尺規(guī)作圖的歷史溯源、育人價值及教學(xué)建議《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱2022年課標(biāo)）第二學(xué)段的“內(nèi)容要求”提出“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”。“課程內(nèi)容中的實例”中例26提出：“用無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圓規(guī)，作一條與給定線段長度相等的線段……構(gòu)建各種可以實現(xiàn)的圖形。例如，作一個給定邊長的等邊三角形，感受用測量的方法無法精確完成這樣的任務(wù)?！辈⑶颐鞔_指出該內(nèi)容的育人價值：“在操作過程中形成對幾何圖形的感覺，感受兩點確定一條線段的意義；體會用直尺可以確定直線，用圓規(guī)的兩腳可以確定線段的長短。”但在小學(xué)階段沒有出現(xiàn)“尺規(guī)作圖”這一術(shù)語，這是否意味著該內(nèi)容只是利用直尺（即使有刻度也“當(dāng)作無刻度”）和圓規(guī)讓學(xué)生在“玩、探、作”的過程中感悟點與線的關(guān)系以及公設(shè)的內(nèi)容，初步培養(yǎng)幾何直觀和推理意識？為便于表達(dá)，我們姑且稱2022年版課標(biāo)所要求的前述內(nèi)容為“初級尺規(guī)作圖”，歐幾里得《幾何原本》中的作圖為“經(jīng)典尺規(guī)作圖”，以與傳統(tǒng)的“幾何畫圖”相區(qū)別。初級尺規(guī)作圖主要是“作等長線段”，但其作圖方法——在給定直線上用圓規(guī)截取與已知線段等長的線段，其核心在于“截取”（故稱之為“初級尺規(guī)作圖法”），不同于《幾何原本》中的作圖方法，也不同于傳統(tǒng)課程中用有刻度的直尺畫出給定長度的線段（放寬作圖工具限制，即可以使用有刻度的直尺、三角板、量角器及圓規(guī)等工具進(jìn)行的“幾何畫圖”[1]）。那么這三種畫圖或作圖方法的本質(zhì)區(qū)別是什么？是否體現(xiàn)出不同的思維水平？其高低水平的排序如何？這三種方法各有哪些育人價值？尤其是育人價值，需要進(jìn)一步追問清楚方能在實踐中落實。例如，2022年版課標(biāo)提出的“形成對幾何圖形的感覺”到底指什么？2022年版課標(biāo)實例部分所給出的作圖方法能否讓學(xué)生真正“感受兩點確定一條線段的意義”？這些問題都需要追問其內(nèi)涵與本質(zhì)，更需要在實踐中探索出有效的教學(xué)方法和策略。一、溯源尺規(guī)作圖及其育人價值尺規(guī)作圖是《幾何原本》中限定作圖的工具，即僅用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行有限次的作圖。無刻度的直尺（連接兩點形成直線）與圓規(guī)（可尋找到到定點等長的所有點）既是操作工具也是數(shù)學(xué)思維中的工具模型，被稱為歐幾里得工具。（作者注：中國古代傳說中的“規(guī)”與“矩”則是解決現(xiàn)實問題的工具，不是思維的工具。由此即可管窺中國古代與古希臘的差異，一個強調(diào)算法重視解決實際問題，另一個則強調(diào)邏輯推理重視演繹體系與理性精神。這是導(dǎo)致東西方文化傳統(tǒng)與思維方式差異的緣由之一）利用尺規(guī)作圖有五條公法，符合幾何公理的作圖基礎(chǔ)，它們分別為[2]:(1）過兩個已知點作一條直線（兩點定一線）。(2）以已知點為圓心，已知長為半徑作一個圓（一點一線定一圓）。(3）確定兩條已知直線的交點（兩線定一點）。(4）確定已知直線和已知圓的交點（一線一圓定點）。(5）確定兩個已知圓的交點（兩圓定點）。顯然,公法（1）與當(dāng)下教材中用有刻度的直尺畫出一條5厘米長的線段不同，即幾何畫圖與經(jīng)典尺規(guī)作圖的內(nèi)涵與育人價值略有不同，各有其側(cè)重點，后文將做分析。這五個公法是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，任何一個作圖問題是由若干次作出直線、作出圓和作出交點這三種基本操作構(gòu)成。作圖公法實際上給出了尺規(guī)能勝任的操作：連接兩點確定一條直線，作圓，求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點（如果相交的話），也即直尺與圓規(guī)的三種功能，定線、作圓、求交點。這五條公法中，作直線的根本在于“找出兩個點”并相連；作圓在于能找到到圓心的距離都相等的“無數(shù)個點”；另外三條給出了求新點的方法。所以本質(zhì)上，尺規(guī)作圖就是轉(zhuǎn)化為求點的問題?！稁缀卧尽分械某咭?guī)作圖為何選擇無刻度的直尺，且必須是有限次的作圖要求？這要追溯到以歐幾里得為代表的古希臘數(shù)學(xué)。無刻度的要求源自兩個方面。