上限，稱為積分區(qū)間．如果函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在，則稱在區(qū)間上可積，否則稱在區(qū)間上不可積．合作交流根據定積分定義，將函數(shù)的圖象與直線和軸所圍成平面圖形的面積用定積分表示.關于定積分的概念，還應注意以下幾點：(1)定積分是一個和式的極限，是一個確定的常量．定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關，而與積分變量使用的字母無關，即有通過曲邊梯形面積的幾何問題、求變速直線運動路程的物理問題等，進一步加深積分思想方法.理解定積分的概念，掌握定積分表達式中的數(shù)學符號.了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積分是存在的.利用定積分d的知識，解決問題.深刻理解定積分是一個和式的極限，是一個確定的常量.教學過程教學內容教師活動學生活動四、例題講析五、課內練習七、課堂小結(2)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.(3)在定積分的定義中，總假定，如果,規(guī)定,即互換定積分的上、下限，定積分變號.特別地,四、例題講析例3根據定義計算定積分五、課內練習1.根據定積分的定義，證明：若，則.2.根據定義計算定積分七、課堂小結1.理解定積分的概念，掌握定積分表達式中的數(shù)學符號；2.了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積分是存在的；3.會計算簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，體會積分的思想方法.通過例題，學會計算簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分練習鞏固討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.2.3定積分的幾何意義授課時間學習目標1.理解定積分的幾何意義；2.掌握用定積分的幾何意義計算簡單的定積分以及求解一些平面圖形的面積；3.理解定積分中被積函數(shù)、積分區(qū)間、積分上下限與幾何圖形之間的聯(lián)系.教學重點理解定積分的幾何意義教學難點掌握用定積分的幾何意義計算簡單的定積分教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括教師活動問題探究根據定義計算定積分根據定積分的定義，把分成等份，分點為，每個小區(qū)間的長，取相應小區(qū)間的右端點，即，故當時（即時），由定積分的定義得由定積分的定義及對曲邊梯形面積的討論可知，定積分有如下幾何意義：抽象概括（1）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則定積分表示由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積，即(如圖23-8)．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則定積分表示相應曲邊梯形的面積的相反數(shù)，即（如圖23-9）．學生活動討論,經歷觀察、猜想、驗證等探究過程.理解定積分的幾何意義.被積函數(shù)值大于零被積函數(shù)小于零教學過程教學內容教師活動學生活動三、例題講析（3）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且有時取正值，有時取負值，則表示軸上方圖形的面積減去軸下方圖形的面積，如圖23-10所示的情形，有．回到“問題探究”，我們發(fā)現(xiàn)根據定義計算定積分比較煩瑣，但利用定積分的幾何意義解決就很簡潔.表示以直線為斜邊所在直線，以區(qū)間為直角邊的等腰直角三角形（如圖23-11）的面積的相反數(shù).由定積分的幾何意義，得.三、例題講析例4利用定積分的幾何意義求例5利用定積分的幾何意義求(3)被積函數(shù)小于零理解當被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正有負時，定積分表示的是各部分面積的代數(shù)的和.通過例題理解掌握用定積分的幾何意義計算簡單的定積分以及求解一些平面圖形的面積教學過程教學內容教師活動學生活動四、思維拓展五、課內練習六、課堂小結四、思維拓展利用定積分的幾何意義求五、課內練習1.計算下列定積分：(1)(2)(3)課堂小結1.理解定積分的幾何意義；2.掌握用定積分的幾何意義計算簡單的定積分以及求解一些平面圖形的面積；3.理解定積分中被積函數(shù)、積分區(qū)間、積分上下限與幾何圖形之間的聯(lián)系.當被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正有負時，定積分表示的是各部分面積的代數(shù)的和.鞏固練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.2.4定積分的性質授課時間學習目標1.