第頁(yè)專題27排列組合綜合應(yīng)用歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】坐座位是否相鄰模型 1【題型二】先分組后排列型 2【題型三】球放盒子基礎(chǔ)型 4【題型四】球放盒子：電梯、公交車型 5【題型五】節(jié)假日值班型 7【題型六】定序型 9【題型七】相同元素：空坐位型 11【題型八】配對(duì)（不配對(duì)）型 12【題型九】1,0與10數(shù)字排位型 13【題型十】相同元素型 14培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練 16培優(yōu)第二階——能力提升練 18培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 22【題型一】坐座位是否相鄰模型【典例分析】中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種【答案】A【分析】根據(jù)給定條件先求出“射”不在第一次的“六藝”講座不同的次序數(shù)，去掉“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂(lè)”兩次相鄰的“六藝”講座不同的次序數(shù)即可得解.【詳解】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動(dòng)，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂(lè)”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律常見(jiàn)排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問(wèn)題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問(wèn)題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；【變式訓(xùn)練】1.5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【答案】86400【分析】分三步，先將5個(gè)女孩圓排列，再把6個(gè)男孩按2，1，1，1，1分成5組，最后把這5組放入已成圓排列的5個(gè)間隔即可得解.【詳解】因?yàn)槿我?個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則有且僅有2個(gè)男孩站在一起，先把5個(gè)女孩排成一個(gè)圈，這是個(gè)圓形排列，因此排法共有(種)，把6個(gè)男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個(gè)女孩構(gòu)成圓排列的5個(gè)間隔中有種方法，而站在一起的兩個(gè)男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的排法共有(種).故答案為：864002.某學(xué)?；I備元旦晚會(huì)節(jié)目單時(shí)，準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目排三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目，若三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰，則不同的排法總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用間接法求解，先求出五個(gè)節(jié)目的全排列數(shù)，再求出三個(gè)歌唱節(jié)目都相鄰的排法數(shù)，相減即可得結(jié)果.【詳解】三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目的全排列的排列數(shù)為，其中三個(gè)歌唱節(jié)目都相鄰的排法數(shù)為，故滿足條件的排法數(shù)為，所以三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰的排法總數(shù)為84，故選：C.3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結(jié)果．【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個(gè)男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個(gè)空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．【題型二】先分組后排列型【典例分析】舉世矚目的第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至2月20日在北京舉辦，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大學(xué)生志愿者前往、、三個(gè)場(chǎng)館服務(wù)，每一位志愿者只去一個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同學(xué)和乙同學(xué)不能去同一場(chǎng)館，則所有不同的安排方法種數(shù)為（

）A．114 B．150 C．108 D．54【答案】A【分析】先將5位大學(xué)生分成3組，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三個(gè)場(chǎng)館，再減去甲同學(xué)和乙同學(xué)去同一場(chǎng)館的情況即可【詳解】將5位大學(xué)生分成3組，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三個(gè)場(chǎng)館，則不同的安排方法有，當(dāng)甲同學(xué)和乙同學(xué)去同一場(chǎng)館的情況有，只有甲同學(xué)和乙同學(xué)兩人在同一場(chǎng)館，或甲同學(xué)和乙同學(xué)還有另一位同學(xué)三人在同一場(chǎng)館，所以甲同學(xué)和乙同學(xué)去同一場(chǎng)館不同的安排方法有種，所以甲同學(xué)和乙同學(xué)不去同一場(chǎng)館的安排方法有，故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律先分組后排列模型，多涉及到“抽屜原則型”分，即類球放盒子，球多盒子少的分配，有多球在一個(gè)盒子中。滿足以下特征：1.一個(gè)球一個(gè)放一個(gè)盒子2.盒子可能有空，但是一般情況下球不能剩余。3.球數(shù)量比盒子多。方法：1.需要用幾個(gè)盒子放球，通過(guò)組合數(shù)剔除掉多余的盒子2.根據(jù)放球盒子數(shù)，把球分組，分組數(shù)與放球盒子數(shù)相同3.如果涉及到分組的兩組甚至多組球數(shù)量相等，注意用平均分組模型：除以相同組數(shù)的全排列4.再把分組的按照組數(shù)全排列即可【變式訓(xùn)練】1..某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是（

）A．72 B．108 C．216 D．432【答案】C【分析】先把4名“熟手”分為人數(shù)為的三組，再分到三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，然后把2名“生手”分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，由乘法原理計(jì)算可得．【詳解】根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為的三組，再分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，共有種分法，然后把2名“生手”分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，有種分法，所以共有種不同的分配方案.故選：C.2.疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項(xiàng)，某新聞?dòng)浾邽檎{(diào)查不同口罩的防護(hù)能力，分別在淘寶、京東、拼多多等購(gòu)物平臺(tái)購(gòu)買了7種口罩，安排4人進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，且每人至少統(tǒng)計(jì)1種口罩的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計(jì)），則不同的安排方法有（

）A．6000種 B．7200種 C．7800種 D．8400種【答案】D【分析】由題意可知安排方法分三類，第一類，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)4種，第二類，2個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)3種，第三類，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，然后利用先分組后排列計(jì)算即得.【詳解】由題意可知安排方法分三類：第一類，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)4種，有（種）；第二類，2個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)3種，有（種）；第三類，1個(gè)人統(tǒng)計(jì)1種，3個(gè)人統(tǒng)計(jì)2種，有（種）；故總的安排方法有（種）．故選：D．3.在某互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)上，為了提升安保級(jí)別，將甲、乙等5名特警分配到3個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)人只能分配到1個(gè)路口，每個(gè)路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，則不同的安排方法有（

