2025年自動控制原理經典試題及答案解析一、已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\)，其中\(zhòng)(K>0\)。（1）求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的\(K\)值；（2）若要求閉環(huán)系統(tǒng)主導極點的阻尼比\(\zeta=0.5\)，求對應的\(K\)值及此時系統(tǒng)的超調量\(\sigma\%\)、調節(jié)時間\(t_s\)（按\(5\%\)誤差帶計算）；（3）當\(K=10\)時，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明理由。解答與解析（1）臨界穩(wěn)定時的\(K\)值單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K}{s(s+1)(s+5)+K}\)。閉環(huán)特征方程為：\(s^3+6s^2+5s+K=0\)根據勞斯判據，列寫勞斯表：\[\begin{array}{c|ccc}s^3&1&5&\\s^2&6&K&\\s^1&\frac{30-K}{6}&0&\\s^0&K&&\\\end{array}\]系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，勞斯表中\(zhòng)(s^1\)行首元素為0，即\(30-K=0\)，解得\(K=30\)。此時\(s^0\)行元素\(K=30\neq0\)，說明系統(tǒng)存在一對純虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（2）主導極點阻尼比\(\zeta=0.5\)時的\(K\)值及動態(tài)性能指標設主導極點為\(s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pmj\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，由于系統(tǒng)為三階，第三個極點\(s_3\)需滿足\(|s_3|\gg|\text{Re}(s_{1,2})|\)（主導極點條件）。閉環(huán)特征方程可分解為\((s+a)(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)=0\)，展開后與原特征方程\(s^3+6s^2+5s+K=0\)對比系數：\[\begin{cases}a+2\zeta\omega_n=6\\a\cdot2\zeta\omega_n+\omega_n^2=5\\a\cdot\omega_n^2=K\\\end{cases}\]代入\(\zeta=0.5\)，得\(2\zeta\omega_n=\omega_n\)，因此第一個方程簡化為\(a+\omega_n=6\)，即\(a=6-\omega_n\)。第二個方程代入\(a=6-\omega_n\)，得：\((6-\omega_n)\omega_n+\omega_n^2=5\implies6\omega_n-\omega_n^2+\omega_n^2=5\implies\omega_n=\frac{5}{6}\)則\(a=6-\frac{5}{6}=\frac{31}{6}\approx5.17\)，滿足\(|s_3|=a\gg|\text{Re}(s_{1,2})|=\zeta\omega_n=\frac{5}{12}\approx0.417\)，主導極點條件成立。此時\(K=a\cdot\omega_n^2=\frac{31}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{31\times25}{6\times36}=\frac{775}{216}\approx3.59\)。超調量\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=e^{-\pi\times0.5/\sqrt{1-0.25}}\times100\%=e^{-\pi/\sqrt{3}}\times100\%\approx16.3\%\)。調節(jié)時間\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times5/6}=\frac{3\times6}{2.5}=7.2\,\text{s}\)（5%誤差帶）。（3）\(K=10\)時的穩(wěn)定性判斷將\(K=10\)代入勞斯表，\(s^1\)行首元素為\(\frac{30-10}{6}=\frac{20}{6}\approx3.33>0\)，所有行首元素均為正，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。二、某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為\(G(s)H(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)。（1）繪制開環(huán)對數幅頻特性曲線（伯德圖）的漸近線；（2）計算系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h\)；（3）判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解答與解析（1）伯德圖漸近線繪制開環(huán)傳遞函數可分解為典型環(huán)節(jié)：-比例環(huán)節(jié)：\(K=10\)（20lg10=20dB）-積分環(huán)節(jié)：\(\frac{1}{s}\)（斜率-20dB/dec）-慣性環(huán)節(jié)1：\(\frac{1}{0.1s+1}\)（交接頻率\(\omega_1=10\,\text{rad/s}\)，之后斜率-40dB/dec）-慣性環(huán)節(jié)2：\(\frac{1}{0.01s+1}\)（交接頻率\(\omega_2=100\,\text{rad/s}\)，之后斜率-60dB/dec）漸近線繪制步驟：-低頻段（\(\omega<10\)）：斜率-20dB/dec，過點\((\omega=1,20\lg10=20\,\text{dB})\)。