20212022學年北師大版六年級下冊同步重難點講義精講精練第二單元比例知識點一：比例的認識1.只有比值相等的兩個比才能組成比例。2.每個比例都有兩個內項和兩個外項組成，并且兩個外項之積等于兩個內項之積。用字母表示：如果a:b=c:d或ab=3.比例與比的聯系與區(qū)別：比例是一個等式，等號的兩端都是比，且比值相等；比表示兩個數的相除關系知識點二：比例的應用1.根據外項之積等于內項之積的規(guī)律可以求比例中的未知項，就是解比例。2.解比例實際上就是解方程，要做好檢驗知識點三：比例尺1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一個比，是圖上距離與實際距離的比。2.按呈現形式，比例尺可以分為：數值比例尺與線段比例尺。按放縮關系，比例尺可以分為：放大比例尺與縮小比例尺。3.比例尺的應用圖上距離：實際距離=比例尺或圖上距離圖上距離=實際距離×比例尺實際距離=圖上距離÷比例尺4.應用比例尺解決問題時，圖上距離與實際距離的單位要統(tǒng)一。5.應用比例尺畫圖，要先標出比例尺，并根據比例尺計算出圖上距離后再畫圖知識點四：圖形的放大和縮小1.無論是將圖形放大還是縮小，雖然圖形的大小發(fā)生了變化，但是都要保持形狀不變。2.將圖形按一定的比放大或縮小，長度變化，角度不變。3.按一定的比放大或縮小圖形，注意將水平方向與垂直方向的線段按同樣的比放大或縮小=考點1：比例的意義和基本性質【典例分析01】（2021?中陽縣）18的因數中有2個質數，有3個合數，從18的因數中任選4個數組成的一個比例式是1：2＝9：18（答案不唯一）?！舅悸芬龑А?8的因數有：1、2、3、6、9、18共6個；根據質數和合數的定義可知：在這幾個因數中1既不是質數也不是合數，2、3是質數，6、9、18是合數；根據找一個數的因數的方法，可以一對一對的找，最小的是1，最大的是它本身；然后根據比例的意義，從中任選四個數，寫出兩個比值相等的比組成比例即可?！就暾獯稹拷猓?8的因數有：1、2、3、6、9、18；在這幾個因數中2、3是質數，6、9、18是合數，所以18的因數中有2個質數，3個合數；從中選擇1、2、9、18四個數，可組成比例式：1：2＝9：18（答案不唯一）。故答案為：2，3，1：2＝9：18（答案不唯一）?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查質數（素數）、合數的定義以及求一個數的因數的方法和比例的意義。【典例分析02】（2021?秦淮區(qū)）根據圖中三個長方形提供的信息，寫出一個比例4：2＝2：1?！舅悸芬龑А孔钚〉拈L方形把它按2：1擴大可以得到較大的長方形。因此擴大后的長和寬分別是4格和2格，原來的長和寬為2格和1格。因此根據它們的比值是2，組成的比例是：4：2＝2：1。【完整解答】解：根據圖中三個長方形提供的信息，寫出一個比例4：2＝2：1。故答案為：4：2＝2：1?！究疾熳⒁恻c】比例的意義：表示兩個比相等的式子，叫做比例?！咀兪接柧?1】（2021春?漢川市期中）一列長a米的火車勻速行駛，先用21秒通過256米長的隧道（即車頭進入隧道到車尾離開出口），又用16秒的時間通過一個長96米的隧道，根據以上信息，寫一個比例：（a+256）：21＝（a+96）：16。【思路引導】分別求出兩次通過隧道的速度，根據火車勻速行駛即速度相等，寫出比例即可。【完整解答】解：火車通過第一個隧道的速度：（a+256）÷21火車通過第二個隧道的速度：（a+96）÷16因為火車勻速行駛，所以（a+256）÷21＝（a+96）÷16，即（a+256）：21＝（a+96）：16。故答案為：（a+256）：21＝（a+96）：16。（答案不唯一）【考察注意點】此題主要考查了比例的意義，解題的關鍵是確定火車穿過隧道所行駛的路程是車身加隧道的長，再根據路程、速度、時間的關系，進行解答即可?！咀兪接柧?2】（2021?承德）在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。這叫做比例的基本性質。例如：在比例2.4：1.6＝6：4里，2.4×4＝9.6，1.6×6＝9.6，即：2.4×4＝1.6×6。（1）再例如：在比例4：12＝5：15里，4×15＝60，12×5＝60，即：4×15＝12×5。（2）應用比例的基本性質，還可以判斷兩個比能否組成比例。下面的兩個比可以組成比例的在橫線上打“√”，不可以的打“×”。6：3和8：5×；：和：√。（3）根據比例的基本性質，還可以解比例。請你解比例。0.4：x＝1.2：2＝【思路引導】（1）根據比例的基本性質，在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。據此解答。（2）應用比例的基本性質，還可以判斷兩個比能否組成比例。分別計算求出兩內項的積和兩外項的積，如果相等，就說明兩個比能組成比例，否則就不能組成比例。（3）根據解比例的方法，未知內項＝，未知外項＝，據此解答。【完整解答】解：（1）在比例4：12＝5：15里，4×15＝6012×5＝60即4×15＝12×5（2）①因為6×5≠3×8，所以6：3號8：5不能組成比例。②因為＝，所以：和：能組成比例，即：＝：。（3）0.4：x＝1.2：21.2x＝0.4×2x＝x＝＝12x＝2.4×3x＝x＝0.6故答案為：4、5、60，12、5、60，4、15、12、5?！粒蹋弧究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握比例的基本性質、解比例的方法及應用。考點2：解比例【典例分析03】（2021?