第頁專題7圓切線與圓最值歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】圓最值1：圓上動點與圓心 1【題型二】圓最值2：直線動點與圓 3【題型三】圓最值3：阿波羅尼斯圓 5【題型四】圓最值:4：將軍飲馬型 8【題型五】圓最值5：定角范圍 10【題型六】圓最值6：最短距離 13【題型七】切線1:入射與反射光線 15【題型八】切線2：切點弦方程 17【題型九】切線3：切點弦過定點 19【題型十】切線4：切線長最值范圍 21【題型十一】切線5：切線三角形與四邊形面積最值 23【題型十二】切線6：切點弦長最值 25【題型十三】切線7：向量范圍 28【題型十四】切線轉(zhuǎn)化綜合 30培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 33培優(yōu)第二階——能力提升練 39培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 45【題型一】圓最值1：圓上動點與圓心【典例分析】已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（

）A． B．9 C．7 D．【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，圓上的動點有關(guān)的最值，可以轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)，通過加減半徑解決。解題時要注意幾何法的合理利用，同時還要注意轉(zhuǎn)化方法的運用【變式訓(xùn)練】1.點在曲線上運動，，且的最大值為，若，，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．42.已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.已知點，且點在圓上，為圓心，則下列說法錯誤的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)最大時，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為【題型二】圓最值2：直線動點與圓【典例分析】已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（

）A．1 B．2 C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，直線動點與圓上點的最值關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離?！咀兪接?xùn)練】1.已知點是圓上的動點，直線與軸?軸分別交于兩點，當(dāng)最小時，（

）A． B． C． D．2.若直線與圓交于A，B兩點，則當(dāng)周長最小時，k＝（

）A． B． C．1 D．－13.已知直線與圓交于兩點，則當(dāng)弦最短時，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【題型三】圓最值3：阿波羅尼斯圓【典例分析】已知點，動點滿足，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律解題時，往往會遇到“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動點所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）到定點的距離為定長的動點的軌跡；（2）如果為定點，且動點滿足，則動點的軌跡為圓（阿波羅尼斯圓）（3）如果中，為定長，為定值，則動點的軌跡為一段圓?。咀兪接?xùn)練】1.已知邊長為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點，的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.已知兩定點，如果平面內(nèi)動點滿足條件，則的最大值是_____【題型四】圓最值:4：將軍飲馬型【典例分析】已知圓上的動點和定點，則的最小值為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律滿足已知圓上點M與兩定點A,B，則型距離，可以借助特殊點借助三角形相似來轉(zhuǎn)為為兩點之間的距離求解。【變式訓(xùn)練】1.已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．3.已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為________.【題型五】圓最值5：定角范圍【典例分析】已知圓為圓上兩個動點，且為弦AB的中點，，，當(dāng)A，B在圓上運動時，始終有為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【提分秘籍】基本規(guī)律和圓的切線有關(guān)的角度問題，難度較難大。圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，可通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍.【變式訓(xùn)練】1.設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知圓和兩點，，．若圓上存在點，使得，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．43.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為______________.【題型六】圓最值6：最短距離【典例分析】已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律最短距離，可以轉(zhuǎn)化為：1.三角形兩邊之差小于第三邊，共線，則可以取等號。2.利用光學(xué)性質(zhì)，借助對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間距離?！咀兪接?xùn)練】1.一束光線，從點A(-2，2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．2.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【題型七】切線1:入射與反射光線【典例分析】自點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，其反射光線所在直線正好與圓相切，則反射光線所在直線的所有斜率之和為（

）A． B．2 C． D．4【提分秘籍】基本規(guī)律入射光線與反射光線，可以分別找對應(yīng)光線上點關(guān)于“鏡面”對稱點來求解?！咀兪接?xùn)練】1.已知圓：，從點發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，光線恰好平分圓的周長，則入射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．2.一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后與圓相切，則反射光線所在直線的方程的斜率為（

）A． B．或 C． D．或3.過點的直線經(jīng)x軸反射后與圓相切，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【題型八】切線2：切點弦方程【典例分析】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【變式訓(xùn)練】1.過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2.過直線上任一點P作圓O：的兩條切線，切點分別為A，B，若直線AB與圓M：恒有公共點，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（

）A． B．6C．8 D．【題型九】切線3：切點弦過定點【典例分析】已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點.A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律把圓的切線問題轉(zhuǎn)化為求兩圓的公共弦問題，然后就能得到直線的方程，再利用含參直線過定點的解題策略求定點坐標(biāo)即可.【變式訓(xùn)練】1.圓：，點為直線上的一個動點，過點向圓作切線，切點分別為、，則直線過定點A． B． C． D．2.已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（

）A． B． C． D．3.已知圓的圓心在坐標(biāo)原點，且與直線相切，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，、為切點，則直線經(jīng)過定點（

）A． B． C． D．【題型十】切線4：切線長最值范圍【典例分析】已知是直線上一點，是圓的一條切線，是切點，若長度的最小值為，則的值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律圓的切線(1)過圓上一點作圓的切線有且只有一條；(2)過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．（3）求圓外定點的切線長，多轉(zhuǎn)化為定點、切點、圓心所在三角形?！咀兪接?xùn)練】1.若過直線上一點向圓：作一條切線切于點，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．2.已知圓，點在直線上，過直線上的任一點引圓的兩條切線，若切線長的最小值為2，則直線的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或3.已知圓，直線，點在直線上運動，直線，分別與圓相切于點，，當(dāng)切線長最小時，弦的長度為（

