第頁專題01空間角度與距離歸類目錄熱點(diǎn)題型歸納TOC\o"1-1"\h\u【題型一】線面角基礎(chǔ) 1【題型二】二面角基礎(chǔ) 4【題型三】異面直線所成的角 7【題型四】給角求角（值）1：線面角 10【題型五】給角求角（值）2：二面角 12【題型六】探索性動(dòng)點(diǎn)型1：線面角 15【題型七】探索性動(dòng)點(diǎn)型2：二面角 17【題型八】翻折中的角度 20【題型九】角度范圍與最值 22【題型十】距離與長度（體積） 26分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 32培優(yōu)第二階——能力提升練 37培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 42【題型一】線面角基礎(chǔ)【典例分析】如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【提分秘籍】基本規(guī)律直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，）【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)，(1)證明：平面.(2)若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【題型二】二面角基礎(chǔ)【典例分析】如圖，在四棱錐中，是直角三角形，，四邊形是等腰梯形，，，.(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面的夾角的正弦值.【提分秘籍】基本規(guī)律二面角（法向量的方向角，）判斷正負(fù)方法：觀察法；同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等；【變式訓(xùn)練】如圖所示，四棱錐中，平面平面，底面是邊長為2正方形，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.(1)求證：平面；(2)若平面，求二面角的余弦值.【題型三】異面直線所成的角【典例分析】如圖所示，是棱長為1的正方體.(1)設(shè)的重心為O，求證：直線平面；(2)設(shè)E?F分別是棱?上的點(diǎn)，且，M為棱的中點(diǎn)，若異面直線與EF所成的角的余弦值為，求a的值.【提分秘籍】基本規(guī)律（1）、異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角）【變式訓(xùn)練】如圖，在直三棱柱中，，．，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【題型四】給角求角（值）1：線面角【典例分析】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.【變式訓(xùn)練】如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．【題型五】給角求角（值）2：二面角【典例分析】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，若二面角的大小為，試求的值.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，，，，，，，都在平面的上方.(1)證明：平面平面；(2)若，且平面CDE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.【題型六】探索性動(dòng)點(diǎn)型1：線面角【典例分析】如圖，在長方體中，，，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)是否存在點(diǎn)E，使得直線AC與平面所成角為45°，若存在，求出DE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】在四棱錐中，已知，，，，，，是上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出該點(diǎn)的位置；不存在，請(qǐng)說明理由．【題型七】探索性動(dòng)點(diǎn)型2：二面角【典例分析】如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是等邊三角形，平面平面，，為棱上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且正方形ABCD邊長為2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：AE⊥平面PBC；（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.【題型八】翻折中的角度【典例分析】如圖（一）四邊形ABCD是等腰梯形，，，，，過D點(diǎn)作，垂足為E點(diǎn)，將沿DE折到位置如圖（二），且．(1)證明：平面平面EBCD；(2)已知點(diǎn)P在棱上，且，求二面角的余弦值．【變式訓(xùn)練】如圖1，在等邊中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，記.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；(2)試探究：隨著λ值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請(qǐng)說明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角的正弦值大?。绢}型九】角度范圍與最值【典例分析】在四棱錐中，底面為矩形，平面平面.(1)求證：平面平面；(2)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.已知四棱錐的底面為正方形，側(cè)面PAD為等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．(1)求證：平面PAD；(2)設(shè)M為l上一點(diǎn)，求PC與平面MAD所成角正弦值的最小值．2.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，.(1)證明：；(2)求當(dāng)面與面所成的二面角的正弦值最小時(shí)，三棱錐的體積.【題型十】距離與長度（體積）【典例分析】在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線段CP的中點(diǎn)．(1)求證：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．【提分秘籍】向量計(jì)算點(diǎn)到距離公式（棱錐等的高）方法一：直接法（直接做出高）方法二：等體積轉(zhuǎn)化法方法三：建系向量計(jì)算法【變式訓(xùn)練】1.如圖，在直三棱柱中，，，D，分別是BC，的中點(diǎn)，，過點(diǎn)G作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)證明；(2)若二面角的大小是，求三棱柱的體積.2.如圖，在五面體ABCDE中，已知，，且，.(1)求證：平面平面ABC；(2)線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求CF的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．2.在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，，二面角的余弦值為，求的長．3.1.如圖，三棱柱中，，，平面.(1)求證：；(2)若，直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.4.已知平面四邊形，，（如圖1所示），現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，（如圖2所示）．(1)求證：平面；(2)若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．培優(yōu)第二階——能力提升練1.如圖，四棱錐的底面為矩形，底面ABCD．過AD的平面分別與線段相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)證明：；(2)若，試問是否存在平面，使得直線PB與平面所成角的正弦值為？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．2.如圖，在直三棱柱中，，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到面的距離；(2)試問線段上是否存在點(diǎn)E，使AE與所成角的余弦為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.3.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形ABB1A1為正方形，四邊形AA1C1C為菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：AA1⊥CD；(2)棱B1C1（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．4.如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長為2的菱形．(1)若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練如圖（1）所示的四邊形中，，，，，沿將進(jìn)行翻折，使得，得到如圖（2）所示的四棱錐.四棱錐的體積為，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)，不重合）.(1)求證：平面；(2)探求是否存在大小為的二面角.如果存在，求出此時(shí)線段