農安縣模擬）解方程6：0.5＝x：＝2.8：x＝2：2.524：0.3＝x：0.4＝4：9＝x：3.6：＝x：＝5：0.4＝6：xx：＝：＝4：10＝14：x．【思路引導】（1）根據比例的基本性質，先把比例式轉化成方程，再根據等式的性質，在方程兩邊同時除以0.5得解；（2）根據比例的基本性質，先把比例式轉化成方程，再根據等式的性質，在方程兩邊同時除以0.5得解；【完整解答】解：（1）6：0.5＝x：0.5x＝6×0.5x＝40.5x÷0.5＝4÷0.5x＝8（2）＝4X＝5×14X＝54X÷4＝5÷4X＝1.25（3）2.8：x＝2：2.52x＝2.8×2.52x＝72x÷2＝7÷2x＝3.5（4）24：0.3＝x：0.40.3x＝24×0.40.3x＝9.60.3x÷0.3＝9.6÷0.3x＝32（5）＝7X＝4×3.57X＝147X÷7＝14÷7X＝2（6）4：9＝x：3.69x＝4×3.69x＝14.49x÷9＝14.4÷9x＝1.6（7）：＝x：x＝×x＝x＝x＝×x＝（8）＝27X＝18×927X＝16227X÷27＝162÷27X＝6（9）5：0.4＝6：x5x＝0.4×65x＝2.45x÷5＝2.4÷5x＝0.48（10）x：＝：x＝×x＝x÷＝x＝×x＝（11）＝5x＝12×45x＝485x÷5＝48÷5x＝9.6（12）4：10＝14：x4x＝10×144x＝1404x÷4＝140÷4x＝35【考察注意點】此題主要考查學生根據比例的性質解比例和根據等式的性質解方程的能力，注意等號對齊．【典例分析04】（2020?懷集縣）甲、乙兩車同時從相距390千米的兩地相對開出，3小時相遇。已知甲、乙兩車的速度比是6：7，甲、乙兩車的速度各是多少？【思路引導】先根據速度＝路程÷時間，求出兩車的速度和，再依據按比例分配方法即可解答?！就暾獯稹拷猓?90÷3＝130（千米）6+7＝13130×＝60（千米）130×＝70（千米）答：甲車的速度是60千米/小時，乙車的速度是70千米/小時?！究疾熳⒁恻c】求出兩車的速度和，是解答本題的關鍵，考查的知識點是按比例分配方法解決問題?！咀兪接柧?1】（2019?鄭州模擬）求未知數x．＝0.8：1.21﹣x＝2.5：x＝6：x﹣35%x＝5.2．【思路引導】（1）根據比例的基本性質，把原式化為0.8x＝3.6×1.2，然后等式的兩邊同時除以0.8；（2）根據等式的性質，等式兩邊同時加上x，把原式化為+x＝1，等式兩邊同時減去，然后等式兩邊同時除以；（3）根據比例的基本性質，把原式化為，然后等式的兩邊同時除以6；（4）等式兩邊同時x﹣35%x＝0.65x，根據等式的性質，等式兩邊同時除以0.65．【完整解答】解：（1）＝0.8：1.20.8x＝3.6×1.20.8x÷0.8＝3.6×1.2÷0.8x＝5.4；（2）1﹣x＝1﹣x+x＝+x+x＝1+x﹣＝1﹣x＝x÷＝÷x＝；（3）2.5：x＝6：6x＝2.5×6x÷6＝2.5×÷6x＝；（4）x﹣35%x＝5.20.65x＝5.20.65x÷0.65＝5.2÷0.65x＝8．【考察注意點】解方程是利用等式的基本性質，即等式的兩邊同時乘或除以同一個數（0除外），等式的兩邊仍然相等；等式的兩邊同時加或減同一個數，等式的兩邊仍然相等；解比例是利用比例的基本性質，即比例的兩個內項的積等于兩個外項的積．【變式訓練22】（2019?海珠區(qū)模擬）細心解比例：x＝3：16＝0.7：512.5%：0.25＝150：x＝【思路引導】（1）根據比例的基本性質，原式化為：3x＝×16，先算×16＝10，再根據等式的基本性質，兩邊同時除以3即可；（2）根據比例的基本性質，原式化為：0.7x＝42×5，先算42×5＝210，再根據等式的基本性質，兩邊同時除以0.7即可；（3）根據比例的基本性質，原式化為：12.5%x＝0.25×150，先算0.25×150＝37.5，再根據等式的基本性質，兩邊同時除以0.125即可；（4）根據比例的基本性質，原式化為：40x＝25×5，先算25×5＝125，再根據等式的基本性質，兩邊同時除以40即可．【完整解答】解：（1）：x＝3：163x＝×163x＝103x÷3＝10÷3x＝；（2）＝0.7：50.7x＝42×50.7x＝2100.7x÷0.7＝210÷0.7x＝300；（3）12.5%：0.25＝150：x12.5%x＝0.25×1500.125x＝37.50.125x÷0.125＝37.5÷0.125x＝300；（4）＝40x＝25×540x＝12540x÷40＝125÷40x＝3.125．【考察注意點】考查了根據比例和等式的基本性質，解方程的能力，注意等號對齊．考點3：比例的應用【典例分析05】（2021?昭通）一種糖水，糖與水的比是1：4，那么含糖率是（）A．20% B．25% C．80%【思路引導】含糖率是指糖的質量占糖水總質量的百分比；糖與水的比是1：4，設糖的質量是1，那么水的質量就是4，則糖水的總質量是5，然后用糖的質量除以糖水的總質量乘100%即可?！就暾獯稹拷猓涸O糖的質量是1，那么水的質量就是4，含糖率就是：1÷（1+4）×100%＝1÷5×100%＝20%答：含糖率是20%。故選：A。【考察注意點】本題先根據比例關系設出數據，再根據含糖率的計算方法求解。【典例分析06】（2020?夏津縣）農場收割小麥，前3天收割了165公頃．照這樣計算，8天可以收割多少公頃？（用比例的知識解答）【思路引導】根據每天收割小麥的公頃數一定，即工作效率一定，可以知道工作時間和工作量成正比例，由此列式解答即可．【完整解答】解：設8天可以收割x公頃，165：3＝x：8，3x＝165×8，x＝440，答：8天可以收割440公頃．【考察注意點】解答此題的關鍵是根據題意，先判斷哪兩種相關聯量成何比例，然后列式解答即可．【變式訓練31】（2020?