第14講雞兔同籠知識點(diǎn)一：“雞兔同籠”問題的特點(diǎn)：雞兔同籠是已知雞、兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)，求其中雞和兔務(wù)有多少只的問題。知識點(diǎn)二：“雞兔同籠”問題的解題方法1、砍足法（抬腿法）解答思路：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多．因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）．顯然，雞的只數(shù)就是（只）了．2、假設(shè)法（經(jīng)典）雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)兔數(shù)3、方程法:根據(jù)雞兔的腳之和列方程解答?？键c(diǎn)1：圖解法和列表法【典例1】（2020春?雄縣期末）雞兔10只關(guān)在一個籠子里，共有32條腿，請你算算雞有4只．【分析】采用列表法解答，若雞有1只，則兔有10﹣1＝9只，所以腿有1×2+9×4＝38只，與已知不相符，若雞2只，則兔10﹣2＝8只，則腿有2×2+8×4＝36只，與已知不相符，依此類推即可求出與已知腿的只數(shù)相符的答案?！窘獯稹拷猓喝鐖D：總頭數(shù)/個雞的頭數(shù)/個兔的頭數(shù)/個總腿數(shù)/只101938102836103734104632答：雞有4只。故答案為：4。【點(diǎn)評】明確雞兔同籠問題的三種不同解答方法，尤其是用列表法解答雞兔同籠問題的思路，是解答此題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)2：假設(shè)法【典例1】（2020春?桐梓縣期末）一個飼養(yǎng)組養(yǎng)的雞和兔一共13只，共有36只腳，這個飼養(yǎng)組養(yǎng)兔（）只．A．3 B．4 C．5【分析】假設(shè)全部是雞，有2×13＝26只腳，已知比假設(shè)多了36﹣26＝10只腳，一只雞比一只兔子少（4﹣2）只腳，所以兔子有10÷2＝5只腳；據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓海?6﹣2×13）÷（4﹣2）＝10÷2＝5（只）答：這個飼養(yǎng)組養(yǎng)兔5只。故選：C?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。【典例2】（2020春?諸城市期末）小花有10張5元和2元的人民幣，面值一共是32元．5元的有4張，2元的有6張．【分析】假設(shè)全部為2元的，共有2×10＝20元，比實(shí)際的32元少了32﹣20＝12元，因?yàn)槲覀儼?元的當(dāng)成了2元的，每張少算了5﹣2＝3元，所以可以算出5元的張數(shù)，列式為：12÷3＝4（張），那么2元的就有：10﹣4＝6（張）；據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓?元的人民幣：（32﹣2×20）÷（5﹣2）＝12÷3＝4（張）2元的人民幣：10﹣4＝6（張）答：5元的有4張，2元的有6張張。故答案為：4、6?！军c(diǎn)評】此題屬于典型的雞兔同籠題，解答此題的關(guān)鍵是先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)假設(shè)后的情況進(jìn)行計算，即可得出答案；也可以用方程解答，設(shè)其中的一個量為未知數(shù)，另一個數(shù)也用未知數(shù)表示，根據(jù)題意，列出方程，解答即可?！镜淅?】（2019?湖南模擬）有一首民謠：“一隊獵手一隊狗，兩隊并成一隊走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腳一共八百九，問有多少獵手多少狗．”你能算出來嗎？【分析】假設(shè)360個全是獵手，則腿一共有：360×2＝720（條），比實(shí)際少：890﹣720＝170（條），因?yàn)橐粋€獵手比一條狗少2條腿，所以少的是狗的腿的數(shù)量，所以狗有：170÷2＝85（條），則人有：360﹣85＝275（人），據(jù)此解答即可．