1.2證明第1課時代數(shù)中的推理與證明知識點證明的必要性1．在數(shù)學上，僅憑觀察、實驗、類比、歸納等方法得出的命題，只是一種猜想，并不一定正確．若要確定命題是真命題，還要經過嚴密的邏輯推理加以證實．2．人們在長期的實踐中，經過分析總結后，把那些公認的真命題作為基本事實，以基本事實為依據來證實其他命題．3.一個量可以用它的等量來替換，即等量代換.4．在代數(shù)中，可以依據定義、運算法則、運算律、公式、等式(不等式)的基本性質等進行運算和推理．考點代數(shù)中的推理與證明典例

[2025·淮安期中]【閱讀與理解】能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)．偶數(shù)可以用2n表示，奇數(shù)可以用2n＋1表示，其中n為整數(shù)．我們可以用說理的方法說明任意一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的和為奇數(shù)，解答過程如下：解：設任意一個偶數(shù)為2m，一個奇數(shù)為2n＋1，其中m，n為整數(shù)，則它們的和為2m＋2n＋1＝2(m＋n)＋1.因為m，n為整數(shù)，所以m＋n為整數(shù)．所以2(m＋n)＋1為奇數(shù)，即任意一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的和為奇數(shù)．【遷移與應用】仿照上面的方法，試說明三個連續(xù)奇數(shù)的和為奇數(shù)，且能被3整除．思路導析用字母表示三個連續(xù)奇數(shù)，逐步運算和推理即可．解：設三個連續(xù)奇數(shù)分別為2n＋1，2n＋3，2n＋5，其中n是整數(shù)，它們的和為2n＋1＋2n＋3＋2n＋5＝6n＋9＝3(2n＋3)，由于2n＋3是整數(shù)，3是3的倍數(shù)，所以3(2n＋3)是3的倍數(shù)，即能被3整除，所以三個連續(xù)奇數(shù)的和是3的倍數(shù)，即能被3整除，因為6n＋9＝2(3n＋4)＋1，2(3n＋4)是偶數(shù)，所以6n＋9是奇數(shù)，所以三個連續(xù)奇數(shù)的和也是奇數(shù)．因此，三個連續(xù)奇數(shù)的和為奇數(shù)，且能被3整除．變式1證明：兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)．證明：設兩個奇數(shù)分別為2m＋1，2n＋1，其中m，n為整數(shù)，則(2m＋1)＋(2n＋1)＝2m＋1＋2n＋1＝2m＋2n＋2＝2(m＋n＋1)．因為m，n，1都為整數(shù)，所以m＋n＋1為整數(shù)．所以2(m＋n＋1)是偶數(shù)．所以兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)．變式2小明提出這樣一個猜想：對于任意兩個連續(xù)的正整數(shù)m，n，它們的乘積q(q＝mn)與較大數(shù)的和一定為某個正數(shù)的平方．【舉例驗證】(1)當m＝3，n＝4，則q＋n＝(

)2，【推理證明】小剛同學作了如下的證明：設m<n，因為m，n是連續(xù)的正整數(shù)，所以n＝m＋1，因為q＝mn，所以q＋n＝mn＋n＝(

)2；所以q＋n一定是正數(shù)的平方．(2)請你補上小剛同學的證明過程的空格所缺內容；【類比探究】(3)小紅同學類比小剛同學的證明方法，提出“任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差也為某個正數(shù)的平方”，請證明該結論．解：(1)當m＝3，n＝4時，q＋n＝mn＋n＝3×4＋4＝16＝42，故答案為：4；(2)設m<n，因為m，n是連續(xù)的正整數(shù)，所以n＝m＋1，因為q＝mn，所以q＋n＝mn＋n＝(m＋1)n＝n2；所以q＋n一定是正數(shù)的平方．故答案為：n(m＋1也可)；(3)證明：設m，n是連續(xù)的正整數(shù)，且m<n，所以n＝m＋1，因為q＝mn，所以q－m＝mn