PAGE1第六章平面向量及其應用（壓軸題專練）題型一：平面向量共線定理推論應用1．（多選）（2024·山西晉中·模擬預測）在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、條件等式求最值、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)三點公式求得，結合基本不等式判斷即可.【詳解】因為，所以，又，因為、、三點共線，所以，又，為正實數(shù)，所以，當且僅當，即，時取等號，故A錯誤，B正確；，當且僅當，即，時取等號，故C錯誤，D正確.故選：BD2．（24-25高三上·天津和平·期末）在平行四邊形中，，，與交于點．設，，請用表示；若，則．【答案】【知識點】向量加法的法則、向量減法的法則、用基底表示向量、平面向量共線定理的推論【分析】根據(jù)向量的線性運算法則結合平面向量基本定理，將，用表示出來即可求解.【詳解】，如圖，三點共線，設，則，所以，三點共線，設，則，所以，所以，解得，所以，又，即得.故答案為：；.3．（2025高三·全國·專題練習）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為.【答案】/【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、用基底表示向量、平面向量共線定理的推論【分析】把用表示，然后由三點共線定理得出結論．【詳解】由題意，因為，，三點共線，所以，解得.故答案為：.4．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，是的角平分線，且是上的一點，過的直線分別交邊于點，且的面積為．(1)求線段的長；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量共線定理的推論【分析】（1）利用向量線性運算得到，利用角平線的性質(zhì)得，從而由余弦定理得，再利用，即可求出結果；（2）設，由面積公式得到，再利用向量共線得到，再結合條件，即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，即，得到，因為是的角平分線，所以，所以．

又，由余弦定理得，又，所以，

因為，所以，

解得.（2）設，，解得，因為，所以，因為三點共線，所以，即，

所以，又，所以，得到，又，解得，所以，得到，所以．5．（24-25高一上·遼寧沈陽·期末）如圖所示，在中，為邊上一點，且，若，，三點共線，且，.(1)用，表示；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2).【知識點】用基底表示向量、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.（2）根據(jù)（1）的結論，轉化用，表示，根據(jù)、、三點共線找出等量關系，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】（1）由，得，所以.（2）由，，，，得，又、、三點共線，因此，則，當且僅當，即時取等號，所以取最小值.題型二：向量數(shù)量積（幾何意義法）1．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）如圖，已知等腰中，，點是邊上的動點，則的值（

）

A．為定值 B．不為定值，有最大值C．為定值10 D．不為定值，有最小值10【答案】C【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積、向量加法的法則【分析】先記的中點為，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】如圖，記的中點為，由題可知，，，，所以.故選：C.

2．（23-24高一下·江蘇泰州·階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形的邊長為2，P是正八邊形八條邊上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、向量與幾何最值、用定義求向量的數(shù)量積【分析】由投影向量的定義得到當在上時，取得最大值，進而得到答案.【詳解】由投影向量的定義可知，當在上時，取得最大值，延長交AB的延長線于點，的最大值為，其中正八邊形的外角為，故，故，，故，所以最大值為.故選：B3．（23-24高一下·上?！て谥校┤鐖D，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正方形的邊長為4，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為.【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義、求投影向量【分析】借助于正方形建系，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義，找到使在方向上的投影向量的數(shù)量最大和最小的點即得的取值范圍.【詳解】如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸建立坐標系.因，而表示在方向上的投影向量的數(shù)量，由圖不難發(fā)現(xiàn)，設過正方形的中心作與軸平行的直線與左右兩個半圓分別交于點，則當點與點重合時，投影向量的數(shù)量最大，當點與點重合時，投影向量的數(shù)量最小.易得，則的最大值為6，最小值為，故.故答案為：.4．（23-24高一下·浙江臺州·期末）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點，為邊的中點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的坐標表示【分析】通過數(shù)量積定義得出與重合時取得最大值，與重合時，取得最小值，然后建立如圖所示的平面直角坐標系，用坐標法求數(shù)量積．【詳解】如圖，過作于，則，當與同向時為正，當與反向時為負，分別過作，，為垂足，則得當與重合（即與重合）時，取得最大值，當與重合（即與重合）時，取得最小值，是正六邊形，因此以為軸，為建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，，是中點，則，，，，，，所以的范圍是，故選：B．題型三：向量數(shù)量積（建系法）1．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知A，B，C是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知識點】利用平方關系求參數(shù)、數(shù)量積的坐標表示、解析法在向量中的應用【分析】令，，進而有，應用向量數(shù)量積的坐標表示得，結合三角函數(shù)關系及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】不妨令，，又，則，所以，當時，的最小值為.故選：C2．（24-25高三上·河北·期末）在邊長為2的等邊三角形中，點D為邊的中點，點P在三角形所在的平面內(nèi)，且滿足，則的最大值為．【答案】【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、數(shù)量積的坐標表示【分析】建立直角坐標系，設點Px,y，可得，由，可得，設，，利用輔助角公式可得，即可求得的最大值．【詳解】