掌握定積分的基本性質，能用數(shù)學符號語言進行表述；2.熟練運用定積分的性質計算簡單的定積分；3.學會利用定積分的性質判斷定積分的大小關系，對定積分的值進行合理估計.教學重點定積分的基本性質教學難點積分中值定理的理解與應用教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究教師活動問題探究根據定積分的定義及幾何意義解決下面的問題：（1）計算（2）比較定積分與的大小.根據定積分的定義，；（2）得.由定積分的幾何意義，（1）表示以直線為斜邊所在直線，兩條直角邊長均為1的等腰直角三角形的面積，；表示以直線為斜邊所在直線，兩條直角邊長分別為1和2的直角三角形的面積，.（2）觀察圖象（如圖23-14），直線，及軸所圍成平面圖形的面積大于曲線與直線及軸所圍成平面圖形的面積，因此由前面的學習可知學生活動利用定積分的定義計算定積分，比較與的大小.利用定積分的幾何意義,比較,的大小.教學過程教學內容教師活動學生活動二、抽象概括因此在下面定積分性質的討論中，對積分上下限的大小不作限制.抽象概括性質1（數(shù)乘的運算性質）若為非零常數(shù)，則.性質2（和、差的運算性質）兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)定積分的代數(shù)和，即.該性質可推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和的情況．性質3（定積分積分區(qū)間的可加性）若將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即應注意，無論還是,這一性質均成立.如圖23-15，當時，有.性質4（定積分的保號性）如果函數(shù)在區(qū)間上恒有，則．推論如果函數(shù)，在區(qū)間上恒有，則．性質5(估值不等式)如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為與，則．理解、記憶性質1理解、記憶性質2理解性質3的區(qū)間可加性.無論還是,這一性質均成立.理解定積分的保號性.理解性質5,會用最大值與最小值估算積分范圍.教學過程教學內容教師活動學生活動三、例題講析四、抽象概括五、例題講析六、課內練習七、課堂小結三、例題講析例6估計值的范圍.四、抽象概括性質6(積分中值定理)若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點，使得下面等式成立：.此公式稱為積分中值公式．這一性質的幾何意義是：由曲線、軸、直線及所圍成的曲邊梯形面積等于區(qū)間上某個矩形的面積，這個矩形的底是區(qū)間，其高為區(qū)間內某一點處的函數(shù)值(如圖23-16)，由積分中值公式得到.稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值.例題講析例7利用定積分的性質，比較定積分與的大小.例8計算定積分.課內練習1.利用定積分的性質，比較下列定積分的大小.（1）與；（2）與.2.計算定積分3.計算定積分.七、課堂小結1.掌握定積分的基本性質，能用數(shù)學符號語言進行表述；2.熟練運用定積分的性質計算簡單的定積分；3.學會利用定積分的性質判斷定積分的大小關系，對定積分的值進行合理估計.練習理解性質6.熟練運用定積分的性質計算簡單的定積分,判斷定積分的大小關系.討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.3微積分基本定理授課時間學習目標1.理解微積分基本定理，能用數(shù)學符號表述定理，明確定理中被積函數(shù)的連續(xù)性、原函數(shù)的存在性等條件;2.熟練利用微積分基本公式求函數(shù)的定積分；3.利用微積分基本公式解決實際問題.教學重點掌握微積分基本定理，利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分.教學難點利用微積分基本定理解決實際問題教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究抽象概括三、例題講析教師活動很多時候，根據定義來計算定積分難度很大，需要找到一種計算定積分的新途徑.牛頓和萊布尼茨找到了微分和積分之間深刻的內在聯(lián)系，巧妙地開辟了計算定積分的新途徑,并將微積分學逐步發(fā)展成一套完整的理論體系.問題探究若做變速直線運動的物體在時刻的速度和經過路程分別為，則它在時間段內經過的路程可否表示為？由定積分的定義可知，物體在時間段內經過的路程，這段路程又可以表示為在時間段上的增量，所以路程函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分可以表示為.因為，所以路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù).“問題探究”中求速度函數(shù)在時間段內經過的路程就轉化為求的原函數(shù)在上的增量.