第25講倒推法解題3知識裝備有些應(yīng)用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程會比較繁瑣。所以，解題時，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后往前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。初級挑戰(zhàn)1一堆蘋果，甲拿走了其中的EQ\F(1,6)，乙拿走30個，還剩下15個，這堆蘋果共有多少個？思路點撥：根據(jù)題意可知，乙拿走30個之前還剩下（）個蘋果,占全部蘋果的（）。答案：（15＋30）÷（1－EQ\F(1,6)）＝54（個）能力探索1一堆煤，第一次運走了總數(shù)的，第二次運走了總數(shù)的，第三次運走了10噸，還剩下4噸，這堆煤原有多少噸？答案：（10＋4）÷（1－EQ\F(1,3)－）＝30（噸）初級挑戰(zhàn)2一本文藝書，小明第一天看了全書的EQ\F(1,3)，第二天看了余下的EQ\F(3,5)，還剩下48頁，這本書共有多少頁？思路點撥：從“剩下48頁”入手倒著往前推，它占余下的（）。因此可先算出第一天看后還剩的頁數(shù)，再往前推算出結(jié)果。答案：48÷（1－EQ\F(3,5)）÷（1－EQ\F(1,3)）＝180（頁）能力探索2某班少先隊員參加勞動，其中EQ\F(3,7)的人打掃禮堂，剩下隊員中的EQ\F(5,8)打掃操場，還剩12人打掃教室，這個班共有多少名少先隊員？答案：12÷（1－EQ\F(5,8)）÷（1－EQ\F(3,7)）＝56（人）中級挑戰(zhàn)1筑路隊修一段路，第一天修了全長的又100米，第二天修了余下的，還剩500米，這段公路全長多少米？思路點撥：從“還剩500米”入手倒著往前推，它占余下的（），因此，第一天修后還剩（）米，如果第一天正好修全長的，還余下（）米，而它正好占全長的（），因此可以算出全長是多少。答案：[500÷（1－）＋100]÷（1－）＝1000（米）能力探索3用拖拉機耕一塊地，第一天耕了這塊地的，第二天耕的比余下的多3公頃，還剩下30公頃，這塊地共有多少公頃？答案：（30＋3）÷（1－）＝66(公頃)，66÷（1－）＝99(公頃)。中級挑戰(zhàn)2王大伯屋后有一棵桃樹，他調(diào)皮的孫子每天從樹上摘下一些桃子和鄰居的小伙伴分著吃。第一天摘下桃子總個數(shù)的，以后8天每天分別摘下當天樹上現(xiàn)有桃子的，，，…，，，摘了9天，樹上還留下10個桃子。樹上原來有多少個桃子？思維點撥：從“摘了9天，樹上還留下10個桃子”，可知這10個桃子占第9天摘后的（），因此可算出第9天摘之前有（）個桃子，同理再往前推算，一步一步得出原有的桃子數(shù)。答案：第9天之前剩下10÷（1－）個，第8天之前剩下10÷（1－）÷（1－）個,……,依次類推，總數(shù)＝10÷（1－）÷（1－）÷…÷（1－）＝100(個)。能力探索4小松鼠有一批松果，第一天吃了總個數(shù)的，以后4天每天吃當天個數(shù)的、、、，這樣吃了5天后還剩下6個松果。小松鼠原來有多少個松果？答案：6÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）＝36（個）。聰明泉約翰?馮?諾依曼約翰?馮?諾依曼（JohnvonNeumann，1903－1957），美籍匈牙利人，數(shù)學(xué)家、計算機學(xué)家、物理學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家、發(fā)明家，“現(xiàn)代電子計算機之父”，他制定的計算機工作原理直到現(xiàn)在還被各種電腦使用著。馮?諾依曼1903年12月28日生于匈牙利的布達佩斯，父親是一個銀行家，家境富裕，十分注意對孩子的教育。馮?諾依曼從小聰穎過人，興趣廣泛，讀書過目不忘。據(jù)說他6歲時就能用古希臘語同父親閑談，一生掌握了七種語言，最擅德語，可在他用德語思考種種設(shè)想時，又能以閱讀的速度譯成英語。