已知等邊三角形的邊長為2，點D為邊的中點，如圖，建立直角坐標系，則，，，設點Px,y，則，，則，又因為，所以，設，，則，所以的最大值為．故答案為：．3．（2024高三·全國·專題練習）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【答案】【知識點】平面向量基本定理的應用、數(shù)量積的坐標表示、向量在幾何中的其他應用【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數(shù)量積的坐標運算求的最小值.【詳解】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數(shù)量積的坐標運算求的最小值.解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值；解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設，且為中點，則，可得，則，且，所以當時，取到最小值為；故答案為：；.4．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）在邊長為4的正方形ABCD中，M是BC的中點，E在線段AB上運動，則的取值范圍.【答案】[8，24]【知識點】數(shù)量積的運算律、數(shù)量積的坐標表示【分析】建立平面直角坐標系，設，表達出，求出取值范圍.【詳解】以A為坐標原點，分別以AB，AD為x軸，y軸，建立直角坐標系，則，設，則，因為，所以，.故答案為：.5．（24-25高三上·天津濱海新·期中）如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為．

【答案】【知識點】數(shù)量積的坐標表示【分析】利用向量線性運算可將化為，由向量數(shù)量積的運算律和定義可構造方程求得，由此可得；作，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設，利用向量數(shù)量積的坐標運算可將化為關于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最小值的求法可求得結果.【詳解】，，，，，，又，；作，垂足為，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，

則A?2,0，，，，，設，，，解得：，，，，，，則當時，取得最小值，最小值為.故答案為：.題型四：向量數(shù)量積（極化恒等式法）1．（多選）（24-25高三上·山西晉中·階段練習）如圖所示，正六邊形的中心與圓的圓心重合，正六邊形的邊長為4，圓的半徑為1，是圓的一條動直徑，為正六邊形邊上的動點，則的可能取值為（

）

A．9 B．11 C．13 D．15【答案】BCD【知識點】數(shù)量積的運算律、向量與幾何最值、用定義求向量的數(shù)量積【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結合正六邊形的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖，設圓心為，取的中點，連接，，，，

根據(jù)題意可知，是邊長為的正三角形，易得，，根據(jù)圖形可知，當點位于正六邊形各點的中點時，有最小值，此時，當點位于正六邊形的頂點時，有最大值，此時綜上，.故選：BCD2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在平面四邊形中，O為BD的中點，且，.若，則.【答案】9【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】利用極化恒等式可求出，再利用極化恒等式可求的值.【詳解】如圖，在中，D為的中點，下面證明結論：.因為D為的中點，所以，所以①又，所以②①-②得，所以因為在平面四邊形中，O為BD的中點，且，.所以，解得，.故答案為：【點睛】結論點睛：極化恒等式如圖，在中，D為的中點，則有結論：.3．（24-25高三上·四川達州·開學考試）已知圓的半徑為4，是圓的一條直徑．兩點均在圓上，，點為線段上一動點，則的取值范圍是．【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、向量加法的法則【分析】由平面向量的線性運算和數(shù)量積運算可得，結合的取值范圍，計算即可．【詳解】如圖，為圓心，連接，