）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種【答案】D【分析】先考慮甲乙不在同一個(gè)路口的情況，再考慮甲乙再同一路口的情況，進(jìn)而根據(jù)分配法求得答案.【詳解】先不考慮條件“甲和乙不能安排在同一個(gè)路口”，則有兩種情況：①三個(gè)路口人數(shù)分別為3，1，1時(shí)，安排方法共有（種）；②三個(gè)路口人數(shù)分別為2，2，1時(shí)，安排方法共有（種）．若將甲、乙安排在同一路口，可以把甲、乙看作一個(gè)整體，則相當(dāng)于將4名特警分配到3個(gè)不同的路口，安排方法共有（種）．故甲和乙不安排在同一個(gè)路口的安排方法共有（種）．故選：D．【題型三】球放盒子基礎(chǔ)型【典例分析】.某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)題意，甲不可預(yù)約C醫(yī)院，則甲可預(yù)約A，B兩家醫(yī)院，分若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約A醫(yī)院；若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約B或C醫(yī)院；③若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約A或C醫(yī)院；若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約B醫(yī)院，四種情況，即可求解.【詳解】由題意，甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗，即甲不可預(yù)約C醫(yī)院，則甲可預(yù)約A，B兩家醫(yī)院，①若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約A醫(yī)院，則丙可預(yù)約B，C醫(yī)院，共2種情況；②若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約B或C醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；③若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約A或C醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；④若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約B醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，C醫(yī)院，共2種情況，所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為種．故選：D．【提分秘籍】基本規(guī)律球放盒子模型應(yīng)用比較多，許多的“人坐座位”模型其實(shí)就是“球放盒子”型。結(jié)合題意，確認(rèn)是按照先分組后排列模型，還是特殊元素優(yōu)先排特殊位置優(yōu)先站的分類討論型。，【變式訓(xùn)練】1.、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的基本事件種數(shù)，再求出甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件所含基本事件數(shù)即可求解作答.【詳解】依題意，4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的試驗(yàn)的基本事件有種，它們等可能，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)，甲、乙各有2種選法，丙、丁各有3種選法，甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件含有的基本事件有種，所以甲不在A小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率.故選：B2.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種【答案】B【分析】對(duì)三個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)1，2，3，則每個(gè)盒子裝球的情況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數(shù)相同.【詳解】先考慮第一類，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1，2，2，則第1個(gè)盒子有：，第2個(gè)盒子有：，第3個(gè)盒子有：，第一類放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校安排甲?乙?丙?丁?戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球?冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合排列和組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】所有的安排方法，若只有1人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有；若恰有2人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有；若有3人去冰球項(xiàng)目做志愿者，有，所以共有種安排法，所以學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為.故選：B【題型四】球放盒子：電梯、公交車型【典例分析】某大樓共有12層，有11人在第一層上了電梯，他們分別要去第2至12層，每層1人，因特殊原因，電梯只能停在某一層，其余10人都要步行到所要去的樓層，假設(shè)初始的“不滿意度”為0，每位乘客每向下步行一層的“不滿意度”增量為1，每向上步行1層的“不滿意度”增量為2，要使得10人“不滿意度”之和最小，電梯應(yīng)該停在第幾層（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)題意，假設(shè)電梯所停的樓層，表達(dá)出“不滿意度”之和，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)電梯所停的樓層是，則開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，故在時(shí)取最小值．故選：．【提分秘籍】基本規(guī)律電梯，公交車基本型，是指數(shù)型。n個(gè)人從m層下電梯，總共有，有限制條件，則可以先分組在排列，或者剔除掉受限制的樓層，再先分組后排列或者分類討論【變式訓(xùn)練】1.甲、乙、丙3人從1樓乘電梯去商場(chǎng)的3到9樓，每層樓最多下2人，則下電梯的方法有A．210種 B．84種 C．343種 D．336種【答案】D【詳解】由3到9樓共7個(gè)樓層，分兩類進(jìn)行：其一是每次都下一個(gè)人，共有種下樓方法；其二是一次一個(gè)人，另一次是兩人，共有，由分類計(jì)數(shù)原理可得下電梯的方法有種下法，應(yīng)選答案D．2.甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時(shí)從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開(kāi)往“黃金沙灘”站方向的路公交車（線路圖如下）．甲將在“供水公司”站之前的任意一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車．假設(shè)每人自“管委會(huì)”站開(kāi)始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算出基本事件的總數(shù)以及事件“甲比乙后下車”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】甲從“管委會(huì)”站到“東環(huán)”站的每一站下車都可以，有種情況，乙從“管委會(huì)”站到“北埭”站的每一站下車都可以，有種情況，若乙在“管委會(huì)”站下車，則甲有種情況，若乙在“地稅分局”站下車，則甲有種情況，若乙在“興海路”站下車，則甲有種情況，若乙在“閩臺(tái)風(fēng)情街”站下車，則甲有種情況，若乙在“蓮池小學(xué)”站下車，則甲有種情況，若乙在“金海岸”站下車，則甲有種情況，若乙在“蓮池沙灘”站下車，則甲有種情況，因此，甲比乙后下車的概率為.故選：C.3.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會(huì)在長(zhǎng)沙、廣州、深圳停），分別在每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有（

）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種【答案】B【解析】先按2+1+1分成三組，再分配到三個(gè)站點(diǎn)，即得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，先按2+1+1分成三組，有種分法，再分配到三個(gè)站點(diǎn)，有種分法，所以一共有種不同的下車方案.故選：B.【題型五】節(jié)假日值班型【典例分析】某公司安排位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排人，每人值班天，則位員工中甲不在日值班的概率為（

