第頁專題5直線方程綜合大題歸類目錄一、熱點題型歸納TOC\o"1-1"\h\u【題型一】求直線方程 1【題型二】平行線距離 4【題型三】解三角形：求邊對應的直線方程 5【題型四】解三角形三大線：中線對應直線 7【題型五】解三角形三大線：高對應直線 9【題型六】解三角形三大線：角平分線對應直線 10【題型七】最值：面積最值 12【題型八】最值：截距與長度 13【題型九】疊紙 15【題型十】三直線 18【題型十一】直線與曲線：韋達定理與求根 19【題型十二】直線應用題 21培優(yōu)第一階——基礎過關(guān)練 23培優(yōu)第二階——能力提升練 27培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 32【題型一】求直線方程【典例分析】在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.(1)求對角線所在直線方程；(2)已知直線過點，與直線的夾角余弦值為，求直線的方程.（以上所求方程都以直線的一般式方程作答）【提分秘籍】基本規(guī)律1、可以適當?shù)闹v一下夾角公式：2、到角公式：3、如果不用夾角公式與到角公式，則可以處理【變式訓練】1.已知直線的方程為，直線的方程為.(1)設直線與的交點為，求過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程；(2)設直線的方程為，若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)的取值的集合.2.如圖，射線與軸正半軸的夾角分別為和，過點的直線分別交，于點．(1)當線段的中點為時，求的方程；(2)當線段的中點在直線上時，求的方程．【題型二】平行線距離【典例分析】已知直線過點，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．【提分秘籍】基本規(guī)律1、兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離：d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))2、過兩定點的兩條平行線之間的距離范圍：[0,d].其d是兩定點之間的距離【變式訓練】1.兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.2.已知直線與的方程分別為，，直線平行于，直線與的距離為，與的距離為，且，求直線的方程．【題型三】解三角形：求邊對應的直線方程【典例分析】在等腰中，，頂點的坐標為，直角邊所在的直線方程為，求邊和所在的直線方程．【提分秘籍】基本規(guī)律要注意邊所在的直線斜率不存在的情況，防止漏解錯解【變式訓練】1.已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．2.已知過點且斜率為的直線l與x，y軸分別交于P，Q兩點，分別過點P，Q作直線的垂線，垂足分別為R，S，求四邊形PQSR的面積的最小值．【題型四】解三角形三大線：中線對應直線【典例分析】已知直線，，，記．（1）當時，求原點關(guān)于直線的對稱點坐標；（2）在中，求邊上中線長的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律中點坐標公式的應用。三角形中線的性質(zhì)。3、中線交點是三角形的重心，是中線的三等分點，并且重心坐標公式：【變式訓練】1.在平面直角坐標系中，已知的三個頂點，，.（1）求邊所在直線的一般方程；（2）邊上中線的方程為，且的面積為4，求點的坐標.2.已知的頂點，，邊上的中線的方程為，邊所在直線的方程為(1)求邊所在直線的方程，化為一般式；(2)求頂點的坐標.【題型五】解三角形三大線：高對應直線【典例分析】已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.分別求，邊所在直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律三角形的高，和對應底邊垂直，所以若斜率都存在，則滿足【變式訓練】1.在中，，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.(1)求點坐標：(2)求直線的方程.2.已知ABC的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．(1)求頂點C的坐標；(2)求直線BC的方程．【題型六】解三角形三大線：角平分線對應直線【典例分析】已知的一個頂點，且，的角平分線所在直線的方程依次是，，求的三邊所在直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律1.求角平分線方程可根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等求解2.求角平分線，可以利用夾角公式，或者到角公式求解【變式訓練】1.在中，已知，.(1)若直線過點，且點A，到的距離相等，求直線的方程；(2)若直線為角的內(nèi)角平分線，求直線的方程.2.已知：的頂點和的角平分線所在直線方程為，求邊所在直線方程．【題型七】最值：面積最值【典例分析】已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于，的面積為（O為坐標原點），求的最小值和此時直線的方程.【提分秘籍】基本規(guī)律1.利用點斜式求這類面積最值，設直線方程時，要注意斜率的正負。2.可以利用截距式，借助于均值不等式技巧求解【變式訓練】1.在直角坐標系中，已知射線，過點作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點A、B．(1)當AB的中點為P時，求直線AB的兩點式方程；(2)求△OAB面積的最小值．2.已知直線l的方程為.(1)若直線l與兩坐標軸所圍成的三角形為等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)若，直線l與x，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求△OMN面積取得最小值時直線l的方程.【題型八】最值：截距與長度【典例分析】一條直線經(jīng)過點．分別求出滿足下列條件的直線方程．(1)與直線垂直；(2)交軸、軸的正半軸于，兩點，且取得最小值．【變式訓練】1.在平面直角坐標系中，點，，直線.(1)在直線上找一點使得最小，并求這個最小值和點的坐標；(2)在直線上找一點使得最大，并求這個最大值和點的坐標.2.已知．(1)若直線l過點P，且原點到直線l的距離為2，求直線l的方程．(2)是否存在直線l，使得直線l過點P，且原點到直線l的距離為6？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【題型九】疊紙【典例分析】如圖，OAB是一張三角形紙片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，設直線l與邊OA，AB分別交于點M，N，將△AOB沿直線l折疊后，點A落在邊OB上的點處．(1)設，試用m表示點N到OB的距離；(2)求點N到OB距離的最大值．【提分秘籍】基本規(guī)律可轉(zhuǎn)化為軸對稱問題，利用中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系.。中點坐標公式、兩條直線垂直的條件、點到直線的距離公式是解題【變式訓練】1.如圖所示，在平面直角坐標中，已知矩形的長為2，寬為1，邊?