線性代數(shù)

linearalgebra第七章第一節(jié)行列式一、行列式的概念和計(jì)算二、行列式的性質(zhì)和計(jì)算一、行列式的概念和計(jì)算用消元法解二元線性方程組方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.上述公式不易記憶,為此引進(jìn)記號(hào)

由四個(gè)數(shù)排成二(橫)行、二(豎)列,故稱為二階行列式.對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式二元線性方程組的解為注意

:

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例7-1解二元一次方程組解:稱為三階行列式.對(duì)排成三行三列的式子引進(jìn)記號(hào)(1)沙路法三階行列式的計(jì)算

注意:

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說明1

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．(2)對(duì)角線法則

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).則三元線性方程組的解為:例7-2

解:按對(duì)角線法則，有例7-3

解線性方程組解:由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:

定義7-1由個(gè)數(shù)排成行列,并左右兩邊各加一豎線,即稱為階行列式.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),其中

稱為的代數(shù)余子式,為余子式.

是由階行列式劃去所在的第1行第列后留下的階行列式.例如,四階行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為例7-4按定義7-1計(jì)算行列式解:按第1行展開例7-5證明下三角行列式證明:按第1行展開

主對(duì)角線以上(下)元素全為0的行列式稱為下(上)三角行列式.由于零元素集中,通常將零元素省略不寫.例7-6計(jì)算四階行列式解:按第1行展開二、行列式的性質(zhì)和計(jì)算1.行列式的性質(zhì)則行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.

性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.若由性質(zhì)1可知,行列式對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也成立.例7-7計(jì)算上三角行列式解:由性質(zhì)1可知,而為下三角行列式,由例7-6可得.性質(zhì)2

行列式的兩行(列)互換,則行列式反號(hào).

性質(zhì)3

行列式一行（列）的公因子可以提出來:例7-8計(jì)算五階反對(duì)稱行列式(中元素滿足解:因?yàn)樾再|(zhì)1性質(zhì)3所以性質(zhì)4

一行(列)元素全為零的行列式,其值為零.性質(zhì)5

兩行(列)完全相同的行列式,其值為零.證明:把這兩行(列)互換,由性質(zhì)2,有,故.性質(zhì)6

兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例的行列式,其值為零.

性質(zhì)7若行列式的某行(列)所有元素都是兩數(shù)之和,則該行列式等于兩個(gè)同階行列式之和:

性質(zhì)8把行列式某行(列)乘以同一常數(shù)后加到另一行(列)上去，行列式的值不變．2.行列式的計(jì)算定理7-1行列式可以按第行展開也可以按第列展開行列式的計(jì)算方法(1)按行(列)展開.(2)化為上(下)三角行列式.例7-9計(jì)算解法1:解法2:例7-10

計(jì)算

解:這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各行4個(gè)數(shù)之和都是6，今把第2，3，4列同時(shí)加到第一列，提出公因子6，然后各行減去第一行.

證明:用數(shù)學(xué)歸納法例7-11

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1階范德蒙德行列式有

定理7-2

行列式中任一行(列)的元素乘以另外一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零,即

綜合定理7-1和定理