一方面，歐幾里得時代還未建立實數(shù)概念，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的信念相信任何量都可以表示成兩個整數(shù)之比（即某個有理量）。幾何上解釋為：對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段，以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段，這兩條給定線段為“可公度量”，意即有公共的度量單位。但是后來畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)存在不可公度線段（無理量）。到歐幾里得時代，他為了回避無理量的麻煩，采用了歐多克斯的比例論，可以由可公度量推廣到不可公度量，適用于更廣泛的幾何命題。無刻度的直尺避免了線段的長度概念，實則回避了還未建立起的實數(shù)概念。另一方面，《幾何原本》體現(xiàn)了古希臘人對數(shù)學(xué)的兩大貢獻(xiàn)：演繹法與抽象性。從樸素的、不加證明的定義與公設(shè)、公理出發(fā)，無刻度的直尺正好符合這種精神要求。作圖時規(guī)定“有限次”運用尺規(guī)進(jìn)行基本作圖，表明這樣的作圖是可以操作實現(xiàn)的，經(jīng)過“有限次”邏輯推理，能作出符合邏輯的“圖”，“能作出”即意味著“存在”，通過尺規(guī)作圖解決了“存在性”問題。對作圖工具的限制，表明了古希臘人對待數(shù)學(xué)的態(tài)度。直尺和圓規(guī)分別是直線、圓的實物對應(yīng)物。總的說來，古希臘人在研究幾何時，都僅限于直線、圓這兩種圖形，以及由此直接導(dǎo)出的圖形。這種對直線、圓的自我約束與非理性的限制，目的是保持幾何學(xué)的簡單、和諧以及由此產(chǎn)生的美學(xué)魅力。以柏拉圖為代表的古希臘學(xué)者，也強調(diào)了這種尺規(guī)作圖的限制理由：如果利用其他復(fù)雜工具（如刻度尺或量角器），“幾何學(xué)的優(yōu)點”將蕩然無存，因為我們又重新使幾何學(xué)退回到了感性世界，而不是用思想中永恒的、超越物質(zhì)的思維想象力去提高、充實它[3]。因此，尺規(guī)作圖的價值體現(xiàn)于兩個方面：其一是古希臘的尺規(guī)作圖問題本身的數(shù)學(xué)價值，其二是尺規(guī)作圖對于學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教育價值。古希臘限于無刻度的直尺與圓規(guī)，根據(jù)公理、公設(shè)提出了很多幾何作圖問題，其中有三個問題最為著名[4]，即化圓為方、倍立方、三等分任意角?；瘓A為方，即作一個正方形，其面積與一個給定圓的面積相等；倍立方，即構(gòu)造一個立方體，其體積是已給定立方體體積的兩倍；三等分任意角，即將任意一個角分為相等的三部分。從古希臘開始，至之后的兩千多年，這些問題依然懸而未決。直到19世紀(jì)，終于被證實不可能用尺規(guī)作出這三個圖形。而這三個問題的解決促進(jìn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，如開創(chuàng)了圓錐曲線的研究，產(chǎn)生了“窮竭法”的思想，三次方程的幾何解法與正n邊形的作法與方程、群論密切聯(lián)系，推動了數(shù)學(xué)發(fā)展[5]。對著名問題孜孜不倦的漫長探索，表明了數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、堅韌不拔的精神。正是人類這種挑戰(zhàn)智力的激情，使得數(shù)學(xué)家們試圖從理論上解決作圖問題，為數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域開辟了發(fā)展道路。在學(xué)校數(shù)學(xué)課程中增加尺規(guī)作圖的價值主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，作為幾何操作工具與探索活動，有助于深入理解幾何基本要素及其關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何推理能力，為數(shù)形對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想與能力提供實操抓手。完成作圖的操作，學(xué)生將幾何事實在頭腦中具象化，從直觀化中感悟圖形的幾何特征與關(guān)系。例如作圖公法，兩點間可以連成一條直線，直線由“看不見”到“看得見”；已知一個定點和一條定長線段，可作出一個圓，通過操作將圓的“一中同長”性質(zhì)直觀化。以作圖公法為基礎(chǔ)解決更多的作圖問題能夠在頭腦中運用已形成的“表象”進(jìn)行邏輯推理，獲得結(jié)果。