）A． B． C． D．【題型十一】切線5：切線三角形與四邊形面積最值【典例分析】已知定直線l的方程為，點Q是直線l上的動點，過點Q作圓的一條切線，是切點，C是圓心，若面積的最小值為，則此時直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律切點四邊形可以轉(zhuǎn)化為圓外定點、切點、圓心所在三角形?！咀兪接?xùn)練】1.過直線上一點P作圓M：的兩條切線，切點分別為A，B，若使得四邊形PAMB的面積為的點P有兩個，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或2.過圓：上一點作圓：的切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（

）A． B．2 C． D．33.已知圓O：，點P是橢圓C：上一點，過點P作圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB分別交軸、軸于點M、N，則的面積的最小值是A． B．1 C． D．【題型十二】切線6：切點弦最值【典例分析】已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當(dāng)取最大值時，△的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律求切點弦長度（范圍）：1.抓化為定點、切點、圓心三點三角形，可以借助勾股定理（或者三角函數(shù)正余弦）求解。2.轉(zhuǎn)化為圓心到切點弦距離最值求解【變式訓(xùn)練】1.若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.3.已知圓與直線，過l上任意一點P向圓C引切線，切點為A，B，若線段長度的最小值為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【題型十三】切線7：向量范圍【典例分析】已知P是函數(shù)圖象上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．【提分秘籍】基本規(guī)律圓切線求向量，屬于有難度的題型，借助于定（動）點、切點和圓心所構(gòu)成的直角三角形來轉(zhuǎn)化求解。涉及到長度，夾角等較多因素?！咀兪接?xùn)練】1.已知圓，，過圓上一點P作圓的兩條切線，切點分別是E、F，則的最小值是A．6 B．5 C．4 D．32.過點作圓C：的切線，切點分別為A，B，則的最小值為A． B． C． D．3.過點P向圓C:作切線，切點分別為A，B.則的最小值為（

）A． B．6 C． D．【題型十四】切線轉(zhuǎn)化綜合【典例分析】已知圓,直線,若直線上存在點，過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是A． B．[,]C． D．）【變式訓(xùn)練】1.已知點P是直線l：上的動點，過點P引圓C：的兩條切線PM，PN，M，N為切點，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r，則r的值為A．4 B．3 C．2 D．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點滿足：過點作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數(shù)m的值為（

）A．1 B． C．3 D．73.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動點在直線上，過點分別作圓的切線，切點分別為，若滿足的點有且只有兩個，則實數(shù)的取值范圍是________．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.若x，y滿足，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無法確定2.過點的直線與圓：交于，兩點，當(dāng)弦取最大值時，直線的方程為（

）A． B． C． D．3.若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）．A． B． C． D．4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為___________．5.在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點，，點在軸的正半軸上移動，當(dāng)取最大值時，點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6.一束光線，從點出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．7.已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．8.過點D(1,－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線的方程為（

）A．2y－1＝0 B．2y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝09.已知圓：，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線?，?為切點，則直線過定點（

）A． B． C． D．10.若圓上總存在兩點關(guān)于直線對稱，則過圓外一點向圓所作的切線長的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．411.已知直線：與圓：()相離，過直線上的動點做圓的一條切線，切點為，若面積的最小值是，則（

）A．1 B． C．1或 D．212.若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．13.已知圓的圓心為為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________．14.已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，，其中，為切點，若的最大值為120°，則的值為（

）A． B． C．4 D．6培優(yōu)第二階——能力提升練1.已知圓，點，分別是圓，圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．2.直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4.在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5.已知是圓的一條弦，且，是的中點，當(dāng)弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．6.已知點，Q為圓上一點，點S在x軸上，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．107.已知圓，從點發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為（

）A． B． C． D．48.已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．9.已知圓的圓心為原點，且與直線相切.點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如圖所示，則直線恒過定點的坐標(biāo)為A． B． C． D．10.已知直線是圓的對稱軸，過點作圓C的一條切線，切點為B，則等于（

）A．4 B． C． D．311.已知點是直線上一動點，是圓的兩條切線，是切點若四邊形的最小面積是，則的值為（

）A． B． C． D．12.過x軸正半軸上一作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．313.已知圓，圓，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線，切點分別為，則的最小值是A． B．3 C． D．14.已知圓：，直線：，若在直線上任取一點作圓的切線，，切點分別為，，則最小時，原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知點，分別為圓：，：上的動點，為軸上一點，則的最小值（

）A． B． C． D．2.已知直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，動點P在以點A為圓心，2為半徑的圓上，當(dāng)最大時，△APB的面積為（

）A． B．1 C．2 D．3.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足.設(shè)點的軌跡為，則下列說法錯誤的是（

）A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于的兩點，使得C．在上存在點，使得D．當(dāng)三點不共線時，射線是的角平分線4.阿波羅尼