新蔡縣）我國自行研制的“神舟”六號載人飛船于2005年10月12日9時順利發(fā)射成功，它在太空繞地球轉了77圈．已知繞地球5圈大約需要7.5小時，那么神舟“六號”載人飛船在太空大約運行了多長時間？（用比例知識解答）．【思路引導】根據題意知道，速度一定，路程與時間成正比例，由此列出比例解決問題．【完整解答】解：設神舟“六號”載人飛船在太空大約運行了x小時的時間，7.5：5＝x：77，5x＝7.5×77，x＝，x＝115.5；答：神舟“六號”載人飛船在太空大約運行了115.5小時的時間．【考察注意點】解答此題的關鍵是，根據路程、速度與時間的關系，判斷路程與時間成正比例，由此列出比例解決問題．【變式訓練32】（2019春?皇姑區(qū)期末）淘氣今年8歲，他的祖父今年64歲，幾年后淘氣的年齡是他祖父年齡的？【用比例解】【思路引導】淘氣長一歲，他祖父也長一歲，設x年后淘氣的年齡是他祖父年齡的，由題意得：＝，解此比例即可．【完整解答】解：設x年后淘氣的年齡是他祖父年齡的，＝（8+x）×5＝64+x40+5x＝64+x40+4x＝644x＝64﹣404x＝24x＝6．答：6年后淘氣的年齡是他祖父年齡的．【考察注意點】此題考查的目的是理解比例的意義，掌握解比例的方法及應用．考點4：圖形的放大與縮小【典例分析07】（2021秋?下花園區(qū)校級期末）下面說法中，正確的有（）①把一個長方形按3：1的比放大，放大前后的面積比是9：1；②一個圓的半徑增加10%，則它的面積增加21%；③濃度為10%的糖水中，加入10克糖和100克水，濃度降低了；④圓柱的側面展開得到一個正方形，則它的高是底面直徑的3.14倍。A．①② B．①②③ C．②③④ D．②③【思路引導】①一個長方形按3：1放大，即將這個長方形的長和寬同時擴大到原來的3倍，那么面積就擴大到原來的9倍，放大前后面積比應該是1：9，故原題說法錯誤；②舉例說明，假設原來的半徑為1，圓的面積就用12π表示，半徑增加10%，半徑變成1×（1+10%）＝1.1，那么增加后圓的面積是1.12π，面積增加了（1.12π﹣12π）÷12π＝（1.21﹣1）÷1×100%＝21%，原題說法正確；③假設原來有10克糖，糖水100克，加入后糖變成10+10＝20（克），糖水變成100+10+100＝210克，根據“含糖率＝糖÷糖水×100%”，列出算式就是（10+10）÷（100+10+100）×100%≈9.5%，濃度降低了，因此原題說法正確；④圓柱的側面展開如果是正方形，說明底面周長和高相等，都用公式πd來表示，因此它的高是底面直徑的π倍，π是一個無限的不循環(huán)小數，不能說是3.14倍，因此原題說法錯誤。【完整解答】解：①放大前后面積比應該是1：9，故原題說法錯誤；②當r＝1，S＝12π，當r＝1×（1+10%）＝1.1時，S＝（1.12π﹣12π）÷12π＝（1.21﹣1）÷1×100%＝21%原題說法正確；③（10+10）÷（100+10+100）×100%＝20÷210×100%≈9.5%9.5%＜10%，濃度降低了，故原題說法正確；④底面周長＝圓柱的高＝πd高是底面直徑的πd÷d＝π，π是一個無限的不循環(huán)小數，不能說是3.14倍，因此原題說法錯誤。故選：D?！究疾熳⒁恻c】本題考查了圖形的放大和縮小、圓和圓柱的知識，以及含糖率的問題?！镜淅治?8】（2021?寧波）右邊是一個零件的設計圖，每個小格都是邊長為1cm的正方形，這個零件的體積是25.12cm3。如果把設計圖按2：1放大，那么這個零件的體積就是200.96cm3?！舅悸芬龑А扛鶕}意可知，這是一個圓錐，底面半徑是2厘米，高是6厘米，求這個圓錐的體積，根據圓錐的體積＝底面積×高×即可解答；如果把設計圖按2：1放大，則這個圓錐的底面半徑和高都分別擴大2倍，即底面半徑是2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米），再根據圓錐的體積公式，即可求出放大后的體積?！就暾獯稹拷猓?.14×2×2×6×＝12.56×2＝25.12（立方厘米）2×2＝4（厘米），高是6×2＝12（厘米）3.14×4×4×12×＝3.14×16×4＝3.14×64＝200.96（立方厘米）答：這個零件的體積是25.12cm3。如果把設計圖按2：1放大，那么這個零件的體積就是200.96cm3。故答案為：25.12，200.96?！究疾熳⒁恻c】本題是考查圖形的放大與縮小和圓柱的體積計算的應用。【變式訓練41】（2021春?惠城區(qū)月考）（1）將下面的長方形縮小，使縮小后的圖形與原圖形對應線段長的比為1：3。（2）將下面的三角形放大，使放大后的圖形與原圖形對應線段長的比為2：1?！舅悸芬龑А浚?）原來長方形長9格、寬3格中，按1：3放大后，則縮小后的長方形長和寬分別是原來長方形長和寬的，9×＝3（格），3×＝1（格），所以畫一個長3格、寬1格的長方形即可。（2）原來直角三角形的兩條直角邊分別是2格和3格，按2：1放大后，則放大后的三角形的兩條直角邊別是原來直角三角形的兩條直角邊的2倍，2×2＝4（格），3×2＝6（格），所以畫一個兩條直角邊分別是4格和6格的直角三角形即可?！就暾獯稹拷猓海?）作圖如下：（2）作圖如下：?！究疾熳⒁恻c】本題考查圖形的放大和縮小，圖形的放大和縮小不改變圖形的形狀，只改變圖形的大小?！咀兪接柧?2】（2021春?蓬江區(qū)期中）把△按2：1放大，按1：2縮?。謩e畫在圖中．【思路引導】（1）三角形的底和高分別是2和2，按照2：1放大后，三角形的底和高分別是4和4，據此即可畫圖．（2）平行四邊形的底與高分別是4.6和4，按照1：2縮小后，平行四邊形的底與高分別是2.3和2，據此即可畫圖．