【解答】解：假設(shè)360個全是獵手，則狗有：（890﹣360×2）÷2＝170÷2＝85（條）獵手有：360﹣85＝275（人）答：有275個獵手，85條狗．【點(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答．考點(diǎn)3：方程法【典例1】（2020春?英山縣期末）鋼筆每支12元，圓珠筆每支7元．小明共買了6支筆，用了62元，鋼筆買了（）支．A．5 B．4 C．3【分析】此題可用方程解答，設(shè)鋼筆買了x支，則圓珠筆買了（6﹣x）支，由題意列出方程12x+7×（6﹣x）＝62，解方程即可．【解答】解：設(shè)鋼筆買了x支，則圓珠筆買了（6﹣x）支，得：12x+7×（6﹣x）＝6212x+42﹣7x＝625x＝20x＝4答：鋼筆買了4支．故選：B．【點(diǎn)評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關(guān)鍵是可以用假設(shè)法進(jìn)行分析比較，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程，設(shè)其中的一個數(shù)為未知數(shù)，另一個數(shù)也用未知數(shù)表示，列出方程解答即可．【典例2】（2020?岳麓區(qū)）某班訂來50張游園票，其中一部分是1元5角的票價，另一部分是2元的票價，總共的票價是88元，兩種票各買了多少張？【分析】設(shè)2元的游園票有x張，則1元5角的游園票有50﹣x張，再根據(jù)“總共的票價是88元，”得出2元的游園票張數(shù)×2+1元5角的游園票張數(shù)×1.5＝88，由此列出方程解決問題．【解答】解：設(shè)2元的游園票有x張，則1元5角的游園票有50﹣x張，2x+1.5×（50﹣x）＝882x+75﹣1.5x＝880.5x+75＝880.5x+75﹣75＝88﹣750.5x＝13x＝261元5角的游園票有：50﹣x＝50﹣26＝24（張）答：1元5角的游園票有24張；2元的游園票有26張．【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，另一個未知數(shù)用設(shè)出的字母表示，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系等式：2元的游園票張數(shù)×2+1元5角的游園票張數(shù)×1.5＝88，列出方程解決問題．綜合練習(xí)一．選擇題1．（2020?河口縣）李華參加知識搶答競賽，答對一題加10分，答錯一題倒扣6分，他共搶答了10題，最后得分36分，他答錯了（）題．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】假設(shè)全部答對，則應(yīng)該得分：10×10＝100分，比實(shí)際多：100﹣36＝64分，答錯一題比答對一題少得10+6＝16分，也就是答錯64÷16＝4個題，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)10個題全答對，則答錯的題目有：（10×10﹣36）÷（10+6）＝64÷16＝4（個）答：他答錯了4個題。故選：B。【點(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。2．（2020春?衡水期末）某單位買了臺燈和電扇共10臺，總價750元．臺燈買了（）臺．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】假設(shè)都是電扇共需要10×85＝850元，比實(shí)際750元多了850﹣750＝100元，因?yàn)槊颗_電扇比臺燈多85﹣60＝25元，所以臺燈買了100÷25＝4臺．【解答】解：（10×85﹣750）÷（85﹣60）＝100÷25＝4（臺）答：臺燈買了4臺．故選：B．【點(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答．3．（2019?成都）雞和兔同籠，共有30個頭，88只腳，籠中雞有（）只．A．14 B．12 C．