則．因為點在線段上且，則圓心到直線的距離，所以，所以，則，即的取值范圍是，故答案為：．題型五：向量模1．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，，，，是線段上一點（不含端點），若，則（

）

A． B． C．4 D．【答案】B【知識點】數(shù)量積的坐標表示、坐標計算向量的?！痉治觥肯惹蟪鲋本€的方程，根據(jù)在線段上，設出點坐標，列出方程，再根據(jù)列方程，解方程組，得到點坐標，可求的長度.【詳解】如圖：

點A，C在一次函數(shù)的圖象上.設，則，，，解得（舍去），所以，，.故選：B2．（多選）（23-24高一下·陜西咸陽·期中）如圖，在長方形中，，點滿足，其中，則的取值可以是（

）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】ABC【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、坐標計算向量的模、由向量線性運算解決最值和范圍問題、解析法在向量中的應用【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到，，從而求出，求出值域?！驹斀狻恳詾樽鴺嗽c，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標系，則，，，，設，因為，所以，即，，故，，則，，因為，所以.故選：ABC

3．（24-25高三上·天津北辰·期中）如圖，平行四邊形中，，為的中點，為線段上一點，且滿足，則；若的面積為，則的最小值為.

【答案】【知識點】用基底表示向量、已知數(shù)量積求?！痉治觥吭O，由平面向量線性運算表示即可求出，由結合基本不等式可得的最小值.【詳解】設，則，∴，故，∴，即.由的面積為得，，故，∴，當且僅當時取等號,∴的最小值為.故答案為：；.4．（2025高三·全國·專題練習）設為單位向量，非零向量，x，y為實數(shù)，若的夾角為，則的最大值是.【答案】2【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、已知數(shù)量積求?！痉治觥壳蟪?，進而求出，將轉化為以為未知量的函數(shù)問題，求出最大值即可.【詳解】因為，的夾角為，所以，則，當時，，當時，，當時，取最大值，，綜上：的最大值是2.故答案為：25．（24-25高二上·上?！るA段練習）已知、是空間中兩個互相垂直的單位向量，向量滿足，且，當取任意實數(shù)時，的最小值為【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求?！痉治觥坑上蛄康哪ｉL和數(shù)量積的運算結合二次函數(shù)求出最值即可.【詳解】因為，，，，所以，所以當時，的最小值為，故答案為：.題型六：向量夾角1．（24-25高三上·北京海淀·階段練習）已知向量，，，若則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、向量夾角的坐標表示【分析】由向量坐標的運算求出向量的坐標，再根據(jù)，利用向量夾角余弦公式列方程，求出實數(shù)的值．【詳解】由，，則，又，則，則，即，，解得，故選：C.2．（23-24高一下·浙江嘉興·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，E為BC中點，在線段AB上，且，和CF相交于點，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理邊角互化的應用、向量夾角的坐標表示【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以為原點，建立直角坐標系，由又E為BC中點，在線段AB上，且，可得，的坐標，利用坐標運算可得的余弦值.【詳解】已知，由正弦定理得，又，由余弦定理，所以，則有，即是以為直角的直角三角形，如圖，以為原點，建立直角坐標系，設，則，又E為BC中點，在線段AB上，且，則C0,6，，，，，解得．故選：B.3．（2024·四川內(nèi)江·一模）在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，與相交于點，則的余弦值為．【答案】【知識點】向量夾角的坐標表示【分析】以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出，即可得解.【詳解】以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，在平行四邊形中，已知，，，點在邊上，，則、、、，則，，所以，.故答案為：.4．（24-25高三上·云南玉溪·階段練習）如圖，在中，已知，邊上的兩條中線相交于點P，則的余弦值為．【答案】/【知識點】余弦定理解三角形、向量夾角的坐標表示【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，即為直角三角形，建立平面直角坐標系利用向量夾角的坐標表示即可得出結果.【詳解】在中，由余弦定理可得，即；因此滿足，可得是以的直角三角形；以為坐標原點，分別為軸，軸，如下圖所示;,易知即為向量的夾角，所以.故答案為：5．（2024·河南鄭州·模擬預測）如圖，在中，已知，，，，點為邊的中點，，相交于點．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【知識點】余弦定理解三角形、向量夾角的坐標表示【分析】（1）由為中點得，在中，通過余弦定理即可求；（2）建立平面直角坐標系，求，，由數(shù)量積夾角公式得，并計算即可.【詳解】（1）因為，且為中點，所以.由余弦定理得：，即，所以，即．（2）如圖，以為原點，直線為軸，過點作的垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，，，設點Mx,y由可得：，即解得：，所以，，則，所以．題型七：三角形周長（邊）1．（24-25高三上·重慶·期末）在銳角中，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】由余弦定理可，結合為銳角三角形可得答案.【詳解】由余弦定理可知：，在銳角三角形中又有，即故答案為：C．2．（24-25高三上·河北·期中）已知是銳角三角形，角、、所對的邊分別為、、，為的面積，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求含tanx的函數(shù)的定義域、用和、差角的正弦公式化簡、求值、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】利用三角形的面積公式結合余弦定理化簡得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值，根據(jù)是銳角三角形求出角的取值范圍，可求出的取值范圍，再利用正弦定理結合兩角和的正弦公式可求得的取值范圍.【詳解】因為，由三角形的面積公式和余弦定理可得，整理可得，因為，則，可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，解得，所以，，則，所以，.故選：B.3．