【完整解答】解：根據題干分析畫圖如下：【考察注意點】此題考查利用放大與縮小進行圖形變換的方法．考點5：比例尺【典例分析09】（2021春?定南縣期中）比例尺是1：5000000表示地圖上1cm距離相當于實際距離（）A．50m B．50km C．5km【思路引導】依據數值比例尺的意義，即圖上距離1厘米表示實際距離5000000厘米，即可進行解答．【完整解答】解：5000000厘米＝50千米，所以比例尺是1：5000000表示地圖上1cm距離相當于實際距離50千米；故選：B．【考察注意點】解答此題的主要依據是：數值比例尺的意義．【典例分析10】（2021?坡頭區(qū)模擬）在一張比例尺是1：4500000的地圖上，量得兩城的距離是6厘米，兩城之間的實際距離是270千米．【思路引導】根據比例尺的含義解答，比例尺＝圖上距離：實際距離，實際距離＝圖上距離÷比例尺．【完整解答】解：6÷＝27000000（厘米）＝270（千米）答：兩城之間的實際距離是270千米．故答案為：270千米．【考察注意點】此題有計算公式可用，根據圖上距離、比例尺和實際距離三者的關系，進行分析解答即可得出結論．【變式訓練51】（2021春?平桂區(qū)期中）填表．圖上距離實際距離比例尺3厘米450米14.2厘米11：200001350千米1：7000000【思路引導】根據圖上距離：實際距離＝比例尺，實際距離＝圖上距離÷比例尺，圖上距離＝實際距離×比例尺，據此解答．【完整解答】解：450米＝45000厘米，3：45000＝1：15000；4.2÷＝84000（厘米），84000厘米＝840米；350千米＝35000000厘米，35000000×＝5（厘米）；填表如下：圖上距離實際距離比例尺3厘米450米1：150004.2厘米840米1：200005厘米350千米1：7000000故答案為：1：15000，840米，5厘米．【考察注意點】本題主要考查了比例尺、圖上距離與實際距離的關系．【變式訓練52】（2019?金水區(qū)）如圖是小麗以學校為觀測點，畫出的一張平面圖．（1）把這幅圖的線段比例尺改成數值比例尺是1：20000．（2）生源大酒店在學校北偏西30°方向400米處．汽車站在學校南偏西50°方向600米處．（3）中醫(yī)院在郵電局東偏北60°方向400米處，請在上圖中標出它的位置．（4）小麗以每分鐘50米的速度步行，從汽車站經過學校、郵局再到中醫(yī)院大約需要24分鐘．【思路引導】（1）圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺＝”即可將線段比例尺改為數值比例尺．（2）由圖意可知：生源大酒店在學校北偏西30°處，汽車站在學校南偏西50°方向，再據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”即可求得學校到生源大酒店的距離，以及學校到汽車站的距離．（3）依據“圖上距離＝實際距離×比例尺”即可求得中醫(yī)院到郵電局的圖上距離，再據方向和角度，即可標出中醫(yī)院的位置．（4）先求出從汽車站經過學校、郵局再到中醫(yī)院的實際距離，再據“路程÷速度＝時間”即可求得小麗需要的時間．【完整解答】解：（1）因為200米＝20000厘米，則1厘米：20000厘米＝1：20000；（2）生源大酒店在學校在學校北偏西30°處，汽車站在學校南偏西50°方向，量得學校到生源大酒店的距離是2厘米，則學校到生源大酒店的實際距離是：2÷＝40000（厘米）＝400（米）；量得學校到汽車站的距離是3厘米，則學校到汽車站的實際距離是：3÷＝60000（厘米）＝600（米）；（3）因為400米＝40000厘米，則中醫(yī)院到郵電局的圖上距離是：40000×＝2（厘米）；如圖所示，即為中醫(yī)院的位置：；（4）量得學校到郵電局的圖上距離為1厘米，則學校到郵電局的實際距離為：1÷＝20000（厘米）＝200（米）；所以小麗需要的時間為：（600+200+400）÷50，＝1200÷50，＝24（分鐘）；答：小麗以每分鐘50米的速度步行，從汽車站經過學校、郵局再到中醫(yī)院大約需要24分鐘．故答案為：（1）1：20000；（2）北、西30、400、南、西50、600；（4）24．【考察注意點】（1）依據比例尺的意義，即可求得這幅圖的比例尺．（2）看清角度和方向，計算出圖上距離，即可求解．（3）先求出圖上距離，再依據角度和方向，即可標出中醫(yī)院的位置．（4）此題主要考查基本數量關系“路程÷速度＝時間”．考點6：圖上距離與實際距離的換算（比例尺的應用）【典例分析11】（2022?南沙區(qū)校級自主招生）在一幅比例尺是1：5000的圖紙上，量得一塊長方形菜地的長是4厘米，寬是1.2厘米．這塊菜地的實際面積是多少平方米？【思路引導】圖上距離和比例尺已知，依據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”即可求出長方形菜地的長和寬的實際長度，進而利用長方形的面積S＝ab，即可求出菜地的實際面積．【完整解答】解：4÷＝20000（厘米）＝200（米）1.2÷＝6000（厘米）＝60（米）；200×60＝12000（平方米）；答：這塊菜地的實際面積是12000平方米．【考察注意點】此題主要考查長方形的面積的計算方法以及圖上距離、實際距離和比例尺的關系，解答時要注意單位的換算．【典例分析12】（2021春?江都區(qū)期中）在一幅比例尺是1：2000的地圖上，量得一個正方形花圃的邊長是6厘米，實際面積是14400平方米?！舅悸芬龑А渴紫雀鶕嶋H距離＝圖上距離÷比例尺，求出正方形花圃的實際邊長，再根據正方形的面積公式：S＝a2，把數據代入公式解答。