16【分析】假設(shè)30只全是雞，則腳有：30×2＝60（只），比實(shí)際少88﹣60＝28（只），因?yàn)槊恐煌帽让恐浑u多4﹣2＝2只腳，所以兔有：24÷2＝12只，用30減去兔的只數(shù)就是雞的只數(shù)．據(jù)此解答即可．【解答】解：假設(shè)30只全是雞，則兔有：（88﹣30×2）÷（4﹣2）＝28÷2＝14（只）雞有：30﹣14＝16（只）答：雞有16只．故選：C．【點(diǎn)評】本題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答．4．（2020春?桃江縣期末）停車場有自行車和小汽車共20輛，一共有64個車輪，符合題意的答案是（）A．自行車8輛，小汽車12輛 B．自行車12輛，小汽車8輛 C．自行車10輛，小汽車10輛【分析】假設(shè)全是小汽車，則一共有4×20＝80個輪子，這比已知的64個輪子多出了80﹣64＝16個輪子，因?yàn)?輛小汽車比自行車多4﹣2＝2個輪子，所以自行車有16÷2＝8輛，進(jìn)而求出小汽車的輛數(shù)?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)全是小汽車，則自行車有：（4×20﹣64）÷（4﹣2）＝16÷2＝8（輛）則小汽車有：20﹣8＝12（輛）答：自行車有8輛，小汽車有12輛。故選：A。【點(diǎn)評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析比較，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程，設(shè)其中的一個數(shù)為未知數(shù)，另一個數(shù)也用未知數(shù)表示，列出方程解答即可。5．（2019秋?任丘市期末）紅星商店托運(yùn)50箱飲料，合同規(guī)定每箱的運(yùn)費(fèi)是20元，若損壞一箱，除不給運(yùn)費(fèi)外，還要賠償損失100元，運(yùn)后結(jié)算時共付運(yùn)費(fèi)760元，求損壞了幾箱飲料，下面列式正確的是（）A．（20×50﹣760）÷（100﹣20） B．（100×50+760）÷（100+20） C．（20×50﹣760）÷（100+20）【分析】假設(shè)運(yùn)輸時沒有損壞，則應(yīng)得到的運(yùn)費(fèi)是50×20＝1000元，這與實(shí)際得到的運(yùn)費(fèi)就差了1000﹣760＝240元，每損壞一箱，不但不付運(yùn)費(fèi)還要賠償100元，即損壞1箱就少收運(yùn)費(fèi)100+20元，應(yīng)付的錢數(shù)和實(shí)際付的錢數(shù)的差（50×20﹣760）里有幾個（100+20）元，就是損壞幾箱．【解答】解：（20×50﹣760）÷（100+20）＝240÷120＝2（箱）答：損壞了2箱．故選：C．【點(diǎn)評】明確損壞一個就少收運(yùn)費(fèi)100+20元是完成本題的關(guān)鍵．二．填空題6．（2020春?麥積區(qū)期末）兩輪摩托車和四輪汽車有16輛，共46個車輪，汽車有7輛，摩托車有9輛．【分析】假設(shè)全是兩輪摩托車，則輪子有16×2＝32個，這比已知的46個輪子少了46﹣32＝14個，因?yàn)橐惠v四輪車比一輛摩托車多4﹣2＝2個輪子，所以四輪車有14÷2＝7輛，則摩托車有16﹣7＝9輛，由此即可解決問題。【解答】解：假設(shè)全是兩輪摩托車，則四輪車有：（46﹣16×2）÷（4﹣2）＝14÷2＝7（輛）摩托車有：16﹣7＝9（輛）答：汽車有7輛，摩托車有9輛。故答案為：7、9?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。7．（2020春?北川縣期末）“今有雞兔共居一籠，從上面數(shù)，有10個頭，從下面數(shù)，有26只腳．雞和兔各有幾只？”假設(shè)籠子里全是雞，就有20只腳，比題目里的26只少了6只腳；那么需要用兔來換雞，一只兔比比一只雞多2只腳，所以有3只兔．【分析】根據(jù)題意，本題屬于雞兔同籠問題，利用假設(shè)法，可以假設(shè)籠子里全是雞，就有2×10＝20只腳，比題目里的26只少了26﹣20＝6只腳；那么需要用兔來換雞，一只兔比比一只雞多4﹣2＝2只腳，所以有6÷2＝3只兔；據(jù)此解答即可?