抽象概括定理23.2設在上連續(xù)，是在上的一個原函數(shù)，則上式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓-萊布尼茨公式.由于的原函數(shù)一般可通過求不定積分求出，因此這一定理揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的聯(lián)系.三、例題講析例1計算學生活動利用物理量速度和路程，建立直觀認知.體會微積分基本定理,明確定理中被積函數(shù)的連續(xù)性、原函數(shù)的存在性等條件.理解微積分基本公式中，定積分的值，等于被積函數(shù)的任一原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量.教學過程教學內容教師活動學生活動四、思維拓展五、課內練習六、例題講析例2計算.例3計算.例4計算.四、思維拓展試求定積分課內練習1.計算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）.六、例題講析例5計算函數(shù)的圖象與直線、軸所圍成的平面圖形的面積．例6計算.例7計算例8一物體做直線運動，在時處于原點，并且初速度為0，速度單位為m/s,其速度函數(shù)為速度曲線如圖23-18所示，求物體在時的位移.例9奧體中心游泳館使用了不間斷水循環(huán)凈化系統(tǒng)，通過高精度的過濾器和智能的循環(huán)水泵，確保水質長期清澈.這種系統(tǒng)不僅能通過例題學會利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分.鞏固練習，熟練掌握利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分.利用微積分基本定理解決實際問題，體會數(shù)學的應用價值.教學過程教學內容教師活動學生活動七、思維拓展八、課內練習九、課堂小結濾除肉眼看不到的懸浮物和殺滅寄生蟲，還能根據需要自動調節(jié)處理速度和投加消毒劑，實現(xiàn)智能、節(jié)能的水質管理?.已知水泵以速度(單位：L/s)抽出池水進行過濾，其中(單位：s).求前20s抽出水的總量.七、思維拓展汽車以的速度行駛，到某處需要減速停車．如果汽車以加速度剎車，那么從開始剎車到停車，汽車行駛了多少距離？八、課內練習1.計算下列定積分：(1)；(2)；(3)；(4).2.曉華周末騎自行車鍛煉，在一段直行車道上騎行時，時刻的速度為,求曉華從經過的路程.九、課堂小結1.理解微積分基本定理，能用數(shù)學符號表述定理，明確定理中被積函數(shù)的連續(xù)性、原函數(shù)的存在性等條件;2.熟練利用微積分基本公式求函數(shù)的定積分；3.利用微積分基本公式解決實際問題.利用微積分基本定理解決實際問題，體會數(shù)學的應用價值.鞏固練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.4積分基本運算法則授課時間學習目標1.理解并掌握積分基本運算法則；2.靈活運用積分基本運算法則進行基本函數(shù)的積分運算，正確求解各類積分問題；3.提升分析問題、解決問題的能力.教學重點理解并掌握積分基本運算法則教學難點運用積分基本運算法則求解各類積分問題教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究教師活動積分基本運算法則是積分運算的基石.本節(jié)將回顧不定積分與定積分的重要性質和計算法則，了解一些基本的運算技巧，體會積分運算在解決實際問題中的關鍵作用.問題探究（阿基米德的拋物線面積公式）阿基米德（公元前287-212），發(fā)明家，軍事工程師，物理學家和數(shù)學家.他發(fā)現(xiàn)拋物線與直線所圍成平面圖形的面積是拋物線截直線所得弦長與拋物線頂點到直線距離乘積的三分之二.請求出拋物線（如圖23-19）與軸所圍成平面圖形的面積，并嘗試驗證阿基米德的發(fā)現(xiàn).觀察可知，曲線與軸所圍成平面圖形的面積，其實就是在上的定積分.因為所以即曲線與軸所圍成平面圖形的面積為.觀察計算可得，軸被曲線所截線段長度為；曲線頂點到軸的距離為的最大值，因為，所以最大值為.學生活動了解阿基米德的拋物線面積公式，回顧利用定積分求面積，培養(yǎng)多角度思考問題的能力.教學過程教學內容教師活動學生活動抽象概括三、例題講析四、課內練習五、問題探究,即得到拋物線與軸所圍成平面圖形的面積是拋物線截軸所得線段長度與其頂點到軸距離乘積的三分之二.在23.1與23.2中介紹了不定積分與定積分的計算法則，包括數(shù)乘的運算性質與和、差的運算性質.二、抽象概括1.數(shù)乘的運算性質被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前，即(為常數(shù)且)，(為常數(shù)且).2.和、差的運算性質兩個函數(shù)代數(shù)和的積分等于兩個函數(shù)積分的代數(shù)和，即.該性質可推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和的情況．也可以通過積分的運算性質求得.三、例題講析例1求定積分.