2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)同濟(jì)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題（共12小題，滿分54分，第1-6小題每題4分，第7-12小題每題5分）1．（4分）“直線和平面相交于點(diǎn)”的符號(hào)表達(dá)為．2．（4分）在長(zhǎng)方體的各條棱所在直線中，與直線異面且垂直的直線有條．3．（4分）等差數(shù)列中，，，則的公差為．4．（4分）圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角．5．（4分）若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則它的母線長(zhǎng)和底面半徑的比值是．6．（4分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為．7．（5分）若是無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則各項(xiàng)的和．8．（5分）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是．①直線與直線垂直；②直線與直線相交；②直線與直線平行；④直線與直線異面．9．（5分）一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為厘米．10．（5分）已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于．11．（5分）已知一球體剛好和圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺(tái)上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．12．（5分）如圖，長(zhǎng)方體中，，，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．二.選擇題（共4小題，滿分20分）13．（5分）已知，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若，，則A． B．與異面 C．與相交 D．與沒(méi)有公共點(diǎn)14．（5分）“、、成等比數(shù)列”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．既非充分又非必要條件 D．充要條件15．（5分）如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是A． B．1 C． D．16．（5分）在正方體中，到四個(gè)頂點(diǎn)、、、距離相等的截面有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)三.解答題（共5小題，滿分76分）17．（14分）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大?。?8．（14分）某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無(wú)底面，圓柱無(wú)上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長(zhǎng)為，圓柱高為，底面的周長(zhǎng)為．（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個(gè)，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實(shí)測(cè)面積計(jì)算）的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）19．（14分）如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，，，分別為線段，弧，弧的中點(diǎn)，已知，．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角．20．（16分）已知數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（18分）如圖，長(zhǎng)方體的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形．（1）求證：直線和為異面直線．（2）若異面直線與所成角的大小為，求直線到底面的距離．（3）若平面上有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為2，棱的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一.填空題（共12小題，滿分54分，第1-6小題每題4分，第7-12小題每題5分）1．（4分）“直線和平面相交于點(diǎn)”的符號(hào)表達(dá)為．解：“直線和平面相交于點(diǎn)”的符號(hào)表達(dá)為．故答案為：．2．（4分）在長(zhǎng)方體的各條棱所在直線中，與直線異面且垂直的直線有4條．解：如圖所示，與直線異面且垂直的直線有，，，，共4條，故答案為：4．3．（4分）等差數(shù)列中，，，則的公差為3．【答案】3．解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于，，則．故答案為：3．4．（4分）圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角．解：圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則它的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為；所以扇形的圓心角為．故答案為：．5．（4分）若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則它的母線長(zhǎng)和底面半徑的比值是．解：因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開(kāi)為正方形，所以圓柱的高等于底面周長(zhǎng)，則它的母線長(zhǎng)和底面半徑的比值是，化簡(jiǎn)為．故答案為：．6．（4分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為．解：連接，，如圖所示：則，故（或其補(bǔ)角）即為所求，又，則，故答案為：．7．（5分）若是無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則各項(xiàng)的和．【答案】．解：無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和存在的條件為，本題中，滿足條件．則各項(xiàng)和．故答案為：．8．（5分）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是①④．①直線與直線垂直；②直線與直線相交；②直線與直線平行；④直線與直線異面．解：作出正方體得到直觀圖如圖所示：由直觀圖可知與為相互垂直的異面直線，故①正確；與為異面直線，故②錯(cuò)誤；與為異面直線，故③錯(cuò)誤；直線與直線異面，故④正確．故答案為：①④．9．（5分）一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為12厘米．解：故答案為：1210．（5分）已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于．解：正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，底面積為12，設(shè)正四棱錐的高為，則，解得，則側(cè)面與底面所成的二面角的正切，二面角等于，故答案為：．11．（5分）已知一球體剛好和圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺(tái)上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．解：畫(huà)出圓臺(tái)的軸截面如圖示，則截面中圓為內(nèi)切球的最大圓，且，，，又上下底面周長(zhǎng)分別為、，該圓臺(tái)的側(cè)面積為．故答案為：．12．（5分）如圖，長(zhǎng)方體中，，，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．解：如圖，將旋轉(zhuǎn)到平面，連接交于，，，，，，，在△中，．故答案為：．二.選擇題（共4小題，滿分20分）13．（5分）已知，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若，，則A． B．與異面 C．與相交 D．與沒(méi)有公共點(diǎn)【答案】解：因?yàn)?，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，若，，則或與異面，即與沒(méi)有公共點(diǎn)，故只有滿足題意．故選：．14．（5分）“、、成等比數(shù)列”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．既非充分又非必要條件 D．充要條件【答案】解：①若、、成等比數(shù)列，則，充分性不成立，②若時(shí)，滿足，但、、不成等比數(shù)列，必要性不成立，、、成等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件，故選：．15．（5分）如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是A． B．1 C． D．【答案】解：根據(jù)題意，在△中，，，由，得，因此△的面積，所以原三角形面積是．故選：．16．（5分）在正方體中，到四個(gè)頂點(diǎn)、、、距離相等的截面有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)【答案】解：，是異面直線和、、、距離相等的截面，應(yīng)該是和異面直線公垂線垂直且過(guò)中點(diǎn)的平面，即正方體上下方向的中截面，同理，正方體前后方向的中截面，左右方向的中截面都滿足條件，即如圖所示，到四個(gè)頂點(diǎn)、、、距離相等的截面應(yīng)有三個(gè)，故選：．三.解答題（共5小題，滿分76分）17．（14分）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大小．解：（1）證明：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）因?yàn)椋?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以與平面所成角為．18．（14分）某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無(wú)底面，圓柱無(wú)上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長(zhǎng)為，圓柱高為，底面的周長(zhǎng)為．（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個(gè)，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實(shí)測(cè)面積計(jì)算）的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）【答案】（1）；（2）138.7元．解：（1）設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，圓柱高為，則由題意有，得，圓錐高，所以“籠具”的體積．（2）圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的側(cè)面積，所以“籠具”的側(cè)面積．故造50個(gè)“籠具”的最低總造價(jià)為元．答：這種“籠具”的體積約為；生產(chǎn)50個(gè)籠具需要138.7元．19．（14分）如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，，，分別為線段，弧，弧的中點(diǎn)，已知，．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角．【答案】（1）證明：因?yàn)?，分別為弧，弧的中點(diǎn)，所以與是兩條互相垂直的直徑，即，又為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，所以底面圓，又因?yàn)榈酌鎴A，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面；?）．解：（1）證明：因?yàn)?，分別為弧，弧的中點(diǎn)，所以與是兩條互相垂直的直徑，即，又為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，所以底面圓，又因?yàn)榈酌鎴A，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面；?）連接，易知，由（1）知，故為二面角的平面角，因?yàn)椋?，過(guò)作垂直，垂足為，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，，在直角△中，．故．20．（16分）已知數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1），，，，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）知，數(shù)列是等比數(shù)列，且，首項(xiàng)為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（18分）如圖，長(zhǎng)方體的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形．（1）求證：直線和為異面直線．（2）若異面直線與所成角的大小為，求直線到底面的距離．（3）若平面上有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為2，棱的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）證明：因?yàn)槠矫?，與平面交于點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，所以直線和為異面直線．（2）連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?/p>