2024-2025學年上海市楊浦區(qū)同濟中學高二（上）期中數(shù)學試卷一.填空題（共12小題，滿分54分，第1-6小題每題4分，第7-12小題每題5分）1．（4分）“直線和平面相交于點”的符號表達為．2．（4分）在長方體的各條棱所在直線中，與直線異面且垂直的直線有條．3．（4分）等差數(shù)列中，，，則的公差為．4．（4分）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角．5．（4分）若圓柱的側面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是．6．（4分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小為．7．（5分）若是無窮等比數(shù)列，首項，公比，則各項的和．8．（5分）如圖是一個棱長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是．①直線與直線垂直；②直線與直線相交；②直線與直線平行；④直線與直線異面．9．（5分）一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為厘米．10．（5分）已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于．11．（5分）已知一球體剛好和圓臺的上、下底面及側面都相切，且圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該圓臺的側面積為．12．（5分）如圖，長方體中，，，，為上的一個動點，則的最小值為．二.選擇題（共4小題，滿分20分）13．（5分）已知，是兩條不同的直線，是一個平面，若，，則A． B．與異面 C．與相交 D．與沒有公共點14．（5分）“、、成等比數(shù)列”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．既非充分又非必要條件 D．充要條件15．（5分）如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是A． B．1 C． D．16．（5分）在正方體中，到四個頂點、、、距離相等的截面有A．2個 B．3個 C．4個 D．7個三.解答題（共5小題，滿分76分）17．（14分）如圖，在正方體中，棱長為2，、分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大小．18．（14分）某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內部鏤空，已知圓錐的母線長為，圓柱高為，底面的周長為．（1）求這種“籠具”的體積（結果精確到；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護罩（包括底面）50個，該保護罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實測面積計算）的造價為每平方米8元，共需多少元？（結果精確到0.1元）19．（14分）如圖，為圓錐頂點，為底面圓的圓心，，，分別為線段，弧，弧的中點，已知，．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角．20．（16分）已知數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．21．（18分）如圖，長方體的底面為邊長為1的正方形．（1）求證：直線和為異面直線．（2）若異面直線與所成角的大小為，求直線到底面的距離．（3）若平面上有且僅有一點到頂點的距離為2，棱的中點為，求點到平面的距離．

參考答案一.填空題（共12小題，滿分54分，第1-6小題每題4分，第7-12小題每題5分）1．（4分）“直線和平面相交于點”的符號表達為．解：“直線和平面相交于點”的符號表達為．故答案為：．2．（4分）在長方體的各條棱所在直線中，與直線異面且垂直的直線有4條．解：如圖所示，與直線異面且垂直的直線有，，，，共4條，故答案為：4．3．（4分）等差數(shù)列中，，，則的公差為3．【答案】3．解：根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，由于，，則．故答案為：3．4．（4分）圓錐底面半徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角．解：圓錐底面半徑為，母線長為，則它的側面展開圖扇形的圓心角所對的弧長為；所以扇形的圓心角為．故答案為：．5．（4分）若圓柱的側面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是．解：因為圓柱的側面展開為正方形，所以圓柱的高等于底面周長，則它的母線長和底面半徑的比值是，化簡為．故答案為：．6．（4分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小為．解：連接，，如圖所示：則，故（或其補角）即為所求，又，則，故答案為：．7．（5分）若是無窮等比數(shù)列，首項，公比，則各項的和．【答案】．解：無窮等比數(shù)列各項和存在的條件為，本題中，滿足條件．則各項和．故答案為：．8．（5分）如圖是一個棱長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是①④．①直線與直線垂直；②直線與直線相交；②直線與直線平行；④直線與直線異面．解：作出正方體得到直觀圖如圖所示：由直觀圖可知與為相互垂直的異面直線，故①正確；與為異面直線，故②錯誤；與為異面直線，故③錯誤；直線與直線異面，故④正確．