）A． B． C． D．專題48隨機(jī)事件的概率與古典概型-2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型【答案】B【分析】先求出將位員工平均分成三組在1月1日至1月3日值班包含的基本事件的總數(shù)，再計(jì)算位員工中甲不在日值班包含的基本事件的總數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】該公司安排位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排人，每人值班1天，基本事件總數(shù)，位員工中甲不在日值班包含的基本事件個(gè)數(shù)，所以位員工中甲不在日值班的概率.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律節(jié)假日值班是排列組合的綜合應(yīng)用型：1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;4.插空法:對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;5.定序問(wèn)題除法處理:對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.【變式訓(xùn)練】1.某辦公室為保障財(cái)物安全，需在春節(jié)放假的七天內(nèi)每天安排一人值班．已知該辦公室共有四個(gè)人，每人需值班一天或兩天，則不同的值班安排種數(shù)為（

）A．360 B．630 C．2520 D．15120【答案】C【分析】根據(jù)題意可知有一人值班一天，其余三人各值班兩天，據(jù)此可求不同的值班安排總數(shù).【詳解】有一人值班一天，其余三人各值班兩天，則根據(jù)每個(gè)人的排班情況可計(jì)算不同的值班安排共有種．故選：C.2.甲、乙、丙三人值班，從周一到周六按每人分別值班2天排班，若甲不在周一值班，則不同的排班方案有(

)A．15種 B．30種 C．45種 D．60種【答案】D【分析】本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，因?yàn)榧撞辉谥芤恢蛋啵士梢韵冉o甲排班，再給其他兩人分別排班，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出總的排班方案數(shù)量﹒【詳解】甲從周二至周六5天中選2天值班，有種選法；乙可從剩下的4天中任選2天值班，有種選法；丙選剩下的2天即可，有種選法．故不同的排班方案共有(種)，故選：D﹒3.某單位在春節(jié)七天的假期間要安排值班表，該單位有值班領(lǐng)導(dǎo)3人，值班員工4人，要求每位值班領(lǐng)導(dǎo)至少值兩天班，每位值班員工至少值一天班，每天要安排一位值班領(lǐng)導(dǎo)和一位值班員工一起值班，且一人值多天班時(shí)要相鄰的安排方案有（

）A．249種 B．498種 C．1052種 D．8640種【答案】D【分析】先安排值班領(lǐng)導(dǎo)：選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有種方案.再安排值班員工：分4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班；1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班；3名員工各值兩天班，1名員工值一天班，三種情況分別得出方案數(shù)，再根據(jù)分步乘法原理可得選項(xiàng).【詳解】解：先安排值班領(lǐng)導(dǎo)：選1位值班領(lǐng)導(dǎo)值三天班，則安排3位領(lǐng)導(dǎo)值班共有(種)方案.再安排值班員工：若4名員工中有1名員工值四天班，其他員工各值一天班，則有(種)選法；若1名員工值兩天班，另一名員工值三天班，剩余2名員工各值一天班，則有(種)選法；若3名員工各值兩天班，1名員工值一天班，則有(種)選法，故安排4名員工值班共有(種)方案.因此，該單位在春節(jié)七天的假期間值班表安排方案共有(種).故選：D.【題型六】定序型【典例分析】因演出需要，身高互不相等的9名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第七個(gè)依次遞減，第七、八、九個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有（

）種．A．379 B．360 C．243 D．217【答案】A【分析】依題意，重點(diǎn)要先排好7號(hào)位和3號(hào)位，余下的按部就班即可.【詳解】依題意作圖如下：上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3號(hào)位必須比124567要高，1，7兩處是排列里最低的，3，9兩處是最高點(diǎn)，設(shè)9個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，則3號(hào)位最少是7，最大是9，下面分類討論：第3個(gè)位置選7號(hào)：先從1，2，3，4，5，6號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的4個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下的三個(gè)放入中間三個(gè)位置，8，9號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；第3個(gè)位置選8號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的5個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下4個(gè)選3個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的號(hào)和9號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；第3個(gè)位置選9號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7，8號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的6個(gè)號(hào)中最小的放入7號(hào)位置，剩下5個(gè)選3個(gè)放入中間三個(gè)位置，余下的2個(gè)號(hào)放入最后兩個(gè)位置，即；由分類計(jì)數(shù)原理可得共有種排列方式；故選：A.【變式訓(xùn)練】1.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)?，由必在第三批，將派遣方式按第一批所派遣的人員不同分成四類，求出滿足的派遣方法數(shù)，再計(jì)算總派遣方法數(shù)，即可求概率.【詳解】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)?，由題意知，年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第三批，派遣方式如下：第一批派，第二批年齡最大者為，第三批年齡最大者為：剩下的醫(yī)務(wù)人員一個(gè)在第二批，兩個(gè)在第三批有種方法，2、第一批派，第二批年齡最大者為或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，共種方法；3、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有1種方法，共種方法；4、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有1種方法，共種方法；∴種方法，而總派遣方法有種，∴滿足的分配方案的概率為.故選：A.2.．幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；（2）乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；（4）丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；（5）戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E,則這九棵樹(shù)枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【答案】D【分析】先判斷出，按順序排在前四個(gè)位置中的三個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，然后分排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置與不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置兩種情況討論，利用分類計(jì)數(shù)加法原理可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)代表樹(shù)枝的高度，五根樹(shù)枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹(shù)枝；乙依次撞擊到樹(shù)枝；丙依次撞擊到樹(shù)枝；丁依次撞擊到樹(shù)枝；戊依次撞擊到樹(shù)枝可得，在前四個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，（1）若排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C,則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有種排法；（2）若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則按順序排在前四個(gè)位置，由于，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹(shù)枝從高到低不同的次序有種.故選：D.3.身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個(gè)隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同的排法種數(shù)為A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【詳解】從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊人的身高可記為.要求不相鄰，分四類：①先排時(shí)，則只有種排法，在剩余的兩個(gè)位上，這樣有種排法；②先排時(shí)，則只有種排法，在剩余的兩個(gè)位上，這樣有種排法；③先排時(shí)，則只有種排法，在剩余的兩個(gè)位上，這樣有種排法；④先排時(shí)，則這樣的排法只有兩種，即.綜上共有種，故選B.考點(diǎn)：排列與計(jì)數(shù)原理知識(shí)的運(yùn)用.【題型七】相同元素：空坐位（空車位）型【典例分析】一個(gè)停車場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個(gè)停車場(chǎng)，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，綜上,共有12種方法，所以B選項(xiàng)是正確的.【提分秘籍】基本規(guī)律空座位空車位型，屬于相同元素的排列，遵循相同元素?zé)o排列原則。如果多個(gè)空位連在一起，則可以采取插孔不同空位法。【變式訓(xùn)練】1.某等候區(qū)有7個(gè)座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有（