第二，作為數(shù)學(xué)文化啟蒙的載體，感悟尺規(guī)作圖帶來的數(shù)學(xué)力量、數(shù)學(xué)理性精神及數(shù)學(xué)美學(xué)的具體表現(xiàn)。歐幾里得幾何建立了最簡單、最直觀、最能為孩子所接受的數(shù)學(xué)模型：點、線、面、三角形、圓，又能通過操作尺規(guī)親自體驗數(shù)學(xué)推理的力量。《幾何原本》中以尺規(guī)方式實現(xiàn)的作圖竟會如此復(fù)雜，更難以置信的是，古希臘“三大不能”作圖問題這樣簡單的問題竟然不能解決！這樣富于挑戰(zhàn)性的問題能夠鍛煉學(xué)生的科學(xué)思維與不畏困難的精神，培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)情感。這些育人價值可否在小學(xué)階段實現(xiàn)呢？目標(biāo)達(dá)成畢竟要受限于小學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知特點?！稁缀卧尽分械慕?jīng)典尺規(guī)作圖法與課程標(biāo)準(zhǔn)中的初級尺規(guī)作圖法有何本質(zhì)不同？思維水平上有何差距？為此需要深入對比分析，明確小學(xué)階段能夠達(dá)成的育人目標(biāo)層級。二、《幾何原本》與學(xué)校數(shù)學(xué)課程中的尺規(guī)作圖比較尺規(guī)作圖一直以來是基礎(chǔ)教育領(lǐng)域內(nèi)學(xué)習(xí)的知識，涉及基本作圖、利用基本作圖進(jìn)行綜合作圖并進(jìn)行證明等問題，意在訓(xùn)練學(xué)生工具操作、幾何語言表述、空間觀念與邏輯推理能力的培養(yǎng)，即“培養(yǎng)學(xué)生的實際動手操作能力，有助于理解和掌握幾何的概念，也有助于對相關(guān)幾何圖形增加感性認(rèn)識”。下面以“作等長線段”為例，對比分析《幾何原本》中對應(yīng)內(nèi)容與課程標(biāo)準(zhǔn)要求的不同，體會《幾何原本》中尺規(guī)作圖的要義（步驟、依據(jù)原理等）以及教學(xué)啟示。《幾何原本》全書共13卷[6]，第一卷開宗明義，首先給出23個定義，5條公設(shè)，5條公理，之后是48個命題；其余12卷體例類似，首先給出必要的定義，其次是命題。全書還有通用的5條公設(shè)、5條公理。2011年版課標(biāo)中的基本作圖問題有5個在《幾何原本》中，但不是命題1至5，對比如表1所示：表1《幾何原本》中的每個命題前后的邏輯關(guān)聯(lián)性強，前面獲得的定理性結(jié)論成為后面定理成立的基礎(chǔ)。七、八年級教材中安排尺規(guī)基本作圖的學(xué)習(xí)順序為（1)—(2)—(3)—(5)—(4）；對應(yīng)《幾何原本》中的尺規(guī)作圖順序為命題2—命題23—命題9—命題11、12—命題10。“作一個角等于已知角”的難度大，《幾何原本》放在比較靠后的命題23中，而2011年版課標(biāo)將其作為第二個基本作圖提出學(xué)習(xí)要求，可見教材并不是遵循《幾何原本》中尺規(guī)作圖的內(nèi)容順序。具體到特定尺規(guī)作圖內(nèi)容，其步驟是否一致呢？我們將以“過一點作一條線段等于已知線段”為例說明。《幾何原本》中的命題2依據(jù)公設(shè)1、公設(shè)2、公設(shè)3、公理1、公理3、命題1作出。其中命題1為：在給定線段上作等邊三角形。具體表述為：給定一條線段AB，在AB上作一個等邊三角形。命題2具體表述為：點A為給定點，BC為給定線段，求作：以點A為端點作一條線段等于BC。作法如下：（如圖1)圖1(1）從點A到點B連直線（公設(shè)1);(2）在AB上作等邊三角形ABD（命題1);(3）延長DA、DB成直線DE、DF（公設(shè)2);(4）以點B為圓心，BC為半徑作圓CGH（公設(shè)3);(5）以點D為圓心，DG為半徑作圓GLK（公設(shè)3);(6）由于點B為圓心，所以BC=BG；由于點D為圓心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3);(7）而BG=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）?！稁缀卧尽分胁]有“過點A作任意一條直線”，而是先作了等邊三角形ABD（第一卷命題1），為什么？這就回到《幾何原本》中的本原邏輯：任意點的存在都是依據(jù)公設(shè)、公理生成的。因此，需要以線線（直線或曲線）相交的方式找到點D，以便由公設(shè)1獲得A、D兩點確定的直線。點D的存在性是通過兩段弧線的交點得到的——連接AB并以其為邊作等邊三角形ABD。這樣連接A和D兩點確定一條直線，在這條直線上作出與BC等長的線段來。而所作線段的另一端點也需要通過“交點”來獲得，并不是直接“截取”。求作線段另一端點由直線與弧線交點獲得，這樣即為步驟（5)(6)(7），每一步都依據(jù)了公設(shè)、公理獲得最終的等量關(guān)系，邏輯鏈條清晰且嚴(yán)格。