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)籠子里全是雞，就有2×10＝20只腳，比題目里的26只少了26﹣20＝6只腳；那么需要用兔來換雞，一只兔比比一只雞多4﹣2＝2只腳，所以有6÷2＝3只兔。故答案為：20、6、3。【點(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。8．（2020春?太原期末）體育課上，四（2）班38人都在場上打乒乓球，有的是兩人單打，有的是4人雙打，一共用了12張乒乓球臺．正在進(jìn)行單打的乒乓球臺有5張．【分析】假設(shè)都是單打，則人數(shù)為：12×2＝24（人），比實(shí)際少：38﹣24＝14（人），每桌雙打與單打相差4﹣2＝2（人），所以雙打的有14÷2＝7（張），單打?yàn)?2﹣7＝5（張）。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓海?8﹣2×12）÷（4﹣2）＝14÷2＝7（張）12﹣7＝5（張）答：正在進(jìn)行單打的乒乓球臺有5張。故答案為：5?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。9．（2020春?中原區(qū)期末）童車廠五月份生產(chǎn)三輪車和四輪車共16輛，使用輪子60個．童車廠五月份生產(chǎn)三輪車③輛，四輪車②輛．①14②12③4【分析】根據(jù)題意，利用假設(shè)法，假設(shè)都是四輪車，則輪子應(yīng)有：16×4＝64（個），比實(shí)際多：64﹣60＝4（個），每輛三輪比四輪相差4﹣3＝1（個）輪子，所以三輪車有：4÷1＝4（輛）；再根據(jù)總輛數(shù)求四輪車的輛數(shù)即可?！窘獯稹拷猓海?6×4﹣60）÷（4﹣3）＝4÷1＝4（輛）16﹣4＝12（輛）答：童車廠五月份生產(chǎn)三輪車4輛，四輪車12輛。故答案為：③；②?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。10．（2020春?西華縣期末）有龜和鶴共38只，腿共有102條．龜有13只，鶴有25只．【分析】假設(shè)都是龜，則腿的條數(shù)為：38×4＝152（只），比實(shí)際多152﹣102＝50（只），每只龜比鶴多的腿數(shù)是：4﹣2＝2（只），所以鶴的只數(shù)為：50÷2＝25（只）；龜有：38﹣25＝13（只）?！窘獯稹拷猓海?8×4﹣102）÷（4﹣2）＝50÷2＝25（只）38﹣21＝13（只）答：龜有13只，鶴有25只。故答案為：13；25?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。三．判斷題11．（2020?雄縣）麗麗的壓歲錢里有面值20元和50元的人民幣共計30張，總金額是1200元．麗麗20元的人民幣一共有10張．√（判斷對錯）【分析】根據(jù)題意，假設(shè)都是50元的人民幣，則應(yīng)該有：50×30＝1500（元），比實(shí)際多：1500﹣1200＝300（元），每張20的比每張50的少30元，所以20元人民幣有：300÷30＝10（張）據(jù)此判斷．【解答】解：（50×30﹣1200）÷（50﹣20）＝（1500﹣1200）÷30＝300÷30＝10（張）答：20元人民幣有10張，原說法正確．故答案為：√．【點(diǎn)評】本題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答．12．（2015春?南部縣期末）解決雞兔同籠問題常用假設(shè)法．√．（判斷對錯）【分析】根據(jù)實(shí)際可知：解決雞兔同籠問題常見的方法有列表法、假設(shè)法和方程法．據(jù)此解答即可．【解答】解：解決雞兔同籠問題常見的方法有列表法、假設(shè)法和方程法，所以原題說法正確．故答案為：√．【點(diǎn)評】此題主要考查解決雞兔同籠問題常用的方法．13．（2015春?古浪縣期末）雞和狗共8個頭，22只腳，則雞和狗的只數(shù)一樣多．×．（判斷對錯）【分析】假設(shè)籠子里都是雞，那么就有8×2＝16只腳，這樣就多出22﹣16＝6只腳；因?yàn)橐恢还繁纫恢浑u多4﹣2＝2只腳，也就是有6÷2＝3只狗；進(jìn)而求得雞的只數(shù)比較得解．