）A．4種 B．10種 C．20種 D．60種【答案】D【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)空位放置成一排，形成5個(gè)空檔，甲、乙、丙三人各帶一個(gè)座位插入即可得．【詳解】甲、乙、丙每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位，即甲、乙、丙互不相鄰，相當(dāng)于有四個(gè)空位放置成一排，形成5個(gè)空檔，甲、乙、丙三人各帶一個(gè)座位插入，所以有（種）不同的坐法，故選：D．2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人入座，則恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法的種數(shù)是（

）A．36 B．48C．72 D．120【答案】C【分析】根據(jù)相鄰兩個(gè)空座的位置在兩端和在中間分類討論．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論；①兩端恰有兩個(gè)空座位相鄰，則必須有一人坐在空座的邊上，其余兩人在余下的三個(gè)座位上任意就座，此時(shí)有種坐法；②兩個(gè)相鄰的空座位不在兩端，有三種情況，此時(shí)這兩個(gè)相鄰的空座位兩端必須有兩人就座，余下一人在余下的兩個(gè)座位上任意就座，此時(shí)有種坐法.故共有種坐法.故選：C．3.電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法的種數(shù)為（

）A．40 B．36 C．32 D．20【答案】A【解析】根據(jù)題意，先排好7個(gè)空座位，注意空座位是相同的，其中6個(gè)空位符合條件，將3人插入6個(gè)空位中，注意甲必須在三人中間，然后再排乙，丙，最后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】除甲、乙、丙三人的座位外，還有7個(gè)座位，它們之間共可形成六個(gè)空，三人從6個(gè)空中選三位置坐上去有種坐法，又甲坐在中間，所以乙、丙有種方法，所以他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有種.故選：A.【題型八】配對(duì)（不配對(duì)）型【典例分析】從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】從6雙不同鞋子中任取4只.沒(méi)有2只鞋子配成一雙的概率為.所以，其中至少有2只鞋子配成一雙的概率為.故答案為B【提分秘籍】基本規(guī)律配對(duì)性步驟：1.先選取配對(duì)的組數(shù)。用組合數(shù)。2.再?gòu)氖Ｓ嘀羞x取未能配對(duì)的組數(shù)，每一組只能選取一只。3.如果有復(fù)雜的限制條件，可以采取樹(shù)圖法分類討論【變式訓(xùn)練】1.．從不同號(hào)碼的雙鞋中任取只，其中恰好有雙的取法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分兩步來(lái)進(jìn)行：①?gòu)?雙鞋中取出1雙，②從剩下的4雙中任取兩雙，在這兩雙中各取1只，易得其取法數(shù)目；進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：依題意先從五雙鞋中選出一雙，有種，再?gòu)氖Ｓ嗟乃碾p中選兩只但是不能為一雙，故先從四雙中選兩雙有中，再?gòu)膬呻p中選不同的兩只有種，綜上可得一共有種取法；故選：A2.—對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去坐纜車，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的個(gè)座位上（一人一座）．為安全起見(jiàn)，管理方要求每個(gè)小孩旁邊要有家長(zhǎng)相鄰陪坐，則他們?nèi)说淖ǚ习踩?guī)定的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】計(jì)算出人隨機(jī)坐的坐法種數(shù)，并計(jì)算出每個(gè)小孩旁邊要有家長(zhǎng)相鄰陪坐的坐法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】人隨機(jī)坐有種坐法，除去兩個(gè)小孩相鄰且坐在兩端的情況，有種符合安全規(guī)定的坐法，因此，所求事件的概率為.故選：C．3.新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法：第一步A送錯(cuò)有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯(cuò)的地方對(duì)應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯(cuò)位置分兩類，一類是送到甲，一類是送其他三個(gè)地方，再對(duì)剩下的3個(gè)快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯(cuò)有4種方法，第二步考慮所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對(duì)分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯(cuò)有2種可能（丁戊乙，戊乙?。诙愃偷揭叶∥熘械囊粋€(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【題型九】1,0與10數(shù)字排位型【典例分析】2019年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，舉國(guó)同慶.將2，0，1，9，10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．96 B．84 C．120 D．360安徽省蕪湖市第一中學(xué)2020屆高三下學(xué)期3月第五次線上考試數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】先求得所有不以0開(kāi)頭的排列數(shù)，再由以1，0相鄰，且1在左邊時(shí)所對(duì)應(yīng)的排列數(shù)有一半是重復(fù)的，求出對(duì)應(yīng)的排列數(shù)，進(jìn)而可求出答案.【詳解】由題意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0開(kāi)頭的排列數(shù)為，其中以1，0相鄰，且1在左邊時(shí)，含有2個(gè)10的排列個(gè)數(shù)為，有一半是重復(fù)的，故產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律復(fù)雜的分類討論。要注意0在開(kāi)頭是否符合題意，還要對(duì)1,0的組合與10相鄰不相鄰的分類討論【變式訓(xùn)練】1.將5個(gè)數(shù)2，0，1，9，2019按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.【答案】95【分析】求得以2，0，1，9，2019的所有構(gòu)成的8位數(shù)中排列總數(shù)，再等差其中除了(2，0，1，9，209)和(2019，2，0，1，9)這兩種排列對(duì)應(yīng)同一個(gè)數(shù)20192019，即可求解.【詳解】由題意，將5個(gè)數(shù)2，0，1，9，2019按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)可得以2，0，1，9，2019的所有構(gòu)成的8位數(shù)中，不以0為開(kāi)頭的排列總共有個(gè)，其中除了(2，0，1，9，209)和(2019，2，0，1，9)這兩種排列對(duì)應(yīng)同一個(gè)數(shù)20192019，其余的數(shù)互不相同，因此滿足條件的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：95.2.將六個(gè)數(shù)、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個(gè)位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出將2，0，1，9，20，19的首位不為0的排列數(shù)，排除2的后一項(xiàng)是0的排列，1的后一項(xiàng)是9的排列，再加上2的后一項(xiàng)是0同時(shí)1的后一項(xiàng)是9的排列，可得答案.【詳解】將六個(gè)數(shù)、、、、、將任意次序排成一行，拼成一個(gè)位數(shù)，由于首位不能為0，則有個(gè)，其中“20”出現(xiàn)2次，即“2”與“0”相鄰且“2”在“0”前的排法有種，“19”出現(xiàn)2次，即“1”與“9”相鄰且“1”在“9”前的排法有種，“20”和“19”都出現(xiàn)2次的排法有種，因此滿足條件的位數(shù)的個(gè)數(shù)為：.故選：A.【題型十】相同元素型【典例分析】用數(shù)字1，2，3排成一個(gè)五位數(shù)，要求每個(gè)數(shù)字至少用一次，則不同的五位數(shù)有（