-\(\omega=10\)時，斜率變?yōu)?40dB/dec，計算該點幅值：\(20-20\lg10=0\,\text{dB}\)（因積分環(huán)節(jié)在\(\omega=10\)處的幅值為\(20\lg(1/10)=-20\,\text{dB}\)，加上比例環(huán)節(jié)20dB，總為0dB）。-\(\omega=100\)時，斜率變?yōu)?60dB/dec，該點幅值：從\(\omega=10\)到\(\omega=100\)（10倍頻程），斜率-40dB/dec，幅值變化\(-40\times1=-40\,\text{dB}\)，故\(\omega=100\)處幅值為\(0-40=-40\,\text{dB}\)。（2）相位裕度與幅值裕度計算相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)H(j\omega_c)\)，其中\(zhòng)(\omega_c\)為截止頻率（\(|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\)）。首先求\(\omega_c\)：低頻段漸近線方程為\(20\lgK-20\lg\omega=0\)（當\(\omega<10\)時，慣性環(huán)節(jié)影響可忽略），即\(20-20\lg\omega=0\implies\omega=10\,\text{rad/s}\)。但需驗證\(\omega=10\)處實際幅值是否為1：實際幅值\(|G(j10)H(j10)|=\frac{10}{10\times\sqrt{(0.1\times10)^2+1}\times\sqrt{(0.01\times10)^2+1}}=\frac{10}{10\times\sqrt{2}\times\sqrt{1.01}}\approx\frac{1}{\sqrt{2}\times1.005}\approx0.705<1\)，說明截止頻率\(\omega_c>10\)。在\(10<\omega<100\)區(qū)間，漸近線斜率為-40dB/dec，幅值表達式為\(20\lg10-20\lg\omega-20\lg\sqrt{(0.1\omega)^2+1}\approx20-20\lg\omega-20\lg(0.1\omega)=20-20\lg\omega-20(\lg\omega-1)=20-40\lg\omega+20=40-40\lg\omega\)。令其等于0dB（\(|G(j\omega)H(j\omega)|=1\)），得\(40-40\lg\omega=0\implies\lg\omega=1\implies\omega=10\,\text{rad/s}\)，與實際不符，需用精確計算。設\(\omega_c>10\)，忽略\(0.01\omega\)（因\(\omega_c<100\)時\(0.01\omega_c\ll1\)），則\(|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|\approx\frac{10}{\omega_c\times0.1\omega_c}=\frac{100}{\omega_c^2}=1\implies\omega_c=10\,\text{rad/s}\)（矛盾，說明需考慮兩個慣性環(huán)節(jié)）。精確計算：\(|G(j\omega)H(j\omega)|=\frac{10}{\omega\sqrt{(0.1\omega)^2+1}\sqrt{(0.01\omega)^2+1}}=1\)。試算\(\omega=31.6\,\text{rad/s}\)（\(10\sqrt{10}\)）：\(0.1\omega=3.16\)，\(0.01\omega=0.316\)，則分母\(\omega\times3.16\times1.05\approx31.6\times3.16\times1.05\approx105\)，分子10，故\(|G|\approx10/105\approx0.095<1\)。試算\(\omega=5\,\text{rad/s}\)：分母\(5\times\sqrt{0.25+1}\times\sqrt{0.0025+1}\approx5\times1.118\times1.001\approx5.59\)，\(|G|=10/5.59\approx1.79>1\)。因此\(\omega_c\)在5~10rad/s之間。用線性插值法：設\(\omega=7\,\text{rad/s}\)，分母\(7\times\sqrt{0.49+1}\times\sqrt{0.0049+1}\approx7\times1.22\times1.002\approx8.55\)，\(|G|=10/8.55\approx1.17>1\)；\(\omega=8\,\text{rad/s}\)，分母\(8\times\sqrt{0.64+1}\times\sqrt{0.0064+1}\approx8\times1.28\times1.003\approx10.27\)，\(|G|=10/10.27\approx0.97<1\)。故\(\omega_c\approx7.9\,\text{rad/s}\)。相位\(\angleG(j\omega_c)H(j\omega_c)=-90^\circ-\arctan(0.1\omega_c)-\arctan(0.01\omega_c)\approx-90^\circ-\arctan(0.79)-\arctan(0.079)\approx-90^\circ-38.3^\circ-4.5^\circ=-132.8^\circ\)。相位裕度\(\gamma=180^\circ-132.8^\circ=47.2^\circ\)。幅值裕度\(h\)需找到相位為\(-180^\circ\)時的頻率\(\omega_g\)，即：\(-90^\circ-\arctan(0.1\omega_g)-\arctan(0.01\omega_g)=-180^\circ\implies\arctan(0.1\omega_g)+\arctan(0.01\omega_g)=90^\circ\)。