PAGE1第六章平面向量及其應(yīng)用（單元重點(diǎn)綜合測試）（考試時(shí)間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.2．已知，若則的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算列方程，化簡求得的值.【詳解】.故選：D3．已知，，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】求投影向量【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影向量公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則向量在方向上的投影向量為.故選：A.4．中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【知識點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】由正弦定理可得，再由邊角關(guān)系確定角的大小即可.【詳解】由題意，在中，則，所以，因?yàn)?，所以或，又，所以．故選：A5．已知是的重心，過點(diǎn)作一條直線與邊分別交于點(diǎn)（點(diǎn)與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【知識點(diǎn)】平面向量基本定理的應(yīng)用、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用重心性質(zhì)以及平面向量共線定理可得，再由基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.即的最小值是.故選：B6．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，為邊上一點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用【分析】由已知可得，可求，可求的面積.【詳解】因?yàn)樵谥?，，又為邊上一點(diǎn)，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選：D.7．雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風(fēng)景區(qū)南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔．某同學(xué)為測量雷峰塔的高度AB（塔底視為點(diǎn)B，塔頂視為點(diǎn)A），在山腳下選取了兩點(diǎn)C，D（其中A，B，C，D四點(diǎn)共面），在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A，B的仰角分別為，，在點(diǎn)D處測得點(diǎn)A的仰角為，且測得，則按此法測得的雷峰塔塔高為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】高度測量問題【分析】延長DC與AB的延長線交于點(diǎn)E，根據(jù)角的關(guān)系得，，設(shè)，在中由余弦定理得列式得，從而有，即可求解.【詳解】如圖，在中，延長DC與AB的延長線交于點(diǎn)E.由已知得，，則，則，，設(shè)，則，又，則在中，由余弦定理得，即，解得，所以，又因?yàn)椋?故選：C8．在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為4．若，，其中，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、向量加法的法則、向量模的坐標(biāo)表示、平面向量共線定理的推論【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】如下圖所示：在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞減可得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長表達(dá)式，利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【知識點(diǎn)】平行向量（共線向量）、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)向量關(guān)系式表示垂直和平行，以及向量的數(shù)量積公式即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，是兩個(gè)非零向量，所以，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，，所以，又，所以，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，從而，所以，故D正確.故選：BCD10．設(shè)內(nèi)角的對邊分別為，則下列條件能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知識點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀【分析】對于A，由正弦定理可得，從而得或，即可判斷；對于B，由正弦定理可知，即有，即可判斷；對于C，由三角形內(nèi)角和為及誘導(dǎo)公式可得，即可判斷；對于D，由正弦定理及兩角和差公式可得，從而得，即可判斷.【詳解】解：對于A，由正弦定理可知，即，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，不符合題意；對于B，由正弦定理可知，又因?yàn)椋?，所以，所以是等腰三角形，符合題意；對于C，因?yàn)椋獾?，所以，是直角三角形，不符合題意；對于D，由正弦定理可知，所以，即，，即，所以，是等腰三角形，符合題意.故選：BD.11．如圖，是邊長為的等邊三角形，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上（含端點(diǎn)），設(shè)，則（

）A．的值不可能大于 B．C．的最小值為 D．的最大值為1【答案】BD【知識點(diǎn)】用基底表示向量、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】對于A，利用反例，結(jié)合平面向量的基本定理，作平行四邊形，可得答案；對于B，根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，可得答案；對于C、D，利用平面向量的線性運(yùn)算，整理所求數(shù)量積僅僅只有一個(gè)變量，根據(jù)三角函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作交于，作圖如下：在平行四邊形中，，由，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，故B正確；對于C、D選項(xiàng)，取線段中點(diǎn)，連接，，作圖如下：，在等邊三角形中，易知，所以，，則，設(shè)與的夾角為，易知，則，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)是平面內(nèi)不共線的一組基底，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù).【答案】【知識點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】借助向量線性運(yùn)算可得、，再利用向量共線定理計(jì)算即可得.【詳解】，，由三點(diǎn)共線，則有，解得.故答案為：.13．在中，角，，的對邊分別為，，，已知.則.【答案】【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】利用正弦定理邊角互化得到，結(jié)合余弦定理求得.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，整理可得，則，且，故.故答案為：14．如圖，、是某水域的兩直線型岸邊，，是的角平分線，且．某養(yǎng)殖戶準(zhǔn)備經(jīng)過點(diǎn)安裝一直線型隔離網(wǎng)（、分別在、上），圍成△養(yǎng)殖區(qū)．若、都不超過，則隔離網(wǎng)長度的取值范圍是．【答案】【知識點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍【分析】設(shè)，，，利用結(jié)合三角形的面積公式可得出，由，，求出的取值范圍，可求出的取值范圍，利用余弦定理結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，即為所求.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，且，因?yàn)?，即，可得，由題意可知，，，所以，，由，解得，所以，，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，則，由余弦定理可得，故，因此，的長的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知向量，且．(1)求；(2)求與的夾角．【答案】(1)5(2)【知識點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、向量模的坐標(biāo)表示、利用向量垂直求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，即可求得；（2）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可求得.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄浚?，由得，解得，所?又，所以.（2）設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)椋瑒t，又，所以，即向量與向量的夾角是.16．在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求證：；(2)若，且，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【知識點(diǎn)】二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用余弦定理以及各邊長度代入解方程可得，再由三角形面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由可得，根據(jù)正弦定理可得.（2）由可得，整理可得，即；解得或；當(dāng)時(shí)，由，可得，與矛盾，舍去；可得，代入，可得，解得，所以；由可得，即；所以的面積為17．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，____________.(1)若在橫線處填入，求；(2)給出兩個(gè)條件：①內(nèi)角的平分線長為；②BC邊上的中線長為.從條件①②中選擇一個(gè)填入橫線，求的面積.（若選擇①②分別作答，則按選擇①給分）.【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、向量減法法則的幾何應(yīng)用【分析】（1）用正弦定理求出，可得出角的兩個(gè)值，再根據(jù)“大邊對大角，小邊對小角”得出結(jié)果.（2）條件①：用等面積法列出對應(yīng)的、關(guān)系式，結(jié)合余弦定理解出的值，可以求出的面積；條件②：以AB、AC為鄰邊作平行四邊形，列出，將兩式平方相加可得出的值，再結(jié)合余弦定理解出的值，可以求出的面積.【詳解】（1）由，得，因?yàn)橹?，B∈0,π所以或，又因?yàn)?，所以，所?（2）選擇①：設(shè)的平分線交BC于點(diǎn)，則，，，，，即，在中，由余弦定理，，，，，，.選擇②：以AB、AC為鄰邊作平行四邊形，記作平行四邊形，則有，兩式平方相加得：，即又結(jié)合已知：，，可解得，即，在中，由余弦定理得：，將，，代入解得：，.18．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知向量滿足，，且．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)或.(2)【知識點(diǎn)】三角恒等變換的化簡問題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）由，得到，再利用正弦定理求解；（2）根據(jù)和，利用正弦定理得到外接圓的半徑，然后由求解.【詳解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴，∵，∴或.（2）∵，且三角形為銳角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，，.又∵為銳角三角形，∴，∴，得，.∴，，∴，又∵，∴.∴的周長的取值范圍為.19．如圖，是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（Q為圓心），且（為銳角）．點(diǎn)C為單位圓上的動點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn)M．(1)求（結(jié)果用表示）；(2)若．①求的取值范圍：②設(shè)，記，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)①；②【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、半角公式、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】（1）利用平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合二