）A．180個(gè) B．150個(gè) C．120個(gè) D．90個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意，可采用間接法求得，先求得所有的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求得用一個(gè)數(shù)字排成的五位數(shù)和用兩位數(shù)字排成的五位數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得答案.【詳解】用數(shù)字1，2，3排成一個(gè)五位數(shù)，共有個(gè)不同的數(shù)字；其中只用1或2或3排成一個(gè)五位數(shù)時(shí)，共有3個(gè)不同的數(shù)字；若其中的兩數(shù)字排成一個(gè)五位數(shù)，先從數(shù)字1，2，3選出兩個(gè)數(shù)字，有種選法，例如選了數(shù)字1，2排成一個(gè)五位數(shù)，可按數(shù)字1分類：若數(shù)字1只用了一次，可排除個(gè)不同的數(shù)字；若數(shù)字1用了兩次，可排除個(gè)不同的數(shù)字；若數(shù)字1用了三次，可排除個(gè)不同的數(shù)字；若數(shù)字1用了四次，可排除個(gè)不同的數(shù)字，共有個(gè)不同的數(shù)字，則用其中的兩數(shù)字排成一個(gè)五位數(shù)，共有個(gè)不同的數(shù)字，所以排成一個(gè)五位數(shù)，且每個(gè)數(shù)字至少用一次的不同的五位數(shù)有：個(gè)不同的數(shù)字.故選：B.【變式訓(xùn)練】1.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用插空法，即可計(jì)算出答案.【詳解】將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0，共有種排法．所以2個(gè)0不相鄰的概率．故選：C．2.已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為_(kāi)_____.【答案】【分析】恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼.分兩類，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.每類中可以分步完成，先確定三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)順序有種，再分別確定這三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問(wèn)題)，最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法,相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，進(jìn)行6次一共有種不同的取法.恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1,三種號(hào)碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時(shí)停止的取法有種，三種號(hào)碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時(shí)停止的取法有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理知恰好取6次卡片時(shí)停止，共有種取法，所以恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為:，故答案為：3.由可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】204【解析】根據(jù)所選的數(shù)字的情況將此問(wèn)題可以分為以下三種情況：i）選取的4個(gè)數(shù)字是1,2,3,4；ii）從四組中任取兩組；iii）從四組中任取一組，再?gòu)氖Ｏ碌?組中的不同的三個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字，利用排列與組合的計(jì)算公式及其乘法原理即可得出.【詳解】詳解：i）選取的四個(gè)數(shù)字是1,2,3,4，則可組成個(gè)不同的四位數(shù)；ii）從四組中任取兩組有種取法，如假設(shè)取的是1，1，2，2四個(gè)數(shù)：得到以下6個(gè)四位數(shù)：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此時(shí)共有個(gè)不同的四位數(shù)；iii）從四組中任取一組有種取法，再?gòu)氖Ｏ碌娜M中的不同的三個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)字有種取法，把這兩個(gè)不同的數(shù)字安排到四個(gè)數(shù)位上共有種方法，而剩下的兩個(gè)相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時(shí)共有個(gè)不同的四位數(shù)；綜上可知，用8個(gè)數(shù)字1,1,2,2,3,3,4,4可以組成不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)是，故答案為：204分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．某校大一新生A，B，C，D欲加入該校的文學(xué)社、書法社、羽毛球社．已知這4名大一新生每人只加入了1個(gè)社團(tuán)，則這4名大一新生恰好加入其中2個(gè)社團(tuán)的不同情況有（

