§7.6空間向量的概念與運(yùn)算課標(biāo)要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有和的量

相等向量方向且模的向量

相反向量長(zhǎng)度而方向的向量

共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相或的向量共面向量平行于的向量

2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝.{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b共線a＝λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉＝a(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝

4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l?αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝01.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.()(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反.()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD+DA＝0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()2.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與C1MA.－12a+12b+cB.aB.12a+1C.－12a－12b－c D.－12a－13.若平面α外的直線l的方向向量為a＝(1，0，－2)，平面α的法向量為m＝(8，－1，4)，則()A.l⊥α B.l∥αC.a∥m D.l與α斜交4.已知空間向量a＝(λ，1，2)，b＝(2，λ+1，λ)，若a∥b，則實(shí)數(shù)λ＝.1.牢記空間中三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的充要條件(1)在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：OA＝xOB+yOC(其中x+y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).(2)在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：OP＝xOA+yOB+zOC(其中x+y+z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).2.解題時(shí)防范以下幾個(gè)易誤點(diǎn)(1)向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b+c)＝a·b+a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.(2)由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故0不能作為基向量.(3)直線的方向向量和平面的法向量均不為零向量且不唯一.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y+2)在同一條直線上，那么x+y等于()A.2 B.3 C.4 D.5(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，AG＝2GE，則GC1等于(A.13ABB.13AB+2C.－13AB+2D.－13AB思維升華用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.跟蹤訓(xùn)練1(2024·六安統(tǒng)考)如圖，底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD，EC＝2PE，若DE＝xAB+yAC+zAP，則x+y+z等于()A.1 B.2 C.13 D.題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2下列說(shuō)法正確的是()A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a+2b，a+b，a－b能構(gòu)成基底C.若OG＝25OA－35OB+45D.若向量p＝mx+ny+kz(其中x，y，z是三個(gè)不共面的向量，m，n，k∈R)，則稱p在基底{x，y，z}下的坐標(biāo)為(m，n，k).若p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，則p在基底{a－b，a+b，c}下的坐標(biāo)為-思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較三點(diǎn)P，A，B共線空間四點(diǎn)M，P，A，B共面PA＝λPBMP＝xMA+yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OA+對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝OM+xMA+對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOA+(1－x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP＝xOM+yOA+(1－x－y)OB跟蹤訓(xùn)練2(1)O為空間任意一點(diǎn)，若AP＝－14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)tA.1 B.98 C.18 D(2)已知空間向量a＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)，c＝(2，3，m)，若a，b，c共面，則實(shí)數(shù)m等于()A.1 B.2 C.3 D.4題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(多選)已知空間中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)三點(diǎn)，則()A.△ABC為直角三角形B.與向量AB方向相同的單位向量是2C.AB與BC夾角的余弦值是－55D.平面ABC的一個(gè)法向量是(1，－2，5)(2)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，則線段AC1的長(zhǎng)度為.