第第頁獲取更多資料，關(guān)注公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派【圓錐】定點(diǎn)問題處理策略與8大定點(diǎn)結(jié)論定點(diǎn)問題：在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點(diǎn)，這類問題稱為定點(diǎn)問題．證明直線（曲線）過定點(diǎn)的基本思想是是確定方程，即使用一個(gè)參數(shù)表示直線（曲線）方程，根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線（曲線）所過的定點(diǎn)．核心方程是指已知條件中的等量關(guān)系．【知識(shí)與典例精講】一、圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一般情況下，若方程中含有一個(gè)或者多個(gè)參數(shù)，當(dāng)x取某個(gè)常數(shù)時(shí)，求得的y也是一個(gè)與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，這樣就可以說方程對(duì)應(yīng)的曲線經(jīng)過定點(diǎn)．有時(shí)圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，可以充分考慮幾何性質(zhì)，從特殊情況出發(fā)，對(duì)可能的定點(diǎn)有初步的判斷，爭(zhēng)取確定出定點(diǎn)，這樣可以轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口．二、處理定點(diǎn)問題兩個(gè)基本策略：（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．三、解題流程與方法總結(jié)1．單參數(shù)法①設(shè)動(dòng)直線PM方程為y＝k（x－x0）＋y0；②聯(lián)立直線與橢圓（拋物線），解出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（A（k），B（k）），同理（由核心方程代換），得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（C（k），D（k））；③寫出動(dòng)直線MN方程，并整理成kf（x，y）＋g（x，y）＝0；④根據(jù)直線過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系（即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立），得到方程組⑤方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)．2．雙參數(shù)法①設(shè)動(dòng)直線MN方程（斜率存在）為y＝kx＋t；②由核心方程得到f（k，t）＝0（常用韋達(dá)定理）；③把t用k表示或把k用t表示，即kf（x，y）＋g（x，y）＝0（或tf（x，y）＋g（x，y）＝0）；④根據(jù)直線過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系（即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立），得到方程組⑤方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)．四、典型例題精析1．直線過定點(diǎn)問題（1）直線過定點(diǎn)問題的解題模型（2）求解動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，一般可先設(shè)出直線的一般方程：，然后利用題中條件整理出的關(guān)系，若，代入得，則該直線過定點(diǎn)．例1．已知橢圓C：例1．已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，從而判斷出直線恒過定點(diǎn).試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）【點(diǎn)睛】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).例2．已知橢圓例2．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M．(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）．(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2)存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率以及過點(diǎn)P(0，1)，可以得出a，b，c的方程，求出，得出橢圓的方程．（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，由條件轉(zhuǎn)化到正切值的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為斜率求得．（1）由題意知，代入點(diǎn)，得，∴．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由離心率為，知，則．由，得．∴橢圓C的方程是．由點(diǎn)和的坐標(biāo)，得出直線PA的方程為．令，得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)在橢圓上，有．點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線PB的方程為．令，得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，則，．∵，∴，即．∴．∴，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴在y軸上存在點(diǎn)，使得．例3．（2022屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期檢測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)例3．（2022屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期檢測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.(1)求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)，(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點(diǎn).（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點(diǎn)為則，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因?yàn)?，所以，所?（2）由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，（，）.所以所以，即整理得，此時(shí)恒成立，此時(shí)直線l的方程為，可化為，從而直線過定點(diǎn).例4．如圖所示，設(shè)橢圓例4．如圖所示，設(shè)橢圓M：的左頂點(diǎn)為A，中心為O，若橢圓M過點(diǎn)，且AP⊥OP．(1)求橢圓M的方程；(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的最大值；(3)過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝1，求證：直線DE過定點(diǎn)．【答案】(1)．(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得kAP·kOP＝－1，可求出，再由橢圓M過點(diǎn)P，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程可求出，從而可求出橢圓方程，（2）求出直線AP的方程，設(shè)，再求出點(diǎn)Q到直線AP的距離，從而可表示出△APQ面積，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（3）解法1：?jiǎn)螀?shù)法，由題意易得，直線AD的方程為y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出直線DE的方程，從而可求得結(jié)果，解法2：設(shè)直線DE的方程為x＝ty＋s，將其代入x2＋3y2＝1，利用根與系數(shù)關(guān)系，再由k1k2＝1，可求出，從而可求得結(jié)果.（1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1．又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－a，0），所以，解得a＝1．又因?yàn)闄E圓M過點(diǎn)P，所以，解得，所以橢圓M的方程為．（2）由題意易求直線AP的方程為，即x－y＋1＝0．因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓M上，故可設(shè)，又，所以，當(dāng)，即時(shí)，，取得最大值．