分別在軸?軸的正半軸上，點與坐標原點重合，將矩形折疊，使點落在線段上，若折痕所在直線的斜率為，則折痕所在的直線方程為__________.2.在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸，y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，如圖所示．將矩形折疊，使點A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；（2）在（1）的條件下，若時，求折痕長的取值范圍．【題型十】三直線【典例分析】平面上三條直線，，，如果這三條直線將平面劃分為六個部分，求實數(shù)的所有可能的取值．【變式訓練】1.已知三條直線和，且與的距離是．(1)求的值；(2)能否找到一點，使同時滿足下列三個條件：①點是第一象限的點；②點到的距離是點到的距離的；③點到的距離與點到的距離之比是，若能，求點的坐標；若不能，請說明理由．【題型十一】直線與曲線：韋達定理與求根【典例分析】已知動點P與兩個頂點，的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程;(2)過點且斜率為k的直線l，交曲線C于、N兩點，若，求斜率k【提分秘籍】基本規(guī)律1.直線與曲線有兩個交點，則可以連立方程，消去一個變量后的一元二次方程有兩個根。借助于求根公式直接求解，或者韋達定理轉(zhuǎn)化求解（圓錐曲線大題初步）【變式訓練】1.已知曲線．(1)說明曲線C是什么圖形，并畫出該圖形；(2)直線經(jīng)過點，與曲線C交于M，N兩點，且點A是線段MN的中點，求直線的方程；(3)直線與曲線C交于M，N兩點，且，求直線的方程．【題型十二】直線應用題【典例分析】如圖，為保護河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護區(qū)的邊界為圓心在線段上，并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點位于點正北方向60m處，點C位于點正東方向170m處（為河岸），．(1)求新橋的長；(2)長的范圍是多少？【變式訓練】1.如圖，在一段直的河岸同側(cè)有A、B兩個村莊，相距5km，它們距河岸的距離分別為3km、6km．現(xiàn)在要在河邊修一抽水站并鋪設輸水管道，同時向兩個村莊供水．如果預計修建抽水站需8.25萬元（含設備購置費和人工費），鋪設輸水管每米需用24.5元（含人工費和材料費）．現(xiàn)由鎮(zhèn)政府撥款30萬元，問A、B兩村還需共同自籌資金多少才能完成此項工程？（精確到100元）（參考數(shù)據(jù)：，，，）分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關(guān)練1.已知直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且________，若直線m與直線l關(guān)于點對稱，求直線m的方程．試從①與直線垂直，②在y軸上的截距為，這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，并解答．2.已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．3.在等腰直角三角形中，已知一條直角邊所在直線的方程為，斜邊的中點為，求其它兩邊所在直線的方程.4.已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求AB邊的高所在直線方程.5.三角形的三個頂點是，，.（1）求邊上的高所在直線的方程.（2）求邊的垂直平分線的方程.6.在中，點，邊上中線所在的直線方程為，的內(nèi)角平分線所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求的邊所在直線的方程.7.設直線的方程為.(1)若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若直線與軸?軸分別交于點，求（為坐標原點）面積的最小值及此時直線的方程.8.將一張紙沿直線對折一次后，點與點重疊，點與點重疊.(1)求直線的方程；(2)求的值.9.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知矩形的長為3，寬為2，邊分別在軸、軸的正半軸上，點與坐標原點重合.將矩形折疊，使點落在線段上，已知折痕所在直線的斜率為.（1）求折痕所在的直線方程；（2）若點為的中點，求的面積.培優(yōu)第二階——能力提升練1.已知，，．(1)若點滿足，，求點的坐標；(2)若點在軸上，且，求直線的傾斜角．2.已知兩直線l1與l2，直線l1經(jīng)過點（0，3），直線l2過點（4，0），且l1∥l2．(1)若l1與l2距離為4，求兩直線的方程；(2)若l1與l2之間的距離最大，求最大距離，并求此時兩直線的方程．3.已知平行四邊形的三個頂點的坐標為、、．(1)求邊的中垂線所在的直線方程和平行四邊形的頂點D的坐標；(2)求的面積．4.如圖，在平行四邊形中，邊所在直線方程為，點.(1)求直線的方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.5.已知點A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在直線l：x-2y+2=0上.(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積.6.已知，，，，軸為邊中線．（1）求邊所在直線方程；（2）求內(nèi)角角平分線所在直線方程．7.已知直線.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．8.過點作直線與兩坐標軸的正半軸相交，當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時，求此直線方程．9.在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合如圖所示將矩形折疊，使點A落在線段DC上．（1）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程（2）當時，求折痕長的最大值．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知直線：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.2.若點和到直線l的距離都是.(1)根據(jù)m的不同取值，討論滿足條件的直線l有多少條？(2)從以下三個條件中：①；②；③；選擇一個條件，求出直線l的方程.3.正方形一條邊所在方程為，另一邊所在直線方程為，(1)求正方形中心所在的直線方程；(2)設正方形中心，當正方形僅有兩個頂點在第一象限時，求的取值范圍．4.已知ABC的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．(1)求頂點C的坐標；(2)求直線BC的方程．5.已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．6.已知△ABC的內(nèi)角平分線CD的方程為，兩個頂點為A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求點A到直線CD的距離；（2）求點C的坐標．7.已知直線均過點P(1