第三章一元函數(shù)積分學(xué)

(integral)內(nèi)容不定積分定積分定積分的應(yīng)用第一節(jié)不定積分一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分的性質(zhì)基本積分公式二、換元積分法第一類換元積分法（湊分法）第二類換元積分法三、分部積分法有理函數(shù)的積分不要求一、原函數(shù)與不定積分的概念1、原函數(shù)的定義不定積分的幾何意義積分曲線：函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，在幾何上表示的是一條曲線，稱為積分曲線(integralcurve)。其方程為y=F(x)積分曲線族：f(x)的不定積分在幾何上表示的是積分曲線y=F(x)上、下平移所得到的一簇曲線，稱為其方程為y=F(x)+c3、不定積分的性質(zhì)不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù)3、不定積分的性質(zhì)4、基本積分公式(書P66)4、基本積分公式4、基本積分公式注意:求不定積分時(shí),盡量化為基本積分公式某一對(duì)應(yīng)形式課堂練習(xí)二、換元積分法第一類換元積分法小結(jié)第一類換元積分法（湊分法）xatx=asintxatx=atantxatx=asect例27結(jié)論例28結(jié)論第二類換元積分法小結(jié)三角代換可令可令可令換元法小結(jié)兩類換元積分法：（一）湊微分（二）三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令三、分部積分法設(shè)u，v都是可微函數(shù)，由微分的運(yùn)算法則結(jié)論：如果被積函數(shù)包含冪函數(shù)和三角函數(shù)設(shè)u=冪函數(shù)結(jié)論：如果被積函數(shù)包含冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)設(shè)u

=冪函數(shù)結(jié)論：如果被積函數(shù)包含冪函數(shù)和反三角函數(shù)設(shè)u=反三角函數(shù)結(jié)論：如果被積函數(shù)包含冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)設(shè)u=對(duì)數(shù)函數(shù)例27結(jié)論求不定積分總結(jié)第一節(jié)不定積分小結(jié)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分的性質(zhì)基本積分公式二、換元積分法第一類換元積分法（湊分法）第二類換元積分法三、分部積分法四、有理函數(shù)的積分第二節(jié)定積分

（DefiniteIntegral）第二節(jié)定積分定積分的概念2個(gè)實(shí)例曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程定義幾何意義性質(zhì)定積分與不定積分的關(guān)系定積分的計(jì)算反常積分abxyo實(shí)例1

（求曲邊梯形的面積）一、定積分的概念abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．曲邊梯形面積近似分割△Ai(3)求和曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限曲邊梯形面積實(shí)例2路程問題（DistanceProblem)

把整段時(shí)間分割成若干小時(shí)間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)，我們有公式路程=速度X時(shí)間解決變速運(yùn)動(dòng)的路程的基本思路（1）分割部分路程值某時(shí)刻的速度（3）求和（4）取極限路程的精確值（2）近似路程問題(1)分割(3)求和(4)取極限(2)近似兩個(gè)具體實(shí)例小結(jié)曲邊梯形的面積變速運(yùn)動(dòng)的路程求解步驟：1、定積分的定義定義被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和1、定積分的定義注意：（2）定義中區(qū)間的分法和ix的取法是任意的.

設(shè)某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度)(tvv=是時(shí)間間隔],[21TT上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程等于v(t)在區(qū)間上的定積分。

],[21TT注意（1）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。（2）函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。解：(1)分割（2）取點(diǎn)xyo1例1利用定義求定積分（3）求和例1利用定義求定積分曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值2、定積分的幾何意義abxyooyabxxyoab定積分定義的補(bǔ)充規(guī)定：abxyoabxyoxyoab定積分的性質(zhì)例比較積分值的大小例比較積分值的大小定積分的性質(zhì)7).積分中值定理證明積分中值定理證明積分中值定理證明定積分思想小結(jié)１．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：求和積零為整取極限精確值——定積分化整為零分割直（不變）代曲（變）近似3．定積分幾何意義“曲邊梯形面積的代數(shù)和”二.定積分與不定積分的關(guān)系