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（3）法一：?jiǎn)螀?shù)法由題意易得，直線AD的方程為y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y，得，設(shè)D（xD，yD），則，即，所以．設(shè)E（xE，yE），同理可得，．又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，所以故直線DE的方程為．令y＝0，可得．故直線DE過定點(diǎn)（－2，0）．法二：雙參數(shù)法設(shè)D（xD，yD），E（xE，yE）．若直線DE垂直于y軸，則xE＝－xD，yE＝y(tǒng)D，此時(shí)與題設(shè)矛盾，若DE不垂直于y軸，可設(shè)直線DE的方程為x＝ty＋s，將其代入x2＋3y2＝1，消去x，得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0，則．又，可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0，所以，，化簡(jiǎn)得，解得s＝－2或s＝－1．又DE不過點(diǎn)A，即s≠－1，所以s＝－2．所以DE的方程為x＝ty－2．故直線DE過定點(diǎn)（－2，0）．例5．（2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三12月月考）已知點(diǎn)例5．（2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三12月月考）已知點(diǎn)，，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與曲線C相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，證明：直線PN恒過一定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題意得出，根據(jù)橢圓的定義可知曲線C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，從而可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線MN的方程為或，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線PN的方程，證明直線PN與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)即可.（1）因?yàn)?，，所以曲線C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，所以，，．所以曲線C的方程為．（2）解法一：因?yàn)橹本€MN不與x軸垂直，所以設(shè)直線MN的方程為由，得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線C內(nèi)，所以恒成立，設(shè)，，則，．因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，所以．所以直線PN的斜率，直線PN的方程是．令，得．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以此時(shí)直線PN過定點(diǎn)．當(dāng)直線MN與x軸重合時(shí)，直線PN為x軸，顯然過點(diǎn)．綜上所述，直線MN恒過定點(diǎn)．解法二：當(dāng)MN不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線MN的方程為，由，得，．設(shè)，，設(shè)，．因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，所以．所以直線PN的斜率，直線PN的方程是令，得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以此時(shí)直線PN過定點(diǎn)．當(dāng)直線MN與x軸重合時(shí)，直線PN為x軸，顯然過點(diǎn)．綜上所述，直線MN恒過定點(diǎn)．例6．橢圓例6．橢圓C的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D（不同于點(diǎn)A）．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）計(jì)算，得到橢圓方程.（2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，通過特殊直線得到定點(diǎn)為，再計(jì)算斜率相等得到證明.（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得.所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由得.設(shè)，，，則，特殊地，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，所以，，，即，所以點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則為兩直線交點(diǎn)，，，又因?yàn)樗?，即三點(diǎn)共線，故直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．2．圓過定點(diǎn)問題圓過定點(diǎn)問題的常見類型是以為直徑的圓過定點(diǎn)P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為，也可以轉(zhuǎn)化為例7．（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期大聯(lián)考）已知橢圓例7．（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期大聯(lián)考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，與軸不重合的直線過焦點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓通徑的意義及計(jì)算即可得解.(2)設(shè)出直線方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，用點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)表示出點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，然后借助韋達(dá)定理、向量數(shù)量積計(jì)算即可作答.（1）橢圓的右焦點(diǎn)，則半焦距，當(dāng)軸時(shí)，弦AB為橢圓的通徑，即，則有，即，而，于是得，又，解得，，所以橢圓的方程為：.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（2）依題意，直線不垂直于y軸，且過焦點(diǎn)，設(shè)的方程為，，，由得，，，因點(diǎn)，則直線的方程為，令，得，同理可得，于是有，則，因此，，即在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及過定點(diǎn)且不垂直于某條坐標(biāo)軸的直線方程設(shè)法，若直線不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：；若直線不垂直于y軸，可設(shè)其方程為：..3．與定點(diǎn)問題有關(guān)的基本結(jié)論（1）若直線（1）若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；（2）若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn)．（4）設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn)；（5）過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；（6）過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；（7）設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn)；（8）設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn)．例8．（2022屆海南華僑中學(xué)高三上學(xué)期月考）例8．（2022屆海南華僑中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分直線斜率存在與不存在兩種情況證明.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程消元后利用韋達(dá)定理及判別式求得，由求得，代入直線方程可證得直線過定點(diǎn)，再考慮直線的斜率不存在時(shí)情況，易證得結(jié)果.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）由題意可得，解得所以橢圓的方程為.（2）設(shè).①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得.由，得.所以．所以，即，所以，即，所以，所以，所以直線過定點(diǎn).②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，所以，則直線也過定點(diǎn).綜合①②，可得直線過定點(diǎn).例8．