例2求不定積分例3求不定積分例4求不定積分四、課內練習1.求下列不定積分:（1）；（2）；（3）；（4）.五、問題探究已知，如何求定積分？在定積分的性質部分，介紹了定積分特有的一些運算法則，包括：理解并掌握積分基本運算法則1、2.運用積分基本運算法則進行基本函數(shù)的積分運算練習鞏固教學過程教學內容教師活動學生活動六、抽象概括例題講析八、課內練習九、課堂小結六、抽象概括3.交換積分的上下限，積分值的符號相反4.定積分積分區(qū)間的可加性若將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即無論還是,這一性質均成立.所以，七、例題講析例5比較與的大小.例6求定積分.例7求定積分.八、課內練習1.求下列定積分：（1）；（2）.2.：（1）；（2）(3)九、課堂小結1.理解并掌握積分基本運算法則；2.靈活運用積分基本運算法則進行基本函數(shù)的積分運算，正確求解各類積分問題；理解并掌握積分基本運算法則3、4.運用積分基本運算法則進行積分運算靈活運用積分基本運算法則正確求解各類積分問題.討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.5.1不定積分的換元積分法授課時間學習目標1.掌握第一類換元積分法（湊微分法）的原理與步驟；理解第二類換元積分法的適用條件及變量替換技巧；熟練應用換元法計算不定積分；2.能通過觀察被積函數(shù)結構，靈活選擇換元方法；3.培養(yǎng)數(shù)學轉化思想（化繁為簡、變量代換）；強化邏輯推理與符號運算能力。教學重點1.第一類換元法的“湊微分”技巧；2.第二類換元法在含根式積分中的應用。教學難點變量替換的合理選取教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動求不定積分抽象概括第一類換元積分法如果不定積分中，被積函數(shù)可以分解為作變量代換，令，易得可將關于的積分轉化為關于變量的積分，即如果可以求出，則計算不定積分的問題就解決了.這就是第一類換元積分法.定理23.3（第一類換元積分法）設則有換元公式第一類換元積分法的關鍵，是從被積函數(shù)中選取適當?shù)?，使不定積分湊成基本積分公式表中的形式，簡化計算，因此，第一類換元積分法也稱為湊微分法.三、例題講析例1求不定積分例2求不定積分學生活動引導學生回顧復合函數(shù)求導法則，逆向思考引入換元法。學生練習（分組討論）：求不定積分教學過程教學內容教師活動學生活動四、例題講析五、課內練習六、課堂小結例3求不定積分例4求不定積分第二類換元積分法如果不定積分不能直接用基本積分公式計算，也可以引入新變量，并選擇代換（可導，且連續(xù)），將不定積分化為如果容易求得.且的反函數(shù)存在并可導，則再將代入，有這種積分方法稱為求不定積分的第二類換元積分法.定理23.4(第二類換元積分法)設單調且有連續(xù)導數(shù)，，若則，其中的反函數(shù).四、例題講析例5求不定積分例6求不定積分五、課內練習（1）；（2）六、課堂小結1、第一類換元積分法；2、第二類換元積分法.學生練習，教師講解師生合作【問題探究】求不等積分練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.5.2定積分的換元積分法授課時間學習目標1.掌握定積分的換元積分法，理解換元公式及其應用條件；能利用換元法簡化定積分的計算，正確處理積分限的變換；結合幾何意義，理解對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質；2.通過例題分析，體會換元法的思想，對比不定積分與定積分換元的異同;通過合作交流，探索幾何意義在定積分計算中的作用；3.感受數(shù)學公式的簡潔美，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?。教學重點定積分換元公式的應用，積分限的變換規(guī)則。教學難點換元后新變量的積分限確定，奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質證。教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動1.復習回顧：牛頓-萊布尼茨公式、不定積分的換元積分法。2.問題探究：如何將不定積分的換元法遷移到定積分計算中？求定積分抽象概括定理23.5設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：則.這個公式稱為定積分的換元公式三、例題講析例7求定積分【合作交流】如何利用定積分的幾何意義，更方便地得到例7的結果？例8求定積分例9求定積分.學生活動小組分組討論理解定積分換元的換元公式小組合作探討通過例題講析理解定積分的換元公式及其應用條件教學過程教學內容教師活動學生活動四、思維拓展五、課內練習六、課堂小結【問題探究】例10求定積分例11求定積分例12在“定積分的性質”部分已提到并運用如下結論，試給出它的證明.（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則；（2）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則．