注意事項(xiàng):2.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置。3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題卷上無(wú)效。4.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。5.考試結(jié)束后,將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={父log3父≤1},B={父3父>1},則AUB=A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知橢圓C十y2=1的右頂點(diǎn)與拋物線y2=16父的焦點(diǎn)重合,則C的焦距為EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(此圓錐的側(cè)面),免費(fèi)試卷公眾號(hào))EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(為),凹)ABCD5.設(shè)函數(shù)f(父)=sin(w父十φ)(w>0,0<φ<π).已知f,且當(dāng)f(父1)f(父2)=1≠父2A.wB.wC.w=,φ=D.w6.已知點(diǎn)M(a,0),N(3,4)到同一直線的距離分別為2,3,若這樣的直線恰有2條,則a的取值范圍為【高三8月摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第1頁(yè)(共4頁(yè))】6008C【高三8月摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第2頁(yè)(共4頁(yè))】6008C7.若sinsin,且α,β都為銳角,則sin(α十β)=ABCD.18.已知函數(shù)f(父)的定義域?yàn)镽,函數(shù)y=f(父十1)是偶函數(shù),函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線父對(duì)稱,若當(dāng)父∈[—2,1]時(shí),f(父)=父,則f(,)=二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。9.已知向量a=(—1,3),b=(2,—1),則A.向量a,b的夾角為B.若(λa—3b)丄b,則λ=—3C.若(2a—b)Ⅱ(a十kb),則k=2D.向量a在向量b上的投影向量為(—2,1)10.在光纖通信中,信息通過(guò)由0和1組成的有序數(shù)組(稱為字)表示,字長(zhǎng)(字的位數(shù))為n.定義d(X,Y)為兩個(gè)字長(zhǎng)相同的字X和Y在相同位置上不同字符的個(gè)數(shù).例如,X=00110,Y=00011時(shí),d(X,Y)=2.則下列選項(xiàng)正確的有A.若字長(zhǎng)n=3,則存在兩個(gè)字X和Y使得d(X,Y)=3B.若字長(zhǎng)n=5,則對(duì)于任意字X,滿足d(X,Y)=2的字Y共有8個(gè)C.若X=000000,則滿足d(X,Y)=3的字Y中,有且僅有3個(gè)連續(xù)的1的Y的概率為D.若u=a1a2a3…a,…an,U=b1b2b3…b,…bn,其中a,,b,∈{0,1},,=1,2,…,n,則d(u,U)≥d(u,∞)十d(U,∞)A.曲線C關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱B.曲線C與直線y=父—1有兩個(gè)交點(diǎn)C.曲線C恰好經(jīng)過(guò)兩個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))D.曲線C上任意兩點(diǎn)A(父1,y1),B(父2,y2),當(dāng)y1<1<y2時(shí),AB≥213.已知函數(shù)f(父)=e父—k(父2十2)有兩個(gè)極值點(diǎn)a,b,若a=2b,則f(0)=.14.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、C,若a=3,A=2C,b=2C,O為△ABC的內(nèi)心,則△AOB的面積為.【高三8月摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第3頁(yè)(共4頁(yè))】6008C四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫15.(本小題滿分13分)(1)若a=b=1,求曲線y=f(父)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(父)>0恒成立,證明:bea十廣州國(guó)際龍舟邀請(qǐng)賽是一項(xiàng)具有嶺南區(qū)域特色的文化體育活動(dòng),為廣州建設(shè)“全國(guó)一流、國(guó)際矚目的體育強(qiáng)市”發(fā)揮著越來(lái)越大的積極推進(jìn)作用,其秉承“以水為橋、以舟會(huì)友”的宗旨內(nèi)涵和外延的意義將更加深遠(yuǎn).每年五月,龍舟風(fēng)彌漫珠江,吹遍廣州各個(gè)角落.組織推廣龍州市民是否關(guān)注龍舟比賽情況,隨機(jī)抽取男女市民共200名進(jìn)行調(diào)查,得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果:關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男女合計(jì)(1)完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷廣州市民是否關(guān)注龍舟比賽與性別有無(wú)關(guān)聯(lián);(2)將樣本中關(guān)注龍舟比賽的市民的頻率作為廣州市民關(guān)注比賽的概率,從廣州市民中隨機(jī)抽取3人,記X為這3人中關(guān)注龍舟比賽的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:X其中n=a十b十c十d.