【解答】解：狗：（22﹣8×2）÷（4﹣2）＝6÷2＝3（只）雞：8﹣3＝5（只）答：雞有5只，狗有3只，雞和狗的只數(shù)不一樣多．故答案為：×．【點(diǎn)評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法，也可以用方程進(jìn)行解答．五．應(yīng)用題14．（2020春?湖濱區(qū)期末）為了促進(jìn)消費(fèi)，樂華商場舉行購物大抽獎活動：一等獎和二等獎各有多少個？【分析】假設(shè)都是二等獎的，則獎金應(yīng)為200×30＝6000（元），與實(shí)際相差9000﹣6000＝3000（元），每個一等獎比二等獎相差錢數(shù)：500﹣200＝300（元），所以有一等獎3000÷300＝10（個），進(jìn)而求出二等獎個數(shù)即可?！窘獯稹拷猓?00×30＝6000（元）9000﹣6000＝3000（元）3000÷（500﹣200）＝3000÷300＝10（個）30﹣10＝20（個）答：一等獎10個，二等獎20個?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。15．（2020春?通許縣期末）四年級有40名同學(xué)參加植樹活動．男生每人種3棵，女生每人種2棵，他們一共種了98棵樹．這個班男生、女生各有多少人？【分析】假設(shè)40人全部是男生，則一共植樹40×3＝120棵，這比已知的98棵多了120﹣98＝22棵，又因?yàn)?個男生比一個女生多植樹3﹣2＝1棵，由此可得參加植樹的女生有22÷1＝22人，則男生有40﹣22＝18人?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)40人全部是男生，則女生有：（40×3﹣98）÷（3﹣2）＝22÷1＝22（人）男生有：40﹣22＝18（人）答：男生有18人，女生有22人?！军c(diǎn)評】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析比較，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程，設(shè)其中的一個數(shù)為未知數(shù)，另一個數(shù)也用未知數(shù)表示，列出方程解答即可。16．（2020春?太原期末）“迎七一”要掛彩色氣球，四（1）班有13人參加吹氣球小組．男生每人吹8個，女生每人吹7個，一共吹了100個氣球．男生、女生各有多少人？【分析】假設(shè)都是男生，則應(yīng)該吹13×8＝104（個）氣球，比實(shí)際多104﹣100＝4（個）；每個男生與每個女生相差8﹣7＝1（個），所以女生人數(shù)為：4÷1＝4（人）。進(jìn)而求出男生人數(shù)即可?！窘獯稹拷猓海?3×8﹣100）÷（8﹣7）＝（104﹣100）÷1＝4÷1＝4（人）13﹣4＝9（人）答：男生有9人，女生有4人?！军c(diǎn)評】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論；也可以用方程進(jìn)行解答。17．（2020春?隴縣期末）雞兔同籠，共有頭14個，腳34只，雞、兔各有多少只？【分析】可以先假設(shè)14只都是兔子，應(yīng)該有14×4＝56只腳．但現(xiàn)在只有34只腳，多出56﹣34＝22只腳，用一只兔換一只雞，腳就少了2只，22只腳可以換雞22÷2＝11（只），然后進(jìn)一步解答即可?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)全是兔子，則雞一共有：（14×4﹣34）÷（4﹣2）＝22÷2＝11（只）所以兔子有：14﹣11＝3（只）答：兔子有3只，雞有11只?！军c(diǎn)評】這是一道典型的雞兔同籠問題，解答此類問題的規(guī)律是：假設(shè)全是兔，雞的只數(shù)＝（4×總頭數(shù)﹣總腿數(shù)）÷2；假設(shè)全是雞，兔的只數(shù)＝（總腿數(shù)﹣2×總頭數(shù)）÷2。六．解答題18．（2020秋?肇源縣期末）一個停車場共有自行車和小轎車共有24輛車，一共有56個輪子，這個停車場有自行車和小轎車各多少輛？【