）A．21種 B．30種 C．42種 D．60種【答案】C【分析】把4人分成2個(gè)組，選擇2個(gè)社團(tuán)，把2個(gè)組分配給2個(gè)社團(tuán).【詳解】4名大一新生分成2個(gè)組，一組1人另一組3人或2個(gè)組各2人，有種方案，3個(gè)社團(tuán)選擇2個(gè)社團(tuán)，有種方案，把2個(gè)組分配給2個(gè)社團(tuán)，有種方案，由題意可得這4名大一新生恰好加入其中2個(gè)社團(tuán)的不同情況有種．故選：C2．將英文單詞“”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種【答案】B【分析】先排除b之外的其余四個(gè)字母，再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b即可.【詳解】由題意可先排除b之外的其余四個(gè)字母，有種排法，再?gòu)倪@四個(gè)字母排完后的5個(gè)空中選2個(gè)放入b，有種放法，故字母b不相鄰的排列方法共有（種），故選：B3．如圖，三根繩子上共掛有6只氣球，繩子上的球數(shù)依次為1，2，3，每槍只能打破一只氣球，而且規(guī)定只有打破下面的氣球才能打上面的氣球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（

）A．10 B．60 C．90 D．120【答案】B【分析】6只氣球進(jìn)行編號(hào)為1,2,3,4,5,6號(hào),下方氣球號(hào)碼小于上方氣球號(hào)碼的排列方法數(shù)就是打破氣球的方法數(shù),分別將六個(gè)氣球掛在三根繩子上，分三步進(jìn)行即可求解.【詳解】將6只氣球進(jìn)行編號(hào)為1,2,3,4,5,6號(hào),則下方氣球號(hào)碼小于上方氣球號(hào)碼的排列方法數(shù)就是打破氣球的方法數(shù),將編號(hào)為1~6號(hào)的6只氣球掛上3根繩子,按下方氣球號(hào)碼小于上方氣球號(hào)碼的排列,分3步進(jìn)行:第一步,掛有1只氣球的繩子,有6種掛法;第二步,掛有2只氣球的繩子,有10種掛法;第三步,掛有3只氣球的繩子,有1種掛法.所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有(種)方法,因?yàn)橐环N掛法就是一種排列方法，也就是打破氣球的方法，所以將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是60種，故選:B.4．導(dǎo)師制是高中新的教學(xué)探索制度，班級(jí)科任教師作為導(dǎo)師既面向全體授課對(duì)象，又對(duì)指定的若干學(xué)生的個(gè)性、人格發(fā)展和全面素質(zhì)提高負(fù)責(zé)．已知有3位科任教師負(fù)責(zé)某學(xué)習(xí)小組的6名同學(xué)，每2名同學(xué)由1位科任教師負(fù)責(zé)，則不同的分配方法的種數(shù)為（

）A．90 B．15 C．60 D．180【答案】A【分析】本題考查的為分組分配問(wèn)題.先分為3組，在分配給3位科任教師即可得出答案.【詳解】先將6名同學(xué)平均分為3組，不同的分組方式為，然后再將分好的3組，分配給3位科任教師，不同的分配方式為.所以，不同的分配方法的種數(shù)為.故選：A.5．將6個(gè)人（含甲乙兩人）平均分成3組，則甲乙不在同一組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由組合數(shù)求出6人任意分組、甲乙在同一組的分法，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.【詳解】由題意，6人任意分組共有種分法，其中甲乙在同一組的情況有種，所以甲乙在同一組的概率為，故甲乙不在同一組的概率為.故選：C6．8個(gè)人坐成一排，現(xiàn)要調(diào)換其中3個(gè)人中每一個(gè)人的位置，其余5個(gè)人的位置不變，則不同調(diào)換方式有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先從8人中任取3人，再對(duì)3人位置全調(diào)，然后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】從8人中任取3人有種，3人位置全調(diào)，由于不能是自己原來(lái)的位置，所以有種，所以不同調(diào)換方式有種.故選：C.7．某醫(yī)院安排甲?乙等名醫(yī)生到個(gè)社區(qū)去義診，每個(gè)社區(qū)至少安排名醫(yī)生，且每名醫(yī)生只到個(gè)社區(qū)義診，則甲?乙被安排在同一個(gè)社區(qū)義診的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將名醫(yī)生分配到個(gè)社區(qū)分為兩種情況，分別計(jì)算出兩張情況的分配方案數(shù)，加和可得總體方案數(shù)；確定甲、乙被安排在同一社區(qū)的方案數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】將名醫(yī)生分配到個(gè)社區(qū)有兩種情況：第一種情況是個(gè)社區(qū)分配名醫(yī)生，另個(gè)社區(qū)分配名醫(yī)生，有種不同的分配方案；第二種情況是每個(gè)社區(qū)分配名醫(yī)生，有種不同的分配方案；將名醫(yī)生分配到個(gè)社區(qū)去義診，共有種不同的分配方案；其中甲?乙被安排在同一個(gè)社區(qū)義診的方案有種，所求概率．故選：D.8．中國(guó)古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土”來(lái)解釋世間萬(wàn)物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法種數(shù)有（