α父α【高三8月摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)卷第4頁(yè)(共4頁(yè))】6008C如圖,在三棱錐P—ABC中,D是BC的中點(diǎn),AB=AC,BC=4,PC丄底面ABC.(1)證明:AD丄平面PBC;(2)若點(diǎn)E為△PCB內(nèi)(包含邊界)一點(diǎn),且AE丄CE,求點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度;(3)若AB丄AC,二面角C—AP—D的大小為60。,求AC與平面ADP所成角的正弦值.18.(本小題滿分17分)已知雙曲線Ca>0,b>0)的離心率為2,點(diǎn)在C上.(1)求C的漸近線方程;(2)若直線l:y=k父十m交雙曲線C的右支于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)K(0,4).(i)求k與m之間的數(shù)量關(guān)系式;(ii)求上MKN的取值范圍.19.(本小題滿分17分)已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,a2a3a4=512,且2a3,a4,16成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)于數(shù)列{bn},規(guī)定{△bn}為數(shù)列{bn}的1階差分?jǐn)?shù)列,其中△bn=bn十1—bn(n∈N*),一般地,規(guī)定{△kbn}為數(shù)列{bn}的k階差分?jǐn)?shù)列,其中△kbn=△k—1bn十1—△k—1bn(k≥2,k∈N*,n∈N*).若bn不等式2(△2bn)2—△2bn—3△3bn<(4—λ)(n十1)an對(duì)Yn∈N*恒成立,求整數(shù)λ的最大值;(3)令cn,其中t<2,n∈N*.證明c,<an一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案DABDCCDABCD二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。題號(hào)9答案ABDACAC1.D由已知A={父log3父≤1}={父|0<父≤3},B=={父|父},所以AUB={父|父>0}.:叉對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限.3.B由題意得y2=16父的焦點(diǎn)為(4,0),則a=4,而b=1,得半焦距c焦距為,故選B.4.D設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖的圓心角為,所以r,得l=3r,所以圓錐的高為h所以r,則S側(cè)=πrl5.C因?yàn)閒(父)的值域?yàn)閇—1,1],f(父1)f(父2)=1(父1≠父2),所以當(dāng)函數(shù)值同時(shí)取最大值或最小值時(shí),滿足f(父1)f(父2)=1(父1≠父2).3,所以函數(shù)的最小正周期T所以w.因?yàn)閒,所以f=sin又0<φ<π,所以,所以.故選C.6.C以M(a,0)為圓心,2為半徑的圓為(父—a)2十y2=4,以N(3,4)為圓心,3為半徑的圓為(父—3)2十(y—4)2=9.若符合題設(shè)的直線恰有2條,則上述兩圓相交.又|MN所以1<|MN|<5→可得1<(a—3)2十16<25,所以—3<a—3<3→0<a<6.故選C.7.D由題意可知由sin可知α>β,所以,從而cos若,則,從而sin2(α—β)<sin2α,又sin2(α—β)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(免),s)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(眾),得)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(號(hào)),c)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(凹),2)sin(α十β)=sin[2α—(α—β)]=sin2αcos(α—β)—cos2αsin8.B因?yàn)閒(父十1)為偶函數(shù),所以f(—父十1)=f(父十1),即f(—父)=f(父十2),故f(父)的圖象關(guān)于直線父=1對(duì)稱.由y=的圖象關(guān)于直線父對(duì)稱得即對(duì)任意父恒成立,則f(父)=—f(—父—1),又f(—父)=f(父十2),所以f(父十2)=—f(父—1),即f(父十3)=—f(父),所以f(父十6)=—f(父十3)=f(父),所以f(父)是周期為6的周期函數(shù).又當(dāng)父∈[—2,1]時(shí),f(父)=父,f(父)的圖象關(guān)于直線父=1對(duì)稱,所以當(dāng)父∈(1,4]時(shí),f(父)=—父十2,所以f(1)十f(2)十f(3)十f(4)十f(5)十f(6)=1十0十(—1)十(—2)十(—1)十0=—3,5f(i)=[f(1)十f(2)十f(3)十f(4)十f(5)十f(6)]×337十f(2023)十f(2024)十f(2025)=(—3)×337十f(1)十f(2)十f(3)=—1011十1十0十(—1)=—1011.【高三8月摸底檢測(cè)●數(shù)學(xué)卷參考答案第1頁(yè)(共5頁(yè))】6008C【高三8月摸底檢測(cè)●數(shù)學(xué)卷參考答案第2頁(yè)(共5頁(yè))】6008C9.ABD對(duì)于A,向量a,b的夾角的余弦值為==—\,即向量a,b的夾角為,故A正確;對(duì)于B,(λa—3b)丄b兮λa●b—3b2=0兮—5λ—15=0兮λ=—3,故B正確;對(duì)于C,2a—b=(—4,7),a十kb=(—1十2k,3—k),則—4(3—k)=7(—1十2k),解得k=—,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,向量a在向量b上的投影向量為b=b=—b=(—2,1),故D正確.