故答案為：①④．9．（5分）一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為12厘米．解：故答案為：1210．（5分）已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于．解：正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為，底面積為12，設正四棱錐的高為，則，解得，則側面與底面所成的二面角的正切，二面角等于，故答案為：．11．（5分）已知一球體剛好和圓臺的上、下底面及側面都相切，且圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該圓臺的側面積為．解：畫出圓臺的軸截面如圖示，則截面中圓為內切球的最大圓，且，，，又上下底面周長分別為、，該圓臺的側面積為．故答案為：．12．（5分）如圖，長方體中，，，，為上的一個動點，則的最小值為．解：如圖，將旋轉到平面，連接交于，，，，，，，在△中，．故答案為：．二.選擇題（共4小題，滿分20分）13．（5分）已知，是兩條不同的直線，是一個平面，若，，則A． B．與異面 C．與相交 D．與沒有公共點【答案】解：因為，是兩條不同的直線，是一個平面，若，，則或與異面，即與沒有公共點，故只有滿足題意．故選：．14．（5分）“、、成等比數(shù)列”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．既非充分又非必要條件 D．充要條件【答案】解：①若、、成等比數(shù)列，則，充分性不成立，②若時，滿足，但、、不成等比數(shù)列，必要性不成立，、、成等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件，故選：．15．（5分）如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是A． B．1 C． D．【答案】解：根據(jù)題意，在△中，，，由，得，因此△的面積，所以原三角形面積是．故選：．16．（5分）在正方體中，到四個頂點、、、距離相等的截面有A．2個 B．3個 C．4個 D．7個【答案】解：，是異面直線和、、、距離相等的截面，應該是和異面直線公垂線垂直且過中點的平面，即正方體上下方向的中截面，同理，正方體前后方向的中截面，左右方向的中截面都滿足條件，即如圖所示，到四個頂點、、、距離相等的截面應有三個，故選：．三.解答題（共5小題，滿分76分）17．（14分）如圖，在正方體中，棱長為2，、分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大?。猓海?）證明：如圖，以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，因為，所以，因為平面，所以平面；（2）因為，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，設與平面所成角為，則，因為，所以與平面所成角為．18．（14分）某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內部鏤空，已知圓錐的母線長為，圓柱高為，底面的周長為．（1）求這種“籠具”的體積（結果精確到；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護罩（包括底面）50個，該保護罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實測面積計算）的造價為每平方米8元，共需多少元？（結果精確到0.1元）【答案】（1）；（2）138.7元．解：（1）設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，圓柱高為，則由題意有，得，圓錐高，所以“籠具”的體積．（2）圓柱的側面積，圓柱的底面積，圓錐的側面積，所以“籠具”的側面積．故造50個“籠具”的最低總造價為元．答：這種“籠具”的體積約為；生產(chǎn)50個籠具需要138.7元．19．（14分）如圖，為圓錐頂點，為底面圓的圓心，，，分別為線段，弧，弧的中點，已知，．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角．【答案】（1）證明：因為，分別為弧，弧的中點，所以與是兩條互相垂直的直徑，即，又為圓錐頂點，為底面圓的圓心，所以底面圓，又因為底面圓，所以，又因為，，平面，所以平面；（2）．解：（1）證明：因為，分別為弧，弧的中點，所以與是兩條互相垂直的直徑，即，又為圓錐頂點，為底面圓的圓心，所以底面圓，又因為底面圓，所以，又因為，，平面，所以平面；（2）連接，易知，由（1）知，故為二面角的平面角，因為，，過作垂直，垂足為，因為是線段的中點，所以為的中點，所以，，在直角△中，．故．20．（16分）已知數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1），，，，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）知，數(shù)列是等比數(shù)列，且，首項為，，，數(shù)列的前項和．21．（18分）如圖，長方體的底面為邊長為1的正方形．（1）求證：直線和為異面直線．（2）若異面直線與所成角的大小為，求直線到底面的距離．（3）若平面上有且僅有一點到頂點的距離為2，棱的中點為，求點到平面的距離．解：（1）證明：因為平面，與平面交于點，且點不在直線上，所以直線和為異面直線．（2）連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，