利用\(\arctana+\arctanb=90^\circ\impliesab=1\)，得\(0.1\omega_g\times0.01\omega_g=1\implies0.001\omega_g^2=1\implies\omega_g=\sqrt{1000}\approx31.6\,\text{rad/s}\)。此時\(|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|=\frac{10}{31.6\times\sqrt{(0.1\times31.6)^2+1}\times\sqrt{(0.01\times31.6)^2+1}}\approx\frac{10}{31.6\times\sqrt{100+1}\times\sqrt{1+1}}\approx\frac{10}{31.6\times10.05\times1.414}\approx\frac{10}{449}\approx0.022\)，故幅值裕度\(h=20\lg(1/0.022)\approx20\lg45.45\approx33.2\,\text{dB}\)。（3）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷相位裕度\(\gamma=47.2^\circ>0\)，幅值裕度\(h=33.2\,\text{dB}>0\)，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。三、設非線性系統(tǒng)結構如圖所示（注：實際答題時需描述結構，此處假設為飽和特性串聯(lián)積分環(huán)節(jié)和線性部分\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)}\)，飽和特性的描述函數為\(N(A)=\frac{2K_s}{\pi}\left[\arcsin\left(\frac{a}{A}\right)+\frac{a}{A}\sqrt{1-\left(\frac{a}{A}\right)^2}\right]\)，其中\(zhòng)(K_s\)為線性區(qū)增益，\(a\)為飽和閾值）。（1）用描述函數法分析系統(tǒng)是否存在自激振蕩；（2）若存在自激振蕩，求振蕩頻率和振幅。解答與解析（1）自激振蕩存在性分析描述函數法的關鍵是判斷\(-1/N(A)\)與\(G(j\omega)\)的交點是否存在。線性部分頻率特性\(G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}=\frac{K}{-\omega^2+j\omega}=\frac{K(-\omega^2-j\omega)}{\omega^4+\omega^2}=-\frac{K}{\omega^2+1}-j\frac{K}{\omega(\omega^2+1)}\)。負倒描述函數\(-1/N(A)=-\frac{\pi}{2K_s\left[\arcsin(a/A)+(a/A)\sqrt{1-(a/A)^2}\right]}\)（實軸上的負實數）。令\(G(j\omega)\)的虛部為0，解得\(\omega\to\infty\)時虛部趨近于0，而\(\omega\to0\)時虛部趨近于\(-\infty\)。因此\(G(j\omega)\)的奈奎斯特曲線從\(-\infty\)（\(\omega\to0\)）沿負實軸方向趨向原點（\(\omega\to\infty\)）。若\(-1/N(A)\)與\(G(j\omega)\)的實軸部分相交，即存在\(A\)和\(\omega\)使得\(\text{Re}[G(j\omega)]=-1/N(A)\)且\(\text{Im}[G(j\omega)]=0\)。由于\(G(j\omega)\)的虛部僅在\(\omega\to\infty\)時為0，此時\(\text{Re}[G(j\omega)]\to0\)，而\(-1/N(A)\)為負實數，因此當\(G(j\omega)\)的實軸軌跡與\(-1/N(A)\)相交時，存在自激振蕩。（2）振蕩頻率與振幅計算設\(\text{Im}[G(j\omega)]=-\frac{K}{\omega(\omega^2+1)}=0\)，僅當\(\omega\to\infty\)時成立，矛盾。實際應為\(G(j\omega)\)的虛部等于\(-1/N(A)\)的虛部（0），即\(G(j\omega)\)的虛部為0，此時\(\omega\)滿足\(\omega(\omega^2+1)\to\infty\)，不成立。說明假設的非線性結構可能需調整，例如改為間隙特性或繼電器特性。假設非線性環(huán)節(jié)為理想繼電器特性（輸出\(\pmM\)，描述函數\(N(A)=\frac{4M}{\piA}\)），則\(-1/N(A)=-\frac{\piA}{4M}\)（實軸負方向）。線性部分\(G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}=\frac{K}{-\omega^2+j\omega}\)，其奈奎斯特曲線與負實軸交點處\(\text{Im}[G(j\omega)]=0\)，即\(\omega^2+1=0\)（無解），說明需重新選擇線性部分。正確示例：線性部分\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)，非線性環(huán)節(jié)為飽和特性\(N(A)=\frac{2K_s}{\pi}\left[\arcsin(a/A)+(a/A)\sqrt{1-(a/A)^2}\right]\)（\(A\geqa\)）。令\(G(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)}=\frac{1}{-\omega^2+j\omega}=\frac{-\omega^2-j\omega}{\omega^4+\omega^2}\)，其與負實軸交點處虛部為0，即\(-\omega=0\)（僅\(\omega=0\)，無意義）。因此實際自激振蕩分析需考慮\(G(j\omega)\)與\(-1/N(A)\)的交點，即\(\text{Re}[G(j\omega)]=-1/N(A)\)且\(\text{Im}[G(j\omega)]=0\)（或通過幅值和相位條件聯(lián)立）。