（2022屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）例8．（2022屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)的坐標(biāo)為，的方程為；(2)直線過定點(diǎn).【分析】(1)利用拋物線定義求出，進(jìn)而求出p值即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助韋達(dá)定理探求出m與n的關(guān)系即可作答.（1）拋物線的準(zhǔn)線：，于是得，解得，而點(diǎn)在上，即，解得，又，則，所以的坐標(biāo)為，的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，由消去x并整理得：，則，，，因此，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）化簡(jiǎn)得，即，代入方程得，即，則直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交，直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.【提升訓(xùn)練】10．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為.直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，由求解；（2）設(shè)，直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，則直線的方程，令，結(jié)合韋達(dá)定理求解.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），直線AB的方程為，聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得，直線的方程為，令，得，又，所以，所以直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，其坐標(biāo)是.11．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程．(2)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是，以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)．【分析】（1）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，建立方程組，即可求橢圓的方程；（2）直線代入橢圓方程，求出，的坐標(biāo)，利用以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn),，則等價(jià)于恒成立，即可得出結(jié)論．（1）解：由題意得，解得，．∴橢圓C的方程是．（2）解：以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)．直線代入橢圓可得．設(shè),，,，則有，．又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)．由題意可知直線的方程為，故點(diǎn)．直線的方程為，故點(diǎn)．若以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，，則等價(jià)于恒成立．又因?yàn)?，,，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以恒成立．又因?yàn)?，，所以，解得．故以線段為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，．12．已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13．雙曲線C：（，）的一條漸近線l的傾斜角為，過左、右焦點(diǎn)，分別作l的垂線，兩垂足間的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P（1，0）且斜率不為0的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，記N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明直線MQ過x軸上的定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)漸近線的傾斜角可得，由已知及點(diǎn)線距離公式求參數(shù)，進(jìn)而寫出雙曲線C的方程；（2）設(shè)為且、，（），聯(lián)立雙曲線方程應(yīng)用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)式求，再由點(diǎn)斜式寫出MQ的方程，令化簡(jiǎn)求x，即可證明定點(diǎn).（1）依題意，漸近線l為，即．由，得．∵，到漸近線l的距離均為，，∴兩垂足間的距離為，解得，則．∴雙曲線C的方程為．（2）依題意，得直線的斜率存在且不為0．設(shè)為且，代入雙曲線C的方程中，消去y，整理得．∵直線與雙曲線C交于兩點(diǎn)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）∴，解得且．設(shè)，（），則，，，則，∴直線MQ的方程為，令，則．∴直線MQ過x軸上的定點(diǎn)(3,0)．（2022屆河南省焦作市高三上學(xué)期開學(xué)考試）14．在中，已知、，直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用斜率公式結(jié)合已知條件可求得曲線的方程，并注明；（2）設(shè)直線與交點(diǎn)為，求出點(diǎn)、的方程，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，寫出直線的坐標(biāo)，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與的斜率分別為，，其中，由已知得，化簡(jiǎn)得，由已知得，故曲線的方程為.（2）證明：設(shè)直線與交點(diǎn)為，則直線的方程為，由得，設(shè)，則，即，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）同理，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去整理得，設(shè)，則，即，.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，化簡(jiǎn)得：，故直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，可得，所以直線也過定點(diǎn).綜上所述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.（2022屆陜西省西安市高三上學(xué)期模擬）15．已知與圓相切的直線l，過拋物線的焦點(diǎn)F，且直線l的傾斜角為.(1)求拋物線E的方程；(2)直線與拋物線E交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線對(duì)稱，在上是否存在點(diǎn)N，使得以為直徑的圓恰好過點(diǎn)N，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，再由與圓相切求解即可；（2）利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)，得出直線方程，再由圓的性質(zhì)利用求解即可.（1）拋物線焦點(diǎn)為，直線斜率，所以直線方程為，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由圓與直線相切可得，，由可解得，所以拋物線方程為.（2）設(shè)，因?yàn)锳，B關(guān)于直線對(duì)稱，所以設(shè)中點(diǎn)在上，且，由相減可得，，所以，又在上，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立拋物線消元得，，,若存在點(diǎn)N，則,即，解得或，即存在點(diǎn)或滿足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：存在性問題，一般假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在，本題以以為直徑的圓恰好過點(diǎn)N，可考慮垂直建立關(guān)系，也可考慮建立關(guān)系求解.（2022屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期階段性測(cè)試）16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若，且直線l的斜率為4，求直線(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率．