第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省株洲二中高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知f(x)=ln(2x)，則f′(1)=(

)A.ln2 B.2 C.12 D.2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3A.43 B.44 C.87 D.883.志愿者甲參加第21屆文博會的服務(wù)工作，甲從住所到文博會選擇乘地鐵、乘公交車、騎共享單車的概率分別為14，14，12，且乘地鐵、乘公交車、騎共享單車按時到達文博會的概率分別為45，34，A.173240 B.93173 C.801734.(x?1x)n(n∈A.8 B.12 C.15 D.?205.一家制造廠有n條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，每個產(chǎn)品是“良品”的概率為p，否則為“次品”，每條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程相互獨立.每天生產(chǎn)結(jié)束后對所有產(chǎn)品進行檢測，“良品”被誤檢測為“次品”的概率(即漏檢率)為1?r，“次品”被誤檢測為“良品”的概率(即誤接受率)為t.被檢測為“良品”的產(chǎn)品出貨，否則報廢.則該制造廠每天出貨的產(chǎn)品件數(shù)平均為(

)A.np(1?r?t) B.np(1?r+t) C.n[(1?p)r+pt] D.n[pr+(1?p)t]6.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn，若S3=9，A.72 B.81 C.90 D.997.若函數(shù)f(x)=lnx+ax2?2在區(qū)間(14,3)A.(?∞,?12) B.(?18,+∞)8.關(guān)于x的不等式e2a+x?lnx<x2+2ax對?x∈(0,1)A.[?12,0] B.[?12,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.由某班數(shù)學考試成績的數(shù)據(jù)分析可知，男生成績X與女生成績Y均服從正態(tài)分布，且X～N(100,16)，Y～N(100,25)，則(

)A.E(X)=100 B.D(Y)=5

C.P(X<92)+P(X≤108)=1 D.P(X≤112)≤P(Y≤112)10.拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F，過F的直線l交E于A，B兩點，設(shè)O為坐標原點，l的傾斜角為α，若|AB|=16|OF|=16，則(

)A.p=2 B.sinα=12

C.|AF|=8+43 11.記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，實數(shù)A，B，qA.若{an}為等差數(shù)列，則{Snn}為等差數(shù)列B.若Sn=An2+Bn，則{an三、填空題：本題共3小題，共15分。12.雙曲線x29?13.從按直線方向排列的10塊地中選2塊種植A，B兩種作物，且A，B至少間隔6塊，有___種不同的種植．14.已知各項均不為0的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=anan+1+14．

(1){四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2x2?x，

(1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)，求數(shù)列的通項公式an16.(本小題15分)

從某學校獲取了容量為400的有放回簡單隨機樣本，將所得數(shù)學和語文期末成績的樣本觀測數(shù)據(jù)部分整理如下：數(shù)學成績語文成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀20050250優(yōu)秀6090150合計260140400(1)依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？

(2)假設(shè)用樣本估計總體，用頻率估計概率，現(xiàn)從全校數(shù)學成績優(yōu)秀的人中任取3人，記這3人中語文成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．

參考公式：χ2=n(ad?bcα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=aex?1，g(x)=ln(x+1)．

(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)當a≥1時，設(shè)函數(shù)18.(本小題17分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E為棱DD1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點．

(1)證明19.(本小題17分)

與橢圓x29+y25=1有公共焦點的雙曲線C過點M(3,6)，過點E(2,0)作直線l交雙曲線的右支于A，B兩點，連接AO并延長交雙曲線左支于點P(O為坐標原點參考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.arctan2413.12

14.2n?1；

[9815.解：(1)根據(jù)題意可得數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n)=2n2?n，

當n≥2且n∈N?時，an=Sn?Sn?1=(2n2?n)?[2(n?1)2?(n?1)]=4n?3．

又當n=1時，a1=16.(1)零假設(shè)為：H0：語文成績和數(shù)學成績無關(guān)．

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到：

χ2=400(200×90?50×60)2250×150×260×140=600091≈65.9>3.841=x0.05．

語文成績和數(shù)學成績有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．

(2)從全校數(shù)學成績優(yōu)秀的人中任取1人語文成績優(yōu)秀的概率為p=90150=35．

可得X服從二項分布，即X～B(3,35)．

X取值為X0123P8365427E(X)=3×317.(1)當a=1時，f(x)=ex?1，

求導得f′(x)=ex，所以f′(0)=1，又f(0)=0，

所以f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x．

(2)當a=1時，?(x)=ex?ln(x+1)?1，所以?′(x)=ex?1x+1=xex+ex?1x+1，

令g(x)=xex+ex?1，求導得g′(x)=ex+xex+ex=ex(x+2)，

因為x>?1，所以g(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(?1)=?1．

因為?′(0)=0，所以當?1<x<0時，?′(x)<0，當x>0時，?′(x)>0，

所以?(x)在(?1,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增，

又?(0)=0，所以?(x)有唯一零點x=0；

下證當a>1時，?(x)無零點：

先證ex≥x+1：

記u(x)=ex?x?1，則u′(x)=ex?1，

當x∈(?∞,0)時，u′(x)<0；當x∈(0,+∞)時，u′(x)>0，

所以u(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立，

再證lnx≤x?1：

由ex≥x+1，得elnx≥lnx+1，即x≥lnx+1，

所以lnx≤x?1，當且僅當lnx=0，即x=1時等號成立，

所以?(x)=aex?ln(x+1)?1>ex?ln(x+1)?1?x+1=0，

因此當a>1時，?(x)沒有零點．

綜上所述，a=1時，?(x)有1個零點；當a>1時，?(x)沒有零點．

18.解：(1)證明：如圖所示，以DA、DC、DD1

所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，

B(1,1,0)，E(0,0,1)，A1(1,0,2)，

C1(0,1,2)，B1(1,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，

∵19.解：(1)由題意設(shè)雙曲線C的標準方程為：x2a2?y2b2=1(a,b