例13求定積分四、思維拓展求定積分課內練習求下列定積分：（1）；（2）；（3）.六、課堂小結1.定積分換元法的步驟與注意事項；2.理解定積分的幾何意義與代數(shù)計算的結合；3.奇偶函數(shù)性質在簡化積分中的應用.師生合作探究練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.6.1不定積分的分部積分法授課時間學習目標1.理解分部積分法的原理及公式推導過程；掌握分部積分法的適用場景及選取和的技巧；2.能正確應用分部積分法求解不定積分；通過練習培養(yǎng)觀察積分結構、靈活選擇方法的能力；3.體會分部積分法在簡化復雜積分中的作用，增強解決數(shù)學問題的信心。教學重點分部積分公式的應用及和的選取原則教學難點如何根據被積函數(shù)特點正確拆分并多次應用分部積分法教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動1.復習舊知：回顧換元積分法的適用條件及局限性（如無法解決）。2.問題驅動：“若被積函數(shù)是兩類函數(shù)乘積（如多項式×三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)），如何積分？”3.公式推導：設在區(qū)間上都具有連續(xù)的導數(shù)，由得移項得即可簡記為抽象概括上述這種積分方法稱為分部積分法.上式稱為不定積分的分部積分公式.三、例題講析例1求不定積分例2求不定積分例3求不定積分學生活動通過導數(shù)乘法法則逆向思考，引出分部積分公式。選擇恰當?shù)暮褪乔蠼怅P鍵.在變量替換比較熟練后，可以不必寫出新設積分變量的過程.教學過程教學內容教師活動學生活動四、合作交流五、課內練習六、課堂小結例4求不定積分四、合作交流求不定積分課內練習求下列不定積分；（2）；（3）；（4）.課堂小結1.分部積分法適用于乘積型積分，關鍵是正確選擇和;2.不定積分的分部積分公式.通過例題理解公式并靈活應用練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.6.2定積分的分部積分法授課時間學習目標1.理解定積分的分部積分公式及其推導過程；2.掌握利用分部積分法計算定積分的方法；3.能夠熟練解決典型的分部積分問題。教學重點1.定積分的分部積分公式；2.分部積分法的應用技巧。教學難點如何選擇

和

；積分上下限的處理。教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動1.問題驅動：求定積分2.公式推導：設在區(qū)間上都具有連續(xù)的導數(shù)，由對上式兩邊求定積分，有即移項得抽象概括上式稱為定積分的分部積分公式.三、例題講析例5求定積分例6求定積分.例7求定積分例8求定積分.例9求定積分學生活動引導學生先求不定積分，可用分部積分法，對于定積分也可推導相應的積分方法.通過例題理解定積分的分部積分公式并靈活應用教學過程教學內容教師活動學生活動四、課內練習五、課堂小結四、課內練習用分部積分法求下列定積分；；（3）.五、課堂小結1.定積分的分部積分公式；練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.7.1平面圖形的面積授課時間學習目標1.理解用定積分求兩條曲線圍成平面圖形面積的原理；掌握“微元法”的思想及步驟；能正確選取積分變量并確定積分限，計算簡單平面圖形的面積；2.通過數(shù)形結合，提升分析圖形和建立積分表達式的能力；培養(yǎng)從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力；3.感受微積分在幾何問題中的統(tǒng)一性與簡潔性。教學重點微元法的思想，面積公式的推導與應用。教學難點積分變量的選擇與積分限的確定教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動用定積分可以求出曲邊梯形的面積，那么平面中兩條曲線圍成的圖形的面積可以如何求得呢？請計算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。抽象概括微元法求某一量的定積分表達式的步驟如下：根據所求量的具體意義，選取一個合適的變量（假定為）作為積分變量，并確定它的變化區(qū)間，即積分區(qū)間；在區(qū)間上任取小區(qū)間，求出這個小區(qū)間上的變量的近似值，它就是所求量的微元，記為，即.以為被積表達式，在區(qū)間上求定積分，就得到所求量的定積分表達式，即.這種方法稱為微元法.三、例題講析例1計算由直線所圍成的平面圖形的面積.由微元法也可以利用定積分將求平面圖形面積的過程簡化：學生活動師生合作探究掌握“微元法”的思想及求某一量的定積分表達式的步驟教學過程教學內容教師活動學生活動四、合作交流五、課內練習六、課堂小結作出平面圖形，解方程組，求出交點坐標；根據圖形，選取合適的積分變量，并確定積分區(qū)間；將所求圖形的面積表示成定積分，計算出結果.