【完整解答】解：6÷＝6×2000＝12000（厘米）12000厘米＝120米120×120＝14400（平方米）答：實際面積是14400平方米。故答案為：14400。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握比例尺的意義及應用，正方形面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。【變式訓練61】（2021?鹽都區(qū)模擬）在比例尺是的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是8厘米，問甲、乙兩地的實際距離是多少？如果一輛汽車以每小時80千米的速度從甲地開出，幾小時到達乙地？【思路引導】觀察給出的線段比例尺，知道此地圖中的1厘米表示的實際距離是50千米，由此根據比例尺和圖上距離求實際距離，求出實際距離，再根據路程÷速度＝時間，列式解答．【完整解答】解：50×8＝400（千米），400÷80＝5（小時），答：甲、乙兩地的實際距離是400千米，如果一輛汽車以每小時80千米的速度從甲地開出，5小時到達乙地．【考察注意點】此題主要考查比例尺的意義及已知比例尺和圖上距離求實際距離．【變式訓練62】（2021?珠海模擬）算一算，畫一畫．（1）西海和松浪亭之間的實際距離是多少米？（2）兒童娛樂中心在松浪亭的西面2000m處．請在圖中用“△”表示兒童娛樂中心的位置．【思路引導】（1）先量出西海和松浪亭之間的圖上距離，然后根據：圖上距離÷比例尺＝實際距離，解答即可；（2）先根據：實際距離×比例尺＝圖上距離，先求出兒童娛樂中心在松浪亭的西面的圖上距離，然后畫出即可．【完整解答】解：（1）西海和松浪亭之間的圖上距離是3.5厘米，3.5÷＝280000（厘米），280000厘米＝2800米；（2）2000米＝200000厘米，200000×＝2.5（厘米），如圖：【考察注意點】此題有計算公式可用，根據圖上距離、比例尺和實際距離三者的關系，進行分析解答即可得出結論．考點7：比例尺應用題【典例分析13】（2021?蘇州）在比例尺是1：3000000的地圖上，量得A、B兩地的距離是5厘米，A、B兩地相距150千米。一輛轎車和一輛客車同時從A地出發(fā)，轎車每小時行駛60千米，則客車每小時行45千米，當轎車到達B地時，兩車相距37.5千米?！舅悸芬龑А肯惹髢傻氐膶嶋H距離是多少千米，根據“實際距離＝圖上距離÷比例尺”代入數值求出實際距離，然后根據時間＝路程÷速度，求出轎車和客車行駛的時間，進而求出兩車相距的路程?！就暾獯稹拷猓?÷＝15000000（厘米）15000000厘米＝150千米150÷60＝2.5（小時）150﹣2.5×45＝150﹣112.5＝37.5（千米）答：兩車相距37.5千米。故答案為：150、37.5?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查比例尺、圖上距離、實際距離三者的關系式：比例尺＝圖上距離：實際距離，靈活變形列式解決問題?！镜淅治?4】（2021?淮安區(qū)）2021年4月8日揚州世界園藝博覽會在儀征棗林灣盛大開幕。小英從一幅比例尺為1：2000000的地圖上量得淮安到儀征世博園的距離為9厘米，小英一家早上8時以100千米/小時的速度開車從淮安駛往世博園，預計上午幾時幾分到達世博園？【思路引導】圖上距離和比例尺已知，依據“圖上距離÷比例尺＝實際距離”即可求出淮安到儀征世博園的實際距離；再根據時間＝路程÷速度，即可求得。【完整解答】解：9÷＝18000000（厘米）18000000厘米＝180千米180÷100＝1.8（時）1.8×60＝108（分）108分＝1小時48分8時+1小時48分＝9時48分答：預計上午9時48分到達世博園?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查比例尺的定義，以及速度、時間、路程三者之間的關系?！咀兪接柧?1】（2021春?臨漳縣期中）（1）先分別量出汽車站到廣場、少年宮、超市的圖上距離，再計算出實際距離．（2）實驗小學在汽車站的北偏東45°方向600m處．請在圖中標出實驗小學的位置．【思路引導】（1）先測量出汽車站到廣場、少年宮、超市的圖上距離，再根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，據此解答．（2）根據利用方向和距離表示物體位置的方法，先確定方向，再確定距離．根據圖上距離＝實際距離×比例尺，求出圖上距離，據此作圖即可．【完整解答】解：（1）通過測量可知：汽車站到廣場的圖上距離是2厘米、汽車站到少年宮的圖上距離是2.5厘米、汽車站到超市的圖上距離是1.8厘米，2＝2×20000＝40000（厘米）40000厘米＝400米2.5＝2.5×20000＝50000（厘米）50000厘米＝500米3＝3×20000＝60000（厘米）60000厘米＝600米答：汽車站道廣場的實際距離是400米、到少年宮的實際距離是500米、到超市的實際距離是600米．（2）600米＝6000厘米60000×＝3（厘米）作圖如下：【考察注意點】此題考查的是理解掌握比例尺的意義及應用，以及利用方向和距離表示物體位置的方法及應用．【變式訓練72】（2021?光明區(qū)）在比例尺是1：5000000的地圖上，量得甲地到乙地的圖上距離是9厘米。李老師一家上午8：00駕車從甲地前往乙地小車平均每小時行駛100千米。（1）上午11：00時小車行駛至哪里？請在圖中用“”標出，并簡要說明理由。（2）小車每行駛100千米消耗汽油8升，出發(fā)時油箱里有40升汽油，中途還需要再加油嗎？