顯然義務(wù)教育階段的尺規(guī)作圖內(nèi)容以及作圖方法不能照搬《幾何原本》。學(xué)校數(shù)學(xué)課程（2011版課標(biāo)教材）中“過一點作一條線段等于已知線段”安排在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)，具體作法為：(1）用直尺（無刻度）畫射線AC;(2）用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a。教材中的作圖可以“過一點任意‘畫’出一條直線”，在直線上用圓規(guī)“截取”出了與已知線段等長的線段。圓規(guī)一腳固定（圓心），另一腳“走過”的痕跡沒有全部“畫出來”，其與直線能夠“相交”就需要學(xué)生展開空間想象，借助經(jīng)典尺規(guī)作圖的“形（圓或圓弧沒有顯示）”，未完全做“推理”之事，而是做了“量度”“空間想象”之事，這是二者本質(zhì)差異所在。學(xué)校數(shù)學(xué)課程中其他基本作圖與《幾何原本》中的“經(jīng)典尺規(guī)作圖法”均存在類似差異。三、小學(xué)階段尺規(guī)作圖的教學(xué)建議在小學(xué)階段學(xué)習(xí)“初級版”的尺規(guī)作圖，意在強調(diào)幾何直觀，增加動手操作環(huán)節(jié)，增強對數(shù)學(xué)的感覺。溯源尺規(guī)作圖的歷史，其產(chǎn)生的背景正是嚴(yán)格遵守邏輯演繹推理的，從公認(rèn)的、最少的原理獲得不容置疑的結(jié)論。每一步操作都有據(jù)可依，把嚴(yán)密的邏輯視作至上原則。從尺規(guī)作圖的直觀操作中獲得萬物原理、事物的普遍性質(zhì)，如“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，在幾何操作中訓(xùn)練理性思維與理性精神。對應(yīng)于尺規(guī)作圖的教育價值，以及尺規(guī)作圖歷史的啟發(fā)，不同學(xué)段的尺規(guī)作圖教學(xué)應(yīng)有不同側(cè)重，對于小學(xué)階段的尺規(guī)作圖教學(xué)提出如下幾點具體建議。第一，教師要厘清“幾何畫圖”“經(jīng)典尺規(guī)作圖”與2022年版課標(biāo)中的“初級尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)進(jìn)階層級。例如，從學(xué)生思維由具體到抽象的層級來看，“用直尺畫5厘米長的線段”，與用兩種不同尺規(guī)作圖方法作“一條線段等于已知線段”屬于三個不同學(xué)習(xí)進(jìn)階層級，從畫圖走向作圖，體現(xiàn)出不同的推理與空間想象水平。水平1：度量思維水平。用有刻度的直尺畫線段的本質(zhì)是“單位線段的累加”，這是度量思維的具體體現(xiàn)，從學(xué)生認(rèn)知角度看畫圖過程較為具體，學(xué)生可觀、可測，“線雖然沒有粗細(xì)”但畫出來后即可關(guān)注到它的長短屬性：“單位線段的累加”或者“數(shù)出已知線段長度中包含單位線段的個數(shù)”。如果所畫線段不局限于在水平方向上畫，則更能打破學(xué)生的思維定式，把握線段本質(zhì)——有限長，與擺放的位置和方向無關(guān)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。水平2：強調(diào)幾何基本要素的關(guān)系水平（也可以叫“初級尺規(guī)作圖水平”，即課標(biāo)要求）。2022年版課標(biāo)的要求是“作一條與給定線段長度相等的線段”，與經(jīng)典尺規(guī)作圖相比，相同點是：不關(guān)注給定線段的具體長度——舍棄線段的度量屬性，只需要找到兩個端點，用無刻度的直尺連接即可得到所求線段。不同點是：先利用直尺畫一條直線，再在這條直線上選定一點，圓規(guī)一腳固定此點作為圓心，另一腳在直線上截取已知線段長，其交點為線段另一端點。這種作圖方法雖然也用了尺與規(guī)，但不需要從公理、已知命題出發(fā)的演繹推理過程，降低了推理難度，但仍然強調(diào)“兩點”確定唯一一條“線段”，進(jìn)一步認(rèn)識“點”與“線”之間的關(guān)系，確信“兩點之間線段最短”這一幾何基本事實。水平3：演繹推理水平?！稁缀卧尽返谝痪砻}2的作圖方法是演繹推理水平，即培養(yǎng)學(xué)生從公理、已知命題出發(fā)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D以及推理，在此過程中體現(xiàn)“無中生有”的構(gòu)造能力，也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要載體，所以這種作圖方法比前面兩種的思維水平高。例如，“無”體現(xiàn)在“沒有已知直線”，學(xué)生