）A．24 B．36 C．30 D．20【答案】C【分析】先涂“火、土”兩個(gè)位置，再分類討論“火”與“金”、“土”與“水”位置顏色是否相同，運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)3種不同的顏色為，對(duì)于“火、土”兩個(gè)位置有種不同的涂色方法，不妨設(shè)“火、土”兩個(gè)位置分別為，1.若“金”位涂色為，則有：①若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；②若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；共2種涂色可能；2.若“金”位涂色為，則有：①若“水”位涂色為，則“木”位涂色為或，共2種不同的涂色方法；②若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；共3種涂色可能；綜上所述：共種不同的涂色方法.故選：C.培優(yōu)第二階——能力提升練1．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】第一種排法：先排4名粉絲，然后利用插空法將歌手排好；第二種排法：先計(jì)算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用總排法去掉前面兩種不滿足題意的排法即可【詳解】第一種排法：分2步進(jìn)行：①將4名粉絲站成一排，有種排法；②4人排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排三名歌手，有種情況．則有種排法，第二種排法：先計(jì)算3位歌手站一起，此時(shí)3位歌手看做一個(gè)整體，有種排法，再計(jì)算恰好有2位歌手站一起，此時(shí)2位歌手看做一個(gè)整體，與另外一個(gè)歌手不相鄰，有種排法，則歌手不相鄰有種排法．故選：CD2．為了貫徹常態(tài)化疫情防控工作，動(dòng)員廣大醫(yī)護(hù)人員抓細(xì)抓實(shí)各項(xiàng)防疫工作，人民醫(yī)院組織護(hù)理、感染、兒科、疾控、藥劑、呼吸六位專家進(jìn)行“防疫有我，健康同行”知識(shí)講座，每天一人，連續(xù)6天.則下列結(jié)論正確的是（