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】由于點E在弧上運動，引入恰當?shù)淖兞?，從而表達，再利用正弦定理來表示邊，來求得周長關于角的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點的坐標系，同樣設出動點坐標，用坐標法求出距離，然后同樣把周長轉化為關于角的函數(shù)，進而求出取值范圍.【詳解】（法一）如圖，連接設，則，，故．在中，由正弦定理可得，則．在中，由正弦定理可得，則．平行四邊形的周長為．因為，所以，所以，所以，所以，則，即平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是．（法二）以O為原點，所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系．設，則，，從而，，，，故平行四邊形的周長為．因為，所以，所以，則，即平行四邊形的周長的取值范圍是．故選：A.4．（2024高三·全國·專題練習）已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】由二倍角的余弦公式、兩角和與差的正弦公式化簡已知式可得，又由三角形為銳角三角形求出，進而求出，由正弦定理化簡，再令，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因為，所以．由正弦定理得，即，所以，所以，即，所以或（舍去），得．因為為銳角三角形，所以，，得，所以．所以．令，則，，結合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，故選：D．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于先由二倍角的余弦公式、兩角和與差的正弦公式化簡已知式可得，再由三角形為銳角三角形求出，進而求出，由正弦定理化簡，再令，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.5．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）銳角中，，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】由已知求得的取值范圍是，由正弦定理把表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換結合正弦函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．【詳解】由正弦定理得：，，所以，，因為三角形為銳角三角形，所以，，從而得，所以，所以．故選：C.6．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)給定條件，可得，借助兩邊的和大于第三邊得，再將所求消去a，借助不等式性質(zhì)求出范圍.【詳解】由，得，，在中，由，得，于是，即，因此，所以的取值范圍為.故選：C7．（23-24高一下·湖北武漢·期中）在中，角所對的邊分別為，且.若，則周長的最大值為.【答案】21【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、基本（均值）不等式的應用【分析】將已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，化簡后求得，由余弦定理結合基本不等式，可求得b+c≤14，即可得出三角形周長最大值.【詳解】解：因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，因為，所以，由余弦定理得，即49=b2因為，所以b2+得，當且僅當時取等號，所以49=(b+c)所以(b+c)2≤196，當且僅當所以b+c≤14，當且僅當時取等號，所以a+b+c≤21，所以周長的最大值為21.故答案為：21.8．（23-24高一下·北京延慶·期末）在中，，.(1)求的大??；(2)從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件使不存在，第（2）問得0分.(3)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】（1）由正弦定理將邊轉化為角即可求解；（2）選條件①：由同角三角函數(shù)的平方關系可求，由三角形內(nèi)角和定理可得，由正弦定理可求邊，根據(jù)面積公式求解即可；選條件②：由已知可求，結合正弦定理可求，由大邊對大角即可判斷；選條件③：由余弦定理可求邊，根據(jù)面積公式求解即可；（3）由正弦定理可表示邊，，結合三角函數(shù)即可求解取值范圍.【詳解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因為，，所以，又，所以；（2）選條件①：，所以，由可得，由，可得或，由正弦定理解得或，當時，的面積為，當時，的面積為；選條件②：，所以為鈍角，且，由正弦定理，得，所以，又，故此三角形不存在；選條件③：，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當時，的面積為，當時，的面積為；（3）由正弦定理，可得，，所以周長為，因為，所以，，，所以周長取值范圍為.9．（23-24高一下·湖北武漢·期末）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、正弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】（1）根據(jù)題意，結合正弦定理及誘導公式，即可求得，得角即可；（2）由正弦定理，將邊全部化為角，利用三角函數(shù)來求值域即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，由正弦定理得，，即，即，因為，則，則，則，則．（2）由正弦定理得，，所以．所以，因為是銳角，則，即，解得．則，故．所以，則的取值范圍為．10．（23-24高一下·福建廈門·期中）在中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大??；(2)若D為AB中點，且，求面積的最大值；(3)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2)(3)．【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】（1）由三角函數(shù)的平方關系及余弦定理即可得出；（2）由已知可得CD=12CA+（3）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉化為三角函數(shù)求值域即可得出.【詳解】（1）由題意知1?sin即，由正弦定理得由余弦定理得，又，∴．（2）因為是的中點，所以CD=12CA+CA+即4≥ab，abmax=4當且僅當此時面積的最大值為12（3）∵asinA=bsin則的周長L=a+b+c=2sin∵，∴，∴32<sin∴23∴周長的取值范圍是23,2+題型八：三角形面積1．（2024·陜西·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，已知，則面積的最大值為（