（寫出計算過程）（3）上午11：00后，由于路上車流量增加，小車的平均速度下降了10%，那么李老師到達乙地的最早時間是幾點幾分？【思路引導】（1）李老師8：00～11：00行駛的路程＝速度100千米/時×3小時時間，根據“圖上距離：實際距離＝比例尺”計算出圖上距離，在圖中標出來；（2）每升能行駛的路程是100÷8＝12.5（千米），40升能行駛的路程是12.5×40＝500（千米），根據公式“圖上距離：實際距離＝比例尺”計算出甲、乙兩地的路程，與500千米比較即可；（3）剩下的路程＝全程﹣已行的路程，降速后的速度＝原速度×（1﹣10%），用剩下的路程÷降速后的速度＝剩下的路程需要的時間，用這個時間加上11：00，就是李老師到達乙地的最早時間?！就暾獯稹拷猓海?）8：00～11：00是3小時，100×3＝300（千米）300××100000＝6（厘米）答：李老師從甲地出發(fā)，行駛了300千米，畫在圖上是離甲地6厘米處。作圖如下：（2）100÷8×40＝12.5×40＝500（千米）9÷÷100000＝450（千米）500＞450答：中途不用加油。（3）（450﹣300）÷[100×（1﹣10%）]＝150÷90＝1（時）1時＝1時40分11時再過1小時40分是12時40分；答：李老師到達乙地的最早時間是12時40分?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查根據“圖上距離：實際距離＝比例尺”，計算圖上距離或實際距離，結合行駛問題基本公式“路程＝速度×時間”解答問題?；A練一．選擇題1．根據2×3＝1×6不能寫出的比例是（）A． B． C． D．【思路引導】根據題意2×3＝1×6可以看作是比例的外項積或內項積，根據比例的基本性質看看選項中哪組比例可以改寫成2×3＝1×6的形式，據此解答?！就暾獯稹拷猓海剑梢愿臑?×3＝1×6，符合題意；＝，可以改為2×3＝1×6，符合題意；＝，因為3×1≠2×6，因此不符合題意；＝，可以改為2×3＝1×6，符合題意。故選：C。2．（2022春?陜州區(qū)期中）一個長4厘米，寬3厘米的長方形，按3：1的比放大，得到的長方形的面積是（）平方厘米。A．12 B．36 C．72 D．108【思路引導】一個長4厘米、寬3厘米的長方形按3：1放大，即將這個長方形的長和寬同時擴大3倍，據長方形的面積公式可知得到的圖形的面積是：（4×3）×（3×3）＝108（平方厘米）?！就暾獯稹拷猓海?×3）×（3×3）＝108（平方厘米）；故選：D。3．（2022春?內鄉(xiāng)縣期中）一個零件實際長1.8毫米，在一張圖紙上量得它的長是7.2厘米，這幅圖紙的比例尺是（）A．4：1 B．1：4 C．1：40 D．40：1【思路引導】圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺＝圖上距離：實際距離”即可求出這張圖紙的比例尺．【完整解答】解：因為1.8毫米＝0.18厘米則7.2厘米：0.18厘米＝40：1答：這幅圖紙的比例尺是40：1．故選：D．二．填空題4．（2022春?京山市期中）一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、9cm，如果按1：3縮小，兩條直角邊分別變?yōu)?cm、3cm；如果按6：1放大，兩條直角邊分別變?yōu)?6cm、54cm【思路引導】圖形放大或縮小的倍數是指對應邊放大或縮小的倍數，圖形放大或縮小后形狀不變，直角三角形兩直角邊即可確定其形狀．一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、9cm，把它變?yōu)閮蓷l直角邊分別變?yōu)?cm、3cm，顯然是縮小了，縮小的倍數是3÷2＝3，9÷3＝3，是原圖形按1：3縮小的；一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、9cm，把它變?yōu)閮蓷l直角邊分別變?yōu)?6cm、54cm，顯然是放大了，放大的倍數是36÷6＝6，54÷9＝6，是原圖形按6：1放大的．【完整解答】解：3÷2＝3，9÷3＝3一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、9cm，如果按1：3縮??；36÷6＝6，54÷9＝6一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、9cm，如果按6：1放大，兩條直角邊分別變?yōu)?6cm、54cm．故答案為：1，3；6，1．5．（2022春?魯山縣月考）在比例35：10＝21：6中，如果將第一個比的后項增加30，第二個比的后項應該加上18才能使比例成立．【思路引導】在比例35：10＝21：6中，若第一個比的后項增加30，由10變成40，這樣兩內項的積就成了40×21＝840，根據比例的性質，兩外項的積也得是840，再用840除以前一個比的前項35即得后一個比的后項，進而求出第二個比的后項應加上幾即可．【完整解答】解：比例35：10＝21：6中，若第一個比的后項增加30，由10變成40，這樣兩內項的積就成了40×21＝840，第二個比的后項應是：840÷35＝24，第二個比的后項應加上：24﹣6＝18；故答案為：18．6．（2021春?含山縣期末）填一填，畫一畫。（1）這幅圖的比例尺是1：8000。（2）市政府在電視塔北偏東50°方向320米處。少年宮在電視塔南偏西35°方向240米處。（3）圖書館在電視塔北偏西30°方向320米處。請在圖中表示出它的位置?！舅悸芬龑А浚?）根據比例尺的意義，即比例尺是圖上距離與實際距離的比；（2）根據比例尺和圖上距離，計算各點間的實際距離，結合圖上確定方向的方法確定各點位置；（3）根據實際距離和比例尺，計算圖書館與電視塔的圖上距離，結合圖上確定方向的方法確定圖書館的位置即可?！