故選ABD.10.AC對(duì)于A,當(dāng)n=3時(shí),例如X=000,Y=111時(shí),d(X,Y)=3,故A正確;對(duì)于B,n=5時(shí),滿足d(X,Y)=2的Y的個(gè)數(shù)為CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),5)=10,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,X=000000,3個(gè)連續(xù)的1的位置有4種(1—3,2—4,3—5,4—6),總共有CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),6)=20種可能,概率為 對(duì)于D,可舉反例,不妨令n=6,則∞=111111,設(shè)u=001111,U=010100,于是d(u,∞)=2,d(U,∞)=4,d(u,U)=4,此時(shí)d(u,U)<d(u,∞)十d(U,∞),故D錯(cuò)誤.故選AC.11.AC對(duì)于A,設(shè)點(diǎn)P(兒,y)在曲線C上,下面驗(yàn)證點(diǎn)P關(guān)于(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)(2—兒,2—y)是否在曲線C上.將(2—兒,2—y)代入曲線C的方程,得(2—兒)(2—y)—(2—y)2十2—y—(2—兒)十1=4—2兒十y—兒十1=0,則(2—兒,2—y)也在曲線C上,故曲線C關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,故A正確;對(duì)于B,聯(lián)立{EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(y=),兒y)兒yEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(—1),2十)y—兒十1=0,消去y并整理可得兒=1,此時(shí)y=0,故曲線C與直線y=兒1只有一個(gè)交點(diǎn)(1,0),故B錯(cuò)誤;若橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),則y,必須為整數(shù),故y=0或y=2.當(dāng)y=0時(shí),兒=1,當(dāng)y=2時(shí),兒=1,故曲線C恰好經(jīng)過(guò)兩個(gè)整點(diǎn)(1,0)和(1,2),故C正確;對(duì)于D,由C可知C:兒設(shè)M(1,1),令t=y2—1,則y2=t十1,“y2>1,:t>0,當(dāng)且僅當(dāng)2t2=,即t2=\時(shí)等號(hào)成立,同理|AM|2≥2\—2,由A知曲線C關(guān)于點(diǎn)M(1,1)成中心對(duì)稱,所以當(dāng)|BM|2和|AM|2都最小時(shí),A,B,M三點(diǎn)共線,此時(shí)AB最小,所以|AB|2min=4|BM2=8\2—8<4,故D錯(cuò)誤.故選AC.12.—11(—2)CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(4),5)(—1)4十(—1)5=—11.EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up5(ea),eb)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(2ka),2kb)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(0),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up5(e2),eb)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(4kb),kb),顯然a,b≠0,兩式相除得eb=2,則b=ln2,代入eb=2kb中,因?yàn)锳=2C,所以sinB=sin(A十C)=sin3C,由正弦定理=,且b=2c,得=,即sin3C=2sinC,所以sin2CcosC十cos2CsinC=2sinC,即2sinCcos2C十2cos2CsinC—sinC=2sinC, 【高三8月摸底檢測(cè)●數(shù)學(xué)卷參考答案第3頁(yè)(共5頁(yè))】6008C因?yàn)椤鰽BC是直角三角形,所以內(nèi)切圓的半徑為r=(a十c—b)=3\,所以△AOB的面積為S=cr=×\×3\=3\4—3.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。15.(1)解:因?yàn)閍=b=1,所以f(父)=父ln父十父十2,…………1分則f/(父)=2十ln父,f/(1)=2.……………3分又f(1)=3,所以曲線y=f(父)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y—3=2(父—1),即y=2父十1.…5分(2)證明:f(父)的定義域?yàn)?0,十∞),令f/(父)=ln父十a(chǎn)十1=0,得父=eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up4(1),十)1.……………………7分令f/(父)<0,得0<父<eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)1,則f(父)在(0,eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)1)上單調(diào)遞減;令f/(父)>0,得父>eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)1,則f(父)在(eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)1,十∞)上單調(diào)遞增.…………9分EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(a),十)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(1),十).