牛頓---萊布尼茲公式利用導(dǎo)數(shù)定義和積分中值定理證明Newton-Leibnizformula證明定積分換元法特點(diǎn):換元必須換限為什么負(fù)號(hào)沒有了？3.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．例3-51(定理1）已知函數(shù)f(x)在[-a,a]上連續(xù)，試證明：例3-51奇函數(shù)例9計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積定積分的分部積分公式推導(dǎo)（三）分部積分法例8

藥物從患者的尿液中排出,一種典型的排泄速率函數(shù)是,其中k是常數(shù).求在時(shí)間間隔內(nèi),排出藥物的量D

了解反常積分（無窮區(qū)間上的反常積分，無窮型不連續(xù)函數(shù)的反常積分）的概念。會(huì)計(jì)算反常積分四、反常積分（ImproperIntegral）1.無窮區(qū)間上的反常積分(廣義積分)xyπ/2-π/2xyπ/2-π/22.無界函數(shù)的反常積分注意：計(jì)算定積分時(shí)，首先應(yīng)判斷是常義積分還是反常積分，若是反常積分，一定要按定義的表達(dá)形式進(jìn)行計(jì)算。問題1:曲邊梯形的面積問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)的路程存在定理反常積分定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式定積分小結(jié)定積分第四節(jié)定積分的應(yīng)用微元法平面圖型的面積旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在醫(yī)藥學(xué)上的應(yīng)用．定積分的應(yīng)用回顧曲邊梯形求面積的問題定積分的元素法問題的提出abxyoxx+dxA微元法面積表示為定積分的步驟如下abxyoxx+△xiA△Ai面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值abxyoxx+△xiA△Aiabxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素求解U的一般步驟：1）根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間

],[ba2）設(shè)想把區(qū)間],[ba分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為],[dxxx+，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U△的近似值.如果U△能近似地表示為],[ba上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值)(xf與dx的乘積，就把dxxf)(稱為量U的微元且記作dU，即dxxfdU)(=；abxyo△UdU應(yīng)用：

平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等。求解U的一般步驟：3)以所求量U的微元dU=f(x)dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]上作定積分，得：即為所求量U的積分表達(dá)式。這種方法叫做微元法。A0Ay+dyycdA1A2xx+dxxx+dxA1A2解橢圓的參數(shù)方程由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．畫出草圖，便于合理選擇積分變量（重要環(huán)節(jié)）；求出交點(diǎn)坐標(biāo)，以便確定積分上下限；寫出微元（大減??；即上減下，右減左）（關(guān)鍵環(huán)節(jié)）；以微元為被積表達(dá)式，求起點(diǎn)至終點(diǎn)的定積分。平面圖形面積小結(jié)

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。圓柱圓錐圓臺(tái)二、旋轉(zhuǎn)體的體積xyoxx+dxxyo旋轉(zhuǎn)體的體積為yy+dy解直線方程為求微元dV2xx+dx2yy+dy(2,4)三、定積分在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用舉例積分中值公式的幾何解釋：1、胰島素平均濃度的測(cè)定例6、由實(shí)驗(yàn)測(cè)定病人的胰島素濃度，先讓病人禁食，以降低體內(nèi)血糖水平，然后通過注射給病人大量的糖。假定由實(shí)驗(yàn)測(cè)得病人的血液中的胰島素的濃度C(t)(單位/ml)為其中,時(shí)間t

的單位是分鐘，求血液中的胰島素在一小時(shí)內(nèi)的平均濃度C(t)（判斷患者是否患有糖尿病）2、染料稀釋法確定心輸出量

例7、心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量，在生理學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用染料稀釋法來測(cè)定。把一定量的染料注入靜脈，染料將隨血液循環(huán)通過心臟到達(dá)肺部，再返回心臟而進(jìn)入動(dòng)脈系統(tǒng)。

假定在時(shí)刻t=0時(shí)注入5mg的染料，自染料注入后便開始在外周動(dòng)脈中連續(xù)30秒監(jiān)測(cè)血液中染料的濃度，它是時(shí)間的函數(shù)C(t):

18138330532146C(t)t(