）A． B． C．12 D．15.【答案】C【知識點】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用、正弦定理邊角互化的應用、求三角形面積的最值或范圍【分析】先利用正弦定理化邊為角，可得出的關系，再利用余弦定理求出，進而可得出，再根據(jù)三角形的面積公式結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由，由正弦定理得，即，所以，由余弦定理得，所以，所以，當，即時，取得最大值.故選：C.2．（23-24高二上·安徽亳州·期中）在中，設角，，所對的邊長分別為，，，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【知識點】余弦定理解三角形、求三角形面積的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應用【分析】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，從而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面積公式計算可得.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，即，所以，又，則，又因為，，即，所以，當且僅當時取得等號，所以，即面積的最大值為，當且僅當時取得.故選：A．3．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期中）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則，面積的取值范圍為.【答案】【知識點】求三角形面積的最值或范圍、余弦定理解三角形【分析】在銳角中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根據(jù)是銳角三角形得到a的范圍，然后利用三角形的面積公式求解.【詳解】解：在銳角中，，且，由余弦定理得：，解得；由余弦定理得，因為是銳角三角形，所以，即，解得，所以，故答案為：，4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知某平面內(nèi)三角形為等腰三角形，，點為中點，且，則面積的最大值為.【答案】【知識點】求三角形面積的最值或范圍、三角形面積公式及其應用【分析】根據(jù)向量的模長公式可得，即可利用面積公式得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設由于,所以,故,故當時，此時取最大值36，故面積的最大值為6，故答案為：65．（23-24高一下·重慶萬州·期中）在中，角所對的邊分別是，若是邊上的一點，且.(1)若時，求面積的最大值；(2)若①求角的大??；②當取得最大值時，求的面積.【答案】(1)1(2)①；②.【知識點】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、求三角形面積的最值或范圍、三角形面積公式及其應用【分析】（1）根據(jù)線段的比值關系與余弦定理求出，再求出面積表達式，求出最大值即可.（2）根據(jù)數(shù)量積表達式和正弦定理化簡，得到，再由余弦定理即可求解；根據(jù)兩次余弦定理得到，換元求最大值，從而求得，求得面積即可.【詳解】（1）由題意可得，，根據(jù)余弦定理得，所以，所以的面積為，當，即時，面積最大，最大值為1.（2）①由，，則，由正弦定理得，化簡得，所以，又因為，所以.②因為，由，可得，整理得，又因為，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當，即時，取得最大值.此時，，解得，的面積為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形中的最值問題.關鍵點是求得之后，利用換元表示出，從而進行三角函數(shù)化簡得到的最小值，并求得此時的值，代入面積公式即可求解.6．（甘肅省武威市2024-2025學年高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【知識點】三角恒等變換的化簡問題、三角形面積公式及其應用、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正弦定理邊角互化可得，結合三角形內(nèi)角的范圍可得結果.（2）根據(jù)題目條件結合余弦定理得，利用基本不等式得，根據(jù)三角形面積公式可得結果.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴.（2）由余弦定理得，，即，∵，∴，當目僅當時，等號成立，∴，∴面積的最大值為.題型九：三角形中線1．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知中，，則AB中線CM長等于.