）A．從六位專家中選兩位的不同選法共有20種B．“呼吸類專家”不排在最后一天的不同排法共有600種C．“護(hù)理、感染類專家”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．“護(hù)理、感染、兒科類專家”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種【答案】BC【分析】由組合知識(shí)判斷A；從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家，從而判斷B；由捆綁法判斷C；由插空法判斷D.【詳解】對(duì)于A：從六位專家中選兩位的不同選法共有種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：從前5天中任選一天排“呼吸類專家”，再排其他專家共有種，故B正確；對(duì)于C：將“護(hù)理”，“感染類專家”視為一個(gè)元素，不同的排法共有種，故B正確；對(duì)于D：先排疾控、藥劑、呼吸，再用插空法排護(hù)理、感染、兒科類專家，共有種，故D錯(cuò)誤；故選：BC3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．用0，1，2，3，4能組成48個(gè)不同的3位數(shù).B．將10個(gè)團(tuán)員指標(biāo)分到3個(gè)班，每班要求至少得2個(gè)，有15種分配方法.C．小明去書店看了4本不同的書，想借回去至少1本，有16種方法.D．甲、乙、丙、丁各寫了一份賀卡，四人互送賀卡，每人各拿一張賀卡且每人不能拿到自己寫的賀卡，有9種不同的方法.【答案】BD【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出三位數(shù)的個(gè)數(shù)判斷A，根據(jù)隔板法和分步乘法計(jì)數(shù)原理求出分配方法數(shù)，判斷B，利用間接法求出滿足要求的方法數(shù)判斷C，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出滿足條件的方法數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，第一步先排百位數(shù)，有4種排法，第二步排十位數(shù)有5種排法，第三步排個(gè)位數(shù)有5種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)不同的三位數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第一步，每個(gè)班先各分一個(gè)團(tuán)員指標(biāo)，有一種方法，第二步，再將余下7個(gè)團(tuán)員指標(biāo)排成一排，7個(gè)指標(biāo)之間有6個(gè)空，用2塊隔板插入其中的兩個(gè)空，每種插空方法就是一種將7個(gè)指標(biāo)分給3個(gè)班，每班至少一個(gè)指標(biāo)的分配方法，故第二步有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的分配方法有15種，B正確；對(duì)于C，因?yàn)榻杌刂辽?本的反面為1本都不借，又小明所有的借書方法數(shù)為種，所以借回至少1本的方法數(shù)為種，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，第一步甲先拿賀卡，有3種方法，第二步安排甲拿到的賀卡的主人拿，有3種方法，第三步余下兩人拿賀卡，由于其中一人不能拿自己的賀卡，故只有一種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共種方法，D正確；故選：BD.4．將1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，記第i項(xiàng)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則這樣的數(shù)列共有360個(gè)B．若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列共有288個(gè)C．若該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有50個(gè)D．若，則這樣的數(shù)列共有71個(gè)【答案】AD【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得，即可判斷A，對(duì)于B：則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判斷B，對(duì)于C：對(duì)的位置分類討論，對(duì)于D，分、、三種情況討論.【詳解】解：對(duì)于A：由于為奇數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知這樣的數(shù)列有個(gè)，故A正確；對(duì)于B：若所有的奇數(shù)不相鄰，所有的偶數(shù)也不相鄰，則這樣的數(shù)列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，則有個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：從1，2，3，4，5，6中選出個(gè)數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個(gè)；從1，2，3，4，5，6中選出2個(gè)數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個(gè)；從1，2，3，4，5，6中選出3個(gè)數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個(gè)；從1，2，3，4，5，6中選出4個(gè)數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個(gè)；從1，2，3，4，5，6中選出5個(gè)數(shù)排在的右側(cè)，其余排在的左側(cè)，得到先減后增的數(shù)列有個(gè)；故滿足條件的總個(gè)數(shù)為：個(gè)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：若則這樣的數(shù)列有個(gè)，若則這樣的數(shù)列有個(gè)，若則這樣的數(shù)列有個(gè)，所以滿足條件的這樣的數(shù)列共有個(gè)，故D正確；故選：AD5．“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精疲力竭.為了緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，2021年7月24日，中共中央辦公廳?國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》.某初中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，每天減少了一節(jié)學(xué)科類課程，增加了一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校特開(kāi)設(shè)了乓乓球，羽毛球，書法，小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有_______種【答案】54【分析】由分類加法和分步乘法技術(shù)原理以及分配方法和排列組合公式即可求解.【詳解】由題意，三年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2，先將4每學(xué)科按1，1，2分成三組，有種方式，再分到三個(gè)學(xué)年，有種不同分式，由分步計(jì)數(shù)原理得，不同選修分式共有種，同理將4門課程按0，2，2分成三組，再排列，有種，所以共有36+18=54種，故答案為：546．安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個(gè)福利院做服務(wù)工作，每個(gè)福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為_(kāi)_____．【答案】【分析】分1人,4人和2人，3人兩種情況安排到兩個(gè)福利院，再分析在4人組，3人組，2人組三種情況得到在同一福利院的分法，利用對(duì)立事件的概率求解即可.【詳解】5人分配到2個(gè)福利院有1,4和3,2兩種分組方法，共有種分法，其中，被安排在同一組在同一福利院有種，所以，被安排在不同的福利院的概率為.故答案為：7．將紅、黃、藍(lán)三種顏色的涂料都涂在下圖的六個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，要求有三個(gè)區(qū)域涂同一顏色，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域不同色，共有_________涂法（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】分析可知區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥或區(qū)域①③⑥或區(qū)域①④⑥涂同一種顏色，則剩余三個(gè)區(qū)域中有兩個(gè)不相鄰的區(qū)域涂一種顏色，最后一個(gè)區(qū)域涂第三種顏色，利用組合計(jì)數(shù)原理以及分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥或區(qū)域①③⑥或區(qū)域①④⑥涂同一種顏色，（1）若區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥涂一種顏色，則剩余三個(gè)區(qū)域中有兩個(gè)區(qū)域涂一種顏色，最后一個(gè)區(qū)域涂第三種顏色，因此，不同的涂色種數(shù)為種；（2）若區(qū)域①③⑥涂同一種顏色，則區(qū)域④⑤涂剩余的兩種顏色，區(qū)域②和區(qū)域①③所涂顏色不同，此時(shí)，不同的涂色種數(shù)為種；（3）若區(qū)域①④⑥涂同一種顏色則區(qū)域②③涂剩余的兩種顏色，區(qū)域⑤和區(qū)域④⑥所涂顏色不同，此時(shí)，不同的涂色種數(shù)為種.綜上所述，不同的涂色方法種數(shù)為種.故答案為：.8．為美化重慶市忠縣忠州中學(xué)校銀山校區(qū)的校園環(huán)境，在學(xué)校統(tǒng)一組織下，安排了高二某班勞動(dòng)課在如圖所示的花壇中種花，現(xiàn)有4種不同顏色的花可供選擇，要求相鄰區(qū)域顏色不同，則有______種不同方案．【答案】72【分析】根據(jù)題意，按選出花的顏色的數(shù)目分2種情況討論，利用排列組合及乘法原理求出每種情況下種植方案數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】如圖，假設(shè)5個(gè)區(qū)域分別為1，2，3，4，5，分2種情況討論：①當(dāng)選用3種顏色的花卉時(shí)，2，4同色且3，5同色，共有種植方案（種），②當(dāng)4種不同顏色的花卉全選時(shí)，即2，4或3，5用同一種顏色，共有種植方案（種），則不同的種植方案共有（種）.故答案為：72培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．2022年12月某機(jī)構(gòu)關(guān)于中國(guó)新國(guó)貨品牌“金榜題名”頒獎(jiǎng)典禮準(zhǔn)備以線上直播的形式舉辦，并邀請(qǐng)榜單中的五家企業(yè)發(fā)言，則在之前發(fā)言（不一定相鄰，下同），且在之后發(fā)言的方法種數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字作答）【答案】20【分析】利用分步乘法原理，先考慮特殊元素A、B、C，從5個(gè)位置中選3個(gè)先排，再排D、E.【詳解】第一步：從5個(gè)位置中選3個(gè)排A、B、C，有種排法，第二步：剩下的2個(gè)位置排D、E，有種排法，根據(jù)分步乘法原理，總共有種發(fā)言的方法.故答案為：20.2．小王、小楊、小李三人同在某公司上班，若該公司規(guī)定，每位職工可以在每周七天中任選兩天休息（如選定星期一、星期三），以后不再改動(dòng)，則他們選定的兩個(gè)休息日相同的概率是______【答案】【分析】計(jì)算出三人的選法種數(shù)以及三人選定的兩個(gè)休息日相同的選法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】小王在每周七天中任選兩天，有種選法，同理小楊、小李也有種選法，則三人共有種選法；其中三人選定的兩個(gè)休息日相同的情況有種，則他們選定的兩個(gè)休息日相同的概率為．故答案為：.3．黨的二十大報(bào)告指出，建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)是民族復(fù)興的偉大基礎(chǔ)工程.某師范院校為了支持鄉(xiāng)村教育振興計(jì)劃，擬委派10名大學(xué)生到偏遠(yuǎn)山區(qū)支教，其中有3名研究生.現(xiàn)將這10名大學(xué)生分配給5個(gè)鄉(xiāng)村小學(xué)，每校2人，則不同的研究生分配情況有______種（用數(shù)字作答）.【答案】120【分析】不同的研究生分配情況分為2類：其中2個(gè)研究生分配到相同的學(xué)校，3個(gè)研究生分配到不同的學(xué)校，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算即可.【詳解】如果其中2個(gè)研究生分配到相同的學(xué)校則有