思維升華空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練3(2024·滄州模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.已知在塹堵ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝3，BE＝EA1，CF＝2FA1，則AE·BF＝題型四向量法證明平行、垂直例4如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).求證：(1)EF∥平面A1B1BA；(2)平面AEA1⊥平面BCB1.思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.跟蹤訓(xùn)練4(2025·長(zhǎng)沙統(tǒng)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA∥平面EDB；(2)求證：平面PBC⊥平面EFD.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.大小方向相同相等相等相反平行重合同一個(gè)平面2.(1)a＝λb(2)唯一xa+yb(3)xa+yb+zc3.(1)|a||b|cos〈a，b〉(2)a1b1+a2b2+a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1+a2b2+a3b3＝0a12+自主診斷1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[C1M＝C1C+CM＝C1C+12(CB+CD)＝A13.B[根據(jù)題意，直線l的方向向量為a＝(1，0，－2)，平面α的法向量為m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0，又直線l在平面α外，則有l(wèi)∥α.]4.－2解析由a∥b，可設(shè)b＝μa(μ∈R)，則(2，λ+1，λ)＝(μλ，μ，2μ)，所以2＝μλ,探究核心題型例1(1)D[由已知可得AB＝(1，－1，3)，AC＝(x－1，－2，y+4).因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB與AC共線，所以1x解得x＝3，y＝2，所以x+y＝5.](2)C[因?yàn)锳G＝2GE，所以GE＝所以GC1＝GE＝13AE+1＝13×12(+12(AC＝23AC－1跟蹤訓(xùn)練1A[由題意得DE＝DC+CA＝AB－AC+AP＝AB－AC+AP＝AB－AC+AP+＝AB－23又因?yàn)镈E＝xAB+yAC+zAP，所以x＝1，y＝－23，z＝2所以x+y+z＝1.]例2D[對(duì)于A，若b＝0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a+2b＝32(a+b)－12(a－b)，則a+2b，a+b，a－b共面，不能構(gòu)成基底，故對(duì)于C，對(duì)于OG＝25OA－35OB+45OC，由于25－35+對(duì)于D，p在單位正交基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，即p＝a+2b+3c，設(shè)p在基底{a－b，a+b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則滿足p＝x(a－b)+y(a+b)+zc＝(x+y)a+(y－x)b+zc＝a+2b+3c，故x+y則p在基底{a－b，a+b，c}下的坐標(biāo)為-12，32跟蹤訓(xùn)練2(1)C[因?yàn)锳P＝所以AP＝－14OA+18OBOP－OA＝－14OA+1即OP＝34OA+1由于A，B，C，P四點(diǎn)共面，則34+18+t＝解得t＝18.(2)A[因?yàn)閍＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)不共線，a，b，c共面，所以存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa+yb，所以(2，3，m)＝x(1，2，0)+y(0，－1，1)＝(x，2x－y，y)，所以x＝2,例3(1)ACD[因?yàn)锳(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，所以AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，AB·AC＝－2+2+0＝0，所以AB⊥AC，故A正確；因?yàn)閨AB|＝22所以與向量AB方向相同的單位向量是AB|故B錯(cuò)誤；又BC＝(－3，1，1)，所以AB與BC夾角的余弦值是AB·BC|AB||不妨令n＝(1，－2，5)，則n·AB＝1×2+(－2)×1+5×0＝0，n·AC＝1×(－1)+(－2)×2+5×1＝0，即AB⊥n且AC⊥n，所以n＝(1，－2，5)是平面ABC的一個(gè)法向量，故D正確.](2)5解析取{AB，AD，AA1}為一個(gè)基底，AB·AD＝0，AB·AA1＝∴|AC1|＝(AB＝5.跟蹤訓(xùn)練313解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，∵AB＝2，AC＝AA1＝3，BE＝EA1，CF∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，A1(0，0，3)，E1，0，32，F(xiàn)(0，∴AE＝BF＝(－2，1，2)，∴AE·BF＝1×(－2)+0×1+32×2＝1.EF∴|EF|＝1+1+1例4證明因?yàn)锳B＝AC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以過(guò)E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B＝3，BE＝5，所以AE＝2，所以E(0，0，0)，C(5，0，0)，A(0，2，0)，B(－5，0，0)，A1(0，2，7)，則F52(1)EF＝AB＝(－5，－2，0)，AA1＝(0，0，7).設(shè)平面AA1B1B的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z則n所以-取x＝-2,y＝5,z＝0,所以因?yàn)镋F·n＝52×(－2)+1×5+72×0＝所以EF⊥n.又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)易證EC⊥平面AEA1，所以EC＝(5，0，0)為平面AEA1的一個(gè)法向量.同理易證EA⊥平面BCB1，所以EA＝(0，2，0)為平面BCB1的一個(gè)法向量.因?yàn)镋C·EA＝0，所以EC⊥EA，故平面AEA1⊥平面BCB1.跟蹤訓(xùn)練4證明(1)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，則PD⊥AD，PD⊥DC，由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立