例2計算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積.四、合作交流由連續(xù)曲線與直線圍成的平面圖形（如圖），其面積可以如何表示？五、課內練習1.求曲線和所圍成的平面圖形的面積.2.求曲線和直線所圍成的平面圖形的面積.六、課堂小結1.“微元法”的思想及求某一量的定積分表達式的步驟；2.由“微元法”利用定積分將求平面圖形面積的過程簡化步驟.通過例題理解微元法的思想和利用定積分將求平面圖形面積的過程簡化步驟思考、討論并回答練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.7.2旋轉體的體積授課時間學習目標1.理解旋轉體的定義及常見例子（圓柱、圓錐、球等）；掌握用定積分（微元法）計算旋轉體體積的公式；能推導圓錐、旋轉橢球體等典型旋轉體的體積公式；2.通過問題探究，培養(yǎng)從幾何直觀到數(shù)學表達的轉化能力;通過合作交流，提升分析問題和合作解決問題的能力;3.體會微積分“以直代曲”的思想，感受數(shù)學的嚴謹性與應用性。教學重點旋轉體體積的積分公式推導及應用教學難點微元法的理解及積分變量的合理選取教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括教師活動如何用定積分證明圓錐體的體積是同底等高圓柱體體積的三分之一？抽象概括利用微元法來推導旋轉體的體積公式.設旋轉體是由連續(xù)曲線，直線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成，如圖取為積分變量，積分區(qū)間為.在區(qū)間上任取小區(qū)間，分別過小區(qū)間兩端點作該旋轉體垂直于軸的截面，則截面均為圓面.兩截面間薄片的體積可用底面半徑為，高為的小圓柱的體積來近似代替，即體積微元為.所以，所求旋轉體的體積為.學生活動師生共同探究掌握利用微元法來推導旋轉體的體積公式教學過程教學內容教師活動學生活動三、例題講析四、合作交流五、課內練習六、課堂小結三、例題講析例3求由曲線、直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.例4求由橢圓圍成的平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉橢球體的體積.四、合作交流由連續(xù)曲線,直線，及軸旋轉一周所形成的旋轉體（如下圖），其體積可以如何表示？五、課內練習1.求由曲線、直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.2.求由曲線、直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.六、課堂小結1.旋轉體體積的積分思想：分割→近似→求和→取極限2.旋轉體的體積公式.通過例題理解定積分（微元法）計算旋轉體體積的公式思考、討論并回答練習討論、交流、記憶課后作業(yè)教后記教案課題23.7.3定積分在物理學中的應用授課時間學習目標1.理解變力做功問題的物理背景，掌握利用定積分計算變力做功的方法；2.通過問題探究，體會“化變?yōu)楹恪钡奈⒃枷?，培養(yǎng)數(shù)學建模能力；3.感受數(shù)學工具在物理學中的重要性，增強學科交叉應用意識；通過神舟飛船案例，激發(fā)科技自豪感和探索精神。教學重點定積分在變力做功問題中的應用，微元法的步驟教學難點物理問題的數(shù)學建模（如功微元的構造），積分限的確定教學準備PPT教學過程教學內容一、問題探究二、抽象概括三、例題講析教師活動由物理學知識可知，如果物體在與其運動方向一致的常力作用下沿直線運動了一段位移，那么對物體所做的功為如果物體沿軸從運動到，所受到的力不是，而是連續(xù)變化的力，如何計算變力所做的功？抽象概括取為積分變量，的變化范圍為積分區(qū)間.在區(qū)間上任取小區(qū)間，由于力是連續(xù)變化的，所以在這個小區(qū)間上力可以近似地看成常力（點處的力），根據常力的做功公式，可得在這個小區(qū)間上變力做功的近似值，即功微元為因此，當物體從.三、例題講析例5設用80N的力把原長10cm的彈簧拉長到18cm.現(xiàn)在繼續(xù)拉長彈簧到30cm(還在彈性限度內)，請問需要做多少功?學生活動師生共同探究掌握利用定積分計算變力做功的方法通過例題理解定積分計算變力做功的方法教學過程教學內容教師活動學生活動四、課內練習五、課堂小結例6神舟飛船是中國自行研制的空間載人飛船系列.?從最初的“曙光”飛船到現(xiàn)在的神舟十九號，?這一系列的發(fā)展充滿了挑戰(zhàn)，同時也體現(xiàn)了中國航天技術的進步，展示了中國在空間探索領域的實力和成就.假設神舟十九號飛船垂直向上發(fā)射，質量為，求飛船到達距離地心高度時地球引力所做的功.火箭要徹底擺脫地球引力的束縛，初始發(fā)射速度至少要達到多少呢？四、課內練習1.設40N的力使一彈簧從原長10cm拉長到15cm.現(xiàn)要把彈簧從15cm拉長到20cm(仍在彈性限度內)，需做多少功？2.設一質點距原點米時受牛頓力的作用，請問質點在力作用下，從到，力做了多少功？課堂小結變力的做功公式（變力做功的