【答案】/【知識點】余弦定理解三角形【分析】利用兩次余弦定理計算即可求解.【詳解】由題意知，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得.故答案為：2．（23-24高一下·廣東廣州·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別是，，．(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形【分析】（1）根據(jù)正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡求值即可；（2）根據(jù)余弦定理及已知得，然后利用面積分割法列方程求解即可；（3）利用向量加法運算及數(shù)量積以及模的運算得，利用正弦定理得，然后利用角的范圍，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，，解得，又，所以.（2）由及，余弦定理得，又，解得，由得，即，則，所以.（3）因為是的中點，所以，則，由正弦定理得，即，為銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為．3．（24-25高三上·河北石家莊·期中）在中，角所對的邊為且滿足.(1)求；(2)當時，求邊上中線的范圍.【答案】(1)(2)【知識點】逆用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、數(shù)量積的運算律【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦公式化簡求解.（2）利用余弦定理，結合基本不等式求出的范圍，再利用向量數(shù)量積的運算律求出范圍.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，于是，而，，則，所以.（2）由（1）及余弦定理，得，當且僅當時取等號，因此，由為邊上中線，得，則，所以邊上中線的范圍是.4．（23-24高一下·江蘇連云港·期末）在中，AD是的角平分線，AE是邊BC上的中線，點D、E在邊BC上．(1)用正弦定理證明；(2)若，求DE的長．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、證明三角形中的恒等式或不等式、幾何圖形中的計算【分析】（1）由正弦定理知，，，結合條件可得結論；（2）由余弦定理可求得，進而利用（1）的結論可求.【詳解】（1）由正弦定理知，在中，，在中，，由，，所以，所以；（2）在中，由余弦定理可得，所以，由（1）可得，所以，因為是邊上的中線，所以，所以.5．（23-24高一下·重慶·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，.(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)求邊上的中線的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】三角恒等變換的化簡問題、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結合兩角和的正弦公式化簡求值即可；（2）依據(jù)余弦定理及已知求出，然后利用面積分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法運算及數(shù)量積模的運算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，又，所以，又B∈0,π，所以（2）由及余弦定理得，即，又因為，所以，所以，所以，即；（3）因為E是AC的中點，所以，則，由正弦定理得，，即，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.題型十：三角形角平分線1．（23-24高三下·四川南充·階段練習）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，若D是的角平分線與BC的交點，則的取值范圍是.【答案】【知識點】求正切（型）函數(shù)的值域及最值、三角恒等變換的化簡問題、余弦定理邊角互化的應用、正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結合應用【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理結合三角恒等變換可得，結合角的取值范圍分析求解.【詳解】在中，由得，由余弦定理得，且，所以.又因為AD是的平分線，則，在中，由正弦定理得，可得，且是銳角三角形，所以，解得，則，可得，所以，故的取值范圍是.故答案為：.2．（2024高二上·貴州·學業(yè)考試）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，.(1)若，則________；(2)若，則的面積為________；(3