就暾獯稹拷猓海?）80米＝8000厘米1厘米：8000厘米＝1：8000答：幅圖的比例尺是1：8000。（2）市政府與電視塔的圖上距離為4厘米4÷＝32000（厘米）32000厘米＝320米少年宮與電視塔的圖上距離為3厘米3÷＝24000（厘米）24000厘米＝240米答：市政府在電視塔北偏東50°方向320米處。少年宮在電視塔南偏西35°方向240米處。（3）320米＝32000厘米32000×＝4（厘米）圖書館在電視塔北偏西30°方向，如下圖所示：故答案為：1：8000；北，東50，320，南，西35，240。三．判斷題7．（2021?中陽縣）邊長3米的正方形按2：1的比放大后，它的周長與原來的周長的比是2：1．√。（判斷對錯）【思路引導】根據正方形的周長公式：C＝4a，可知正方形的周長比等于邊長比，據此解答?！就暾獯稹拷猓焊鶕叫蔚闹荛L公式：C＝4a，可知正方形的周長比等于邊長比，所以放大后的周長比等于邊長比。原題說法正確。故答案為：√。8．（2021春?隆回縣期中）一個半徑是3厘米的圓，按3：1的比放大，現在圓的面積是原來的9倍?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】將圓的半徑按3：1放大后，圓的直徑和周長都會擴大到原來的3倍，面積就會擴大半徑的平方倍?！就暾獯稹拷猓?2＝9一個半徑是3厘米的圓，按3：1的比放大，現在圓的面積是原來的9倍。原題說法正確。故答案為：√。9．（2021?渭南）放大后的長方形與原長方形對應線段的比是2：1，放大后的長方形面積與原長方形的面積比也是2：1?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】長方形的長和寬都擴大到原來的2倍，面積擴大到原來的（2×2）倍；據此判斷即可?！就暾獯稹拷猓?×2＝4答：放大后的長方形與原長方形對應線段的比是2：1，放大后的長方形面積與原長方形的面積比也是4：1。故答案為：×。四．計算題10．（2022春?京山市期中）解比例：x＝：20：8＝x：12＝＝【思路引導】（1）根據比例的基本性質，把比例化為方程，兩邊再同時乘；（2）根據比例的基本性質，把比例化為方程，兩邊再同時除以8；（3）根據比例的基本性質，把比例化為方程，兩邊再同時除以3.6；（4）根據比例的基本性質，把比例化為方程，兩邊再同時除以2?！就暾獯稹拷猓海?）：x＝：x＝2x＝2×x＝（2）20：8＝x：128x＝2408x÷8＝240÷8x＝30（3）＝3.6x＝5.43.6x÷3.6＝5.4÷3.6x＝1.5（4）＝2x＝2.12x÷2＝2.1÷2x＝1.05五．應用題11．（2022春?岷縣月考）在一幅比例尺是1：50000的地圖上，測得商場到李阿姨家的距離是8厘米，若在1：200000的地圖上繪制該圖，那么商場到李阿姨家的距離是多少厘米？【思路引導】根據：“實際距離＝圖上距離÷比例尺”，先求出商場到李阿姨家的實際距離，再根據：“圖上距離＝實際距離×比例尺”求出商場到李阿姨家的圖上距離?！就暾獯稹拷猓?÷＝400000（厘米）400000×＝2（厘米）答：商場到李阿姨家的距離是2厘米。12．（2021?永新縣）在比例尺是1：5的圖紙上，量得一個零件的長度是8mm，這個零件的實際長度是多少cm？如果把這個零件畫在另一張圖紙上，長度是1cm，那么這張圖紙的比例尺是多少？【思路引導】根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，代入數據求出實際距離，再根據比例尺＝圖上距離÷實際距離，代入數據解答即可求出比例尺?！就暾獯稹拷猓?÷＝40（mm）40mm＝4cm1cm：4cm＝1：4答：這個零件的實際長度是4cm，這張圖紙的比例尺是1：4。13．（2021春?曹縣期中）在比例尺為1：4000000的地圖上，量得AB兩地的圖上距離是6cm。一輛汽車從上午7時從A地以80千米/時的速度開往B地，到達B地的時間是幾時？【思路引導】根據實際距離＝圖上距離÷比例尺，先求出A地到B地的實際距離，再根據：路程÷速度＝時間，計算解答即可?！就暾獯稹拷猓?÷＝24000000（cm）24000000cm＝240km240÷80＝3（小時）7時+3時＝10時答：到達B地的時間是10時。14．（2021春?未央區(qū)月考）按比例縮放。（1）將三角形A按3：1放大，得到三角形B；（2）再將三角形B按1：2縮小，得到三角形C。【思路引導】（1）將三角形A按3：1放大，即把兩條直角邊分別擴大到原來的3倍。（2）將三角形B按1：2縮小，即把兩條直角邊分別縮小到原來的?！就暾獯稹拷猓?5．（2021春?江都區(qū)期中）如圖的方格圖中每格都是邊長1厘米的正方形。（1）圖中的1號三角形按1：3縮小后得到2號三角形。（2）把2號三角形繞點A順時針旋轉90°；點A在點B的北偏西45°方向。（3）把長方形向下平移4格；點C的位置可以用數對（9，3）表示；如果這幅圖的比例尺是1：2500，則線段CD的實際距離是150米?！舅悸芬龑А浚?）通過看圖觀察發(fā)現，三角形1的高原來有6厘米，縮小變成三角形2后變成2厘米，6÷2＝3，說明縮小了原來的，因此是按1：3縮小的；（2）如圖所示，找準旋轉點和方向；以B為觀測點，連接A和B會發(fā)現A在B的北偏西45度方向；（3）把長方形往下平移4格就是把各點往下平移四格，圖形的大小不變，那么點C的位置列不變，行減少4就是（9，3）；求CD的圖上距離為6厘米，用圖上距離÷比例尺＝實際距離，換算單位即可?！就暾獯稹拷猓海?）圖中的1號三角形按1：3縮小后得到2號三角形。