四、離散控制系統(tǒng)的結構圖中，采樣周期\(T=1\,\text{s}\)，連續(xù)部分傳遞函數\(G(s)=\frac{1-e^{-Ts}}{s}\cdot\frac{1}{s(s+1)}\)，求系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解答與解析（1）閉環(huán)脈沖傳遞函數首先求\(G(s)\)的Z變換。\(\frac{1-e^{-Ts}}{s}\)是零階保持器的傳遞函數，\(\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\)，其Z變換為\(Z\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\right]=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-T}}\)（\(T=1\)時\(e^{-T}=e^{-1}\)）。因此，零階保持器與連續(xù)部分串聯(lián)后的Z傳遞函數為：\(G(z)=(1-z^{-1})\left(\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-1}}\right)=1-\frac{z-1}{z-e^{-1}}=\frac{(z-e^{-1})-(z-1)}{z-e^{-1}}=\frac{1-e^{-1}}{z-e^{-1}}\)單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數\(\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{(1-e^{-1})/(z-e^{-1})}{1+(1-e^{-1})/(z-e^{-1})}=\frac{1-e^{-1}}{z-e^{-1}+1-e^{-1}}=\frac{1-e^{-1}}{z+(1-2e^{-1})}\)（代入\(e^{-1}\approx0.368\)，得\(\Phi(z)=\frac{0.632}{z+(1-0.736)}=\frac{0.632}{z+0.264}\)）。（2）穩(wěn)定性判斷閉環(huán)特征方程為\(z+0.264=0\)，根為\(z=-0.264\)，其模\(|z|=0.264<1\)，位于Z平面單位圓內，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。五、已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性漸近線如圖所示（注：此處描述為：低頻段斜率0dB/dec，幅值20dB；\(\omega_1=1\,\text{rad/s}\)處斜率變?yōu)?20dB/dec；\(\omega_2=10\,\text{rad/s}\)處斜率變?yōu)?40dB/dec）。（1）求開環(huán)傳遞函數\(G(s)\)；（2）若要求系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma\geq45^\circ\)，設計串聯(lián)超前校正裝置\(G_c(s)\)，并驗證校正效果。解答與解析（1）開環(huán)傳遞函數求解低頻段斜率0dB/dec，說明無積分環(huán)節(jié)，比例環(huán)節(jié)\(K\)滿足\(20\lgK=20\impliesK=10\)。\(\omega_1=1\)處斜率變?yōu)?20dB/dec，對應一個慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{s/\omega_1+1}=\frac{1}{s+1}\)。\(\omega_2=10\)處斜率變?yōu)?40dB/dec，對應另一個慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{s/\omega_2+1}=\frac{1}{0.1s+1}\)。因此，開環(huán)傳遞函數\(G(s)=\frac{10}{(s+1)(0.1s+1)}\)。（2）串聯(lián)超前校正設計原系統(tǒng)截止頻率\(\omega_c'\)：漸近線在\(\omega<1\)時幅值20dB；\(1<\omega<10\)時斜率-20dB/dec，幅值表達式\(20-20\lg\omega\)；\(\omega>10\)時斜率-40dB/dec，幅值\(20-20\lg10-20\lg(\omega/10)=20-20-20\lg\omega+20=20-20\lg\omega\)（與前一段相同，說明\(\omega_2=10\)處無變化，可能描述有誤，假設原系統(tǒng)為\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)，低頻斜率-20dB/dec，幅值\(20\lg(10/\omega)\)，截止頻率\(\omega_c'\)滿足\(10/\omega_c'=1\implies\omega_c'=10\,\text{rad/s}\)，相位\(\angleG(j\omega_c')=-90^\circ-\arctan(10/1)=-90^\circ-84.3^\circ=-174.3^\circ\)，相位裕度\(\gamma'=180^\circ-174.3^\circ=5.7^\circ<45^\circ\)，需校正。設計超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（\(\alpha>1\)），需提供的超前角\(\phi_m=45^\circ-5.7^\circ+5^\circ=44.3^\circ\)（考慮幅值衰減，預留5°）。由\(\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\)，得\(\alpha=\frac{1+\sin\phi_m}{1-\sin\phi_m}\approx\frac{1+0.698}{1-0.698}\approx5.9\)，取\(\alpha=6\)。校正后截止頻率\(\omega_c''\)選在超前校正裝置的最大超前角頻率\(\omega_m=1/\sqrt{\alpha}T\)，且\(|G(j\omega_c'')