他對讀過的書籍和論文，能很快一句不差地將內(nèi)容復(fù)述出來，而且若干年之后，仍可如此。1911年至1921年，馮?諾依曼在布達佩斯的盧瑟倫中學(xué)讀書期間，就嶄露頭角而深受老師的器重。在費克特老師的指導(dǎo)下合作發(fā)表了第一篇數(shù)學(xué)論文，此時馮?諾依曼還不到18歲。1921年至1923年在蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)學(xué)習，很快又在1926年以優(yōu)異的成績獲得了布達佩斯大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，此時馮?諾依曼年僅22歲。1927年至1929年馮?諾依曼相繼在柏林大學(xué)和漢堡大學(xué)擔任數(shù)學(xué)講師。1930年接受了普林斯頓大學(xué)客座教授的職位，西渡美國。1931年他成為美國普林斯頓大學(xué)的第一批終身教授，那時他還不到30歲。1933年轉(zhuǎn)到該校的高級研究所，成為最初六位教授之一，并在那里工作了一生。馮?諾依曼是普林斯頓大學(xué)、賓夕法尼亞大學(xué)、哈佛大學(xué)、伊斯坦堡大學(xué)、馬里蘭大學(xué)、哥倫比亞大學(xué)和慕尼黑高等技術(shù)學(xué)院等校的榮譽博士。他是美國國家科學(xué)院、秘魯國立自然科學(xué)院和意大利國立林且學(xué)院等院的院士。1951年至1953年他任美國數(shù)學(xué)會主席，1954年任美國原子能委員會委員。拓展挑戰(zhàn)有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出給乙桶后，又從乙桶中倒出給甲桶，這時兩桶油各有24千克，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？思維點撥倒過來推算，最后一次是從乙桶中倒出給甲桶后兩桶油各有24千克，那么可知從乙桶中倒出給甲桶之前，24千克油占乙桶油的（1－），此時乙有24÷（1－）＝30（千克），甲有2×24－30＝18（千克）；甲原有18÷（1－）＝27（千克），乙原有2×24－27＝21（千克）。能力探索5甲、乙兩人各有人民幣若干元，甲拿出給乙后，乙又拿出給甲，這時他們各有90元，他們原來各有多少元?答案：從乙拿出給甲之前，乙有90÷（1－）＝120（元），甲有2×90－120＝60（元）；甲原有60÷（1－）＝75（元），乙原有2×90－75＝105（元）。課堂小測1、一輛汽車從甲地出發(fā)，第一天走了全程的，第二天走了余下的，第三天走了250千米到達乙地。甲、乙兩地間的路程是多少千米？2、一堆煤，上午運走，下午運的比余下的還多6噸，最后剩下14噸還沒有運走，這堆煤原有多少噸？3、甲、乙、丙三個盒子各有若干個小球，從甲盒內(nèi)拿出4個放入乙盒，再從乙盒內(nèi)拿出8個放入丙盒后，三個盒子內(nèi)的小球個數(shù)相等。原來乙盒比丙盒多幾個球？4、一瓶酒精，第一次倒出，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的，第三次倒出180克，瓶中還剩下60克，原來瓶中有多少克酒精？答案：1、250÷（1－）÷（1－）＝1200（千米） 2、（14＋6）÷（1－）÷（1－）＝42（噸）3、從乙盒內(nèi)拿出8個放入丙盒之前，乙比丙多16個，乙盒中的4個是甲給的，所以，原來乙盒比丙盒多16－4＝12個球。4、第三次倒出180克之前有180＋60＝240克，第二次再倒出瓶中酒精的之前有240÷（1－）＝540克，原來有酒精（540－40）÷（1－）＝750克。課后作業(yè)1、甲倉庫有糧食若干噸，第一次運走了，第二次運走了21噸，還剩15噸，原來甲倉庫有糧食多少噸？2、倉庫里存糧若干噸，第一次運出總數(shù)的，第二次運出余下的又5噸，最后還剩下12