（2）如圖所示：點A在點B的北偏西45°方向上。（3）把長方形向下平移4格；點C的位置列9不變，行：7﹣4＝3，因此可以用數對（9，3）表示；6÷＝15000（厘米），15000厘米＝150米。提高練一．選擇題1．（2021春?定南縣期中）比例尺是1：5000000表示地圖上1cm距離相當于實際距離（）A．50m B．50km C．5km【思路引導】依據數值比例尺的意義，即圖上距離1厘米表示實際距離5000000厘米，即可進行解答．【完整解答】解：5000000厘米＝50千米，所以比例尺是1：5000000表示地圖上1cm距離相當于實際距離50千米；故選：B．2．（2020?大竹縣）用a、2、6和12這四個數組成比例，a不可能是（）A．1 B．3 C．4 D．36【思路引導】（1）根據用a、2、6和12這四個數組成比例”，可知如果把2和6當作這個比例的兩個外項（或內項），那么a和12就作為這個比例的兩個內項（或外項）；（2）如果把2和12當作這個比例的兩個外項（或內項），那么a和6就作為這個比例的兩個內項（或外項）；（3）如果把6和12當作這個比例的兩個外項（或內項），那么a和2就作為這個比例的兩個內項（或外項）；進而根據比例的性質“兩內項的積等于兩外項的積，計算后即可確定出a不可能是哪一個數．【完整解答】解：（1）把2和6當作這個比例的兩個外項，那么a和12就作為這個比例的兩個內項a＝2×6÷12＝1（2）把2和12當作這個比例的兩個外項，那么a和6就作為這個比例的兩個內項a＝2×12÷6＝4（3）把6和12當作這個比例的兩個外項，那么a和2就作為這個比例的兩個內項a＝6×12÷2＝36所以用a、2、6和12這四個數組成比例，a可能是1、4或36，不可能是3。故選：B。3．（2020?固陽縣）把一個長是5厘米，寬是2厘米的長方形按3：1放大在圖紙上后，得到的圖形的面積是（）平方厘米.A．90 B．42 C．14 D．10【思路引導】長方形3：1放大，即其長和寬變成原來的3倍，求出長和寬，就能求其面積?！就暾獯稹拷猓洪L是5×3＝15（厘米）；寬是2×3＝6（厘米）；面積是15×6＝90（平方厘米），答：得到的圖形的面積是90平方厘米。故選：A。二．填空題4．（2021春?晉安區(qū)期中）一個直角三角形，三條邊的長度分別為10cm、8cm、6cm，把這個三角形按2：1放大后的面積是96cm2?！舅悸芬龑А恐苯侨切沃?，斜邊最長，所以較短的兩條邊是這個三角形的兩條直角邊，把這兩條直角邊按照2：1放大后，直角邊的長度就是原來的2倍，由此求出放大后兩條直角邊的長度，也就是三角形底和高的長度，再根據三角形的面積＝底×高÷2求解?！就暾獯稹拷猓?×2＝16（厘米）6×2＝12（厘米）16×12÷2＝192÷2＝96（平方厘米）答：把這個三角形按2：1放大后的面積是96cm2。故答案為：96。5．（2021春?漢川市期中）一列長a米的火車勻速行駛，先用21秒通過256米長的隧道（即車頭進入隧道到車尾離開出口），又用16秒的時間通過一個長96米的隧道，根據以上信息，寫一個比例：（a+256）：21＝（a+96）：16?！舅悸芬龑А糠謩e求出兩次通過隧道的速度，根據火車勻速行駛即速度相等，寫出比例即可?！就暾獯稹拷猓夯疖囃ㄟ^第一個隧道的速度：（a+256）÷21火車通過第二個隧道的速度：（a+96）÷16因為火車勻速行駛，所以（a+256）÷21＝（a+96）÷16，即（a+256）：21＝（a+96）：16。故答案為：（a+256）：21＝（a+96）：16。（答案不唯一）6．（2021春?巨野縣期中）已知一個比例的兩個內項互為倒數，其中一個外項是0.4，另一個外項是．【思路引導】根據比例的性質“兩外項的積等于兩內項的積”，先確定出兩個外項也互為倒數，乘積是1，進而根據倒數的意義求得另一個外項的數值．【完整解答】解：在比例里，兩個內項互為倒數，可知兩個內項的乘積是1根據比例的性質，可知兩個外項的乘積也是1，其中一個外項是0.4，另一個外項為1÷0.4＝．故答案為：．7．（2021?玉門市）若在比例尺是的平面圖上，量得本班教室的長是4.5厘米，本班教室的實際長是9米．【思路引導】要求本班教室的實際長是多少米，根據“圖上距離÷比例尺＝實際距離”，代入數值，計算即可．【完整解答】解：4.5÷＝900（厘米），900厘米＝9米，答：教室的實際長為9米；故答案為：9．三．判斷題8．（2021春?聊城期中）在比例里，兩個外項的積與兩個內項積的差是0．√（判斷對錯）【思路引導】在比例里，兩個外項之積等于兩個內項之積，這叫做比例的基本性質，由此即可解決問題．【完整解答】解：根據比例的基本性質可得：在比例里兩內項的積等于兩外項的積，即在比例里，兩個外項的積與兩個內項積的差是0，所以原題說法正確；故答案為：√．9．（2020春?微山縣期末）一個圓形，按3：1放大后，周長擴大到原來的3倍，面積擴大到原來的9倍．√（判斷對錯）【思路引導】因為圓的周長和半徑成正比，所以一個圓周長擴大3倍，半徑也擴大3倍，而根據圓的面積S＝πr2可得，圓的面積與半徑的平方成正比，所以當圓的半徑擴大3倍，面積擴大32倍，由此得出答案。【完整解答】解：根據分析可得，當一個圓的周長擴大到原來的3倍，圓的半徑擴大3倍，面積擴大32＝9倍；所以原題說法正確。故答案為：√。10．（2020?喀什地區(qū)模擬）在比例里，如果兩個內項互為倒數，那么兩個外項的積一定是1．√．（判斷對錯）【思路引導】比例的性質：在比例里，兩個內項的積等于兩個外項的積．在一個比例中，兩個內項互為倒數，則兩個內項的積是1，那么兩個外項的積也是1．【完整解答】解：在一個比例中，兩個內項互為倒數，則兩個內項的積是1，那么兩個外項的積也是1．故答案為：√．四．計算題11．（20