(2)若直線，的斜率互為相反數(shù)，且直線l不與x軸垂直，探究：直線l是否過定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)過定點(diǎn)，﹒【分析】(1)由值M為AB中點(diǎn)，由點(diǎn)差法即可得OM的斜率；(2)根據(jù)橢圓對(duì)稱性，結(jié)合已知條件可知l過定點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)應(yīng)該在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為(t，0)，寫出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線，的斜率互為相反數(shù)列出方程，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)﹒（1）設(shè)，，依題意，M為線段的中點(diǎn)，∵A，B在橢圓C上，故兩式相減可得，則，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故，解得．（2）假設(shè)定點(diǎn)存在，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可知該直線所過定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為，聯(lián)立，消去y整理得，則，．設(shè)直線，的斜率分別為，，由題可知，則．即，∴，，即直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．17．過點(diǎn)的任一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求的值．(2)已知為拋物線上的兩點(diǎn)，分別過作拋物線的切線，且，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可求，由列方程求的值；(2)設(shè)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的方程，根據(jù)可得，化簡(jiǎn)直線的方程，證明直線過定點(diǎn)．（1）設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，整理可得（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以，，所以，所以，（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為從而同理，因?yàn)?，所以，即，又，從而直線的方程為：，將帶入化簡(jiǎn)得：，所以，直線恒過定點(diǎn)．（2022屆上海市進(jìn)才中學(xué)高三上學(xué)期12月聯(lián)考）18．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知斜率為的直線l與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線l不過點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(3)設(shè)點(diǎn)Q為曲線C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)E、F是C上異于點(diǎn)Q的任意兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰過Q點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)0(3)直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】(1)設(shè)出的坐標(biāo)為，結(jié)合已知條件可得，然后化簡(jiǎn)即可求解；(2)設(shè)直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，利用斜率公式表示出，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；(3)結(jié)合已知條件，設(shè)出直線EF的方程，并聯(lián)立橢圓方程，利用和韋達(dá)定理求出，進(jìn)而即可得到答案.（1）不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，，化簡(jiǎn)可得，，故曲線C的方程為.（2）不妨設(shè)直線的方程：，，，因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)，易知，由可得，，由且可得，或，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式得，，故的值?.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（3）由橢圓方程可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰過Q點(diǎn)，所以，結(jié)合橢圓特征可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線方程：，且，，，由可得，，由可得，，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?，，，，所以，將，代入上式并化?jiǎn)可得，，故直線方程：，易知直線必過定點(diǎn)，從而直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y＝x－2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，N為AB的中點(diǎn)．(1)證明：MN⊥x軸．(2)直線AB是否恒過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)直線AB過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)切線的幾何意義，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解證明即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)公式，結(jié)合斜率公式進(jìn)行求解即可.（1）設(shè)，由，所以切線MA的斜率為，因此切線MA的方程為：，M為直線y＝x－2上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，因此有，同理可得：，因此是方程的兩個(gè)根，所以，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以，因此MN⊥x軸；（2）因?yàn)椋?，所以直線AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，即y－2＝2t，所以直線AB過定點(diǎn)．（2022屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）20．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.離心率等于，點(diǎn)在軸正半軸上，為直角三角形且面積等于2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性得為等腰直角三角形，且，進(jìn)而根據(jù)面積得，再結(jié)合離心率得，最后根據(jù)求解得答案；（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而根據(jù)題意得，進(jìn)而整理得，再聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理整理求解即可.（1）解：根據(jù)題意，由對(duì)稱性得為等腰直角三角形，且，因?yàn)榈拿娣e等于，所以，即，因?yàn)闄E圓的離心率等于，即，解得，所以，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）解：由（1）得，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以直線與直線的斜率互為相反數(shù)，即，因?yàn)椋?，整理得（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）又因?yàn)椋?，由消去得所以，即，所以，整理得由于，故解方程得，此時(shí)直線的方程為，過定點(diǎn)所以直線恒過定點(diǎn).（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)．(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．【答案】(1)(2)直線l過定點(diǎn)(，0)【分析】（1）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根據(jù)M為PQ的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解；（2）根據(jù)＝，得到APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則AP⊥AQ，然后直線l的斜率不存在，直線l的斜率存在時(shí)，將直線方程y＝kx＋m，與雙曲線方程－＝1聯(lián)立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0結(jié)合韋達(dá)定理求解.（1）解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，因?yàn)镻、Q在雙曲線上，所以－＝1，－＝1，兩式作差得－＝0，即＝，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）即＝，即k1·k2＝；