第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與性質(zhì)二、隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與性質(zhì)1.數(shù)學(xué)期望的概念回憶平均值的計(jì)算

例某班有40人,其身高為隨機(jī)變量X(單位m),X的分布情況如下表X1.551.601.701.801.85人數(shù)7101265平均身高

由概率的統(tǒng)計(jì)定義,N足夠大時(shí),頻率近似等于概率所以

定義6-17設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其取值對(duì)應(yīng)的概率為,如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則把稱(chēng)為X的數(shù)學(xué)期望,記作即

定義6-18設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為如果積分絕對(duì)收斂,則把這個(gè)積分稱(chēng)為X的數(shù)學(xué)期望.記為即2.五個(gè)常用分布的數(shù)學(xué)期望(1)兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望(2)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望(3)泊松分布的數(shù)學(xué)期望(4)均勻分布的數(shù)學(xué)期望(5)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望作變換，得到3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，a,b,c均為任意常數(shù).如果X與Y相互獨(dú)立，則

例6-31某種病毒性傳染病可通過(guò)驗(yàn)血檢查.某大單位為職工進(jìn)行普查,共有1000人需要驗(yàn)血.假設(shè)一般人群中該病的陽(yáng)性者比例為,醫(yī)務(wù)人員把4個(gè)職工分為一組,把4人的血液混合檢查,如果混合血樣是陰性的,4個(gè)人平均每人化驗(yàn)次;如果混合血樣是陽(yáng)性的,則對(duì)4個(gè)人再逐個(gè)分別化驗(yàn),這樣4人共做5次化驗(yàn),平均每人化驗(yàn)次.假定不同人之間的反應(yīng)是相互獨(dú)立的,4個(gè)人混合血樣不影響陽(yáng)性與陰性的判定.這種分組化驗(yàn)比以往每人化驗(yàn)一次可減少多少工作量?

解:因?yàn)?個(gè)人混合成的血樣呈陰性反應(yīng)的概率是;呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率是.設(shè)平均每人化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X,則分布列為X1/41+1/4其數(shù)學(xué)期望抽血化驗(yàn)1000人平均化驗(yàn)次數(shù)為相當(dāng)于減少以往的工作量40%以上.

定義6-19設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

,若存在,則稱(chēng)它為隨機(jī)變量X的方差,記為二、隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

在許多實(shí)際問(wèn)題中,除了要考慮隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望外,還要研究隨機(jī)變量以E(X)為中心的離散程度,比如甲、乙兩地人均收入雖然相同,但甲地居民貧富差距比乙地大;某人舒張壓的均值雖屬正常,但波動(dòng)太大,表明此人處于病態(tài).為了刻畫(huà)隨機(jī)變量X與數(shù)學(xué)期望的這種離散程度,現(xiàn)引入隨機(jī)變量方差的定義.離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差這是方差運(yùn)算中一個(gè)常用的公式.2.方差的性質(zhì)證明:(4)3.五個(gè)常用分布的方差(1)兩點(diǎn)分布的方差(2)二項(xiàng)分布的方差若在一次試驗(yàn)中定義隨機(jī)變量以X記n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù),則且相互獨(dú)立于是可得：(3)泊松分布的方差從而(4)均勻分布的方差從而(5)正態(tài)分布的方差作代換則

例6-32在同樣的條件下,用兩種方法測(cè)定某一容器內(nèi)的細(xì)菌個(gè)數(shù)(單位:萬(wàn)個(gè))為隨機(jī)變量,分別用、表示,由大量測(cè)定結(jié)果得分布列如下表,試比較兩種方法的精度.

細(xì)菌個(gè)數(shù)

4849505152

方法1概率0.10.10.60.10.1

方法2概率0.20.20.20.20.2

解:容易算出.比較兩種方法的精度,實(shí)際上是看哪一種方法測(cè)得的數(shù)據(jù)更集中于數(shù)學(xué)期望的附近,看哪一種數(shù)據(jù)的方差更小.顯然,故方法1精度好于方法2.4.標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)

定義6-20

設(shè)隨即變量X的方差為D(X),則稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差,及作

定義6-21

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)標(biāo)準(zhǔn)差為

,則稱(chēng)為變異系數(shù),記為CV(X),

也可以用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示.

注:

變異系數(shù)能夠比較不同量綱的隨機(jī)變量的分散程度的大小.

例6-33某地20歲男子,其身高均數(shù)(數(shù)學(xué)期望)為166.06cm,標(biāo)準(zhǔn)差為4.95cm;其體重均數(shù)為53.72kg,標(biāo)準(zhǔn)差為4.96kg.試問(wèn)該地區(qū)20歲男青年身高與體重的變異程度是否可認(rèn)為相同.

解:該地20歲男子身高和體重都是隨機(jī)變量,分別用X1和X2表示.

由此可見(jiàn),該地20歲