………………因?yàn)閒(父)>0恒成立,所以2b—eaEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up4(1),十)1>0,即bea十1>.………………13分16.解:(1)2×2列聯(lián)表補(bǔ)充如下:關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男女合計(jì)…………………2分零假設(shè)H0:廣州市民是否關(guān)注龍舟比賽與性別無(wú)關(guān).X==>7.879,……………5分根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),可認(rèn)為零假設(shè)H0不成立.故認(rèn)為廣州市民是否關(guān)注龍舟比賽與性別有關(guān).…………6分(2)樣本中廣州市民關(guān)注龍舟比賽的頻率為=,由題意可知X~B(3,,……8分X的可能取值為0,1,2,3,…………………9分P(X=0)=(1—3=,P(X=1)=CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up1(1),3)××(1—2=,13分P(X=2)=CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),3)×2×(1—=,P(X=3)=3=.……13分14分15分………14分15分……………X0123P E(X)=0×1十1×9十2×27十3×27=9或E(X)=3×3=9…17.(1)證明:在三棱錐P—ABC中,PC丄底面ABC.因?yàn)锳D∈平面ABC,所以PC丄AD.………………………1分又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),AB=AC,所以AD丄BC,………2分又PC∩BC=C,PC,BC∈平面PBC,所以AD丄平面PBC.………………………3分(2)解:如圖所示,連接DE,由(1)知AD丄平面PBC,又CE∈平面PBC,所以AD丄CE.……………4分又AE丄CE,且AE∩AD=A,AE,AD∈平面ADE,所以CE丄平面ADE.……………5分又因?yàn)镈E∈平面ADE,所以CE丄DE.……………………6分【高三8月摸底檢測(cè).數(shù)學(xué)卷參考答案第4頁(yè)(共5頁(yè))】6008C即在△PCB內(nèi),若AE丄CE,則CE丄DE,即點(diǎn)E落在以CD為直徑的半圓上, 1CD因?yàn)镃D=2BC=2,所以點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為π×2=π.………7分(3)解:以A為原點(diǎn),即在△PCB內(nèi),若AE丄CE,則CE丄DE,即點(diǎn)E落在以CD為直徑的半圓上, 1CD因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),則D(\,\,0).設(shè)PC=a,因?yàn)镻C丄底面ABC,則P(0,2\,a),從而EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(—→),AD)=(\,\,0),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(—→),AP)=(0,2\,a).…設(shè)PC=a,因?yàn)镻C丄底面ABC,則P(0,2\,a),設(shè)平面ADP的法向量n1=(x,y,義),EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up6(n1),n1)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(x十),2y十)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(2y),a義)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up6(0),0)所以平面ADP的一個(gè)法向量n1=(1,—1,2).………………又平面CAP的法向量n2=(1,0,0),二面角C—AP—D的大小為60。,所以cos解得a=2(舍負(fù)).13分→所以n1=(1,—1,\).……………………13分→設(shè)AC與平面ADP所成角為θ,AC=(0,2\,0),15分15分18.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)(—\,—\)在雙曲線C上,所以……………1分2故雙曲線方程為x2—EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up3(y),3)=1,漸近線方程為y=±\x.……………………4分=2,………………2分聯(lián)立a=12故雙曲線方程為x2—EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up3(y),3)=1,漸近線方程為y=±\x.……………………4分(2)(i)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立,則(3—k2)x2—2kmx—m2—3=0,……………………5分所以Δ=4k2m2十4(3—k2)(m2十3)>0,即m2十3>k2,…………………6分且x1十xx1x………………………7分則y1十y2=kx1十m十kx2十m=k(x1十x2)十2m=6m………………則MN的中點(diǎn)為D(x1EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(十),2)x2,y1EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(十),2)y2),即D—,,……………9分因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)K(0,4),則.k=—1,整理得k2十m=3.…………………因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)K(0,4),則.k=—1,整理得k2十m=3.