第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年甘肅省張掖二中高二（下）期中數(shù)學試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=ex+ax在x=0處的切線與直線3x?2y?5=0平行，則實數(shù)a=A.?1 B.1 C.12 D.2.已知空間向量a=(1,n,2)，b=(?2,1,2)，若a與b垂直，則|a|A.5 B.7 C.3 3.函數(shù)f(x)=2x3?3x+1的圖象在點(1,f(1))處的切線斜率為A.0 B.1 C.2 D.34.已知平面α的一個法向量為n=(1,1,1)，點M在a外，點N在α內，且MN=(1,?2,?2)，則點M到平面α的距離為(

)A.33 B.3 C.5.函數(shù)f(x)=2cos2x+3cos(x?π2)A.[3,4] B.[3,322+1] 6.從甲、乙、丙、丁、戊5人中任選3人組成展示小組，則在甲被選中的條件下，乙被選中的概率為(

)A.23 B.12 C.257.已知一圓錐的底面半徑是1，高為3，SA為該圓錐的一條母線，B，C是圓錐底面圓周上的兩個動點，則直線SA與BC夾角的余弦值的最大值是(

)A.32 B.23 C.8.如圖所示，四面體ABCD的體積為V，點M為棱BC的靠近B的三等分點，點F分別為線段DM的中點，點N為線段AF的中點，過點N的平面α與棱AB，AC，AD分別交于O，P，Q，設四面體AOPQ的體積為V′，則V′V的最小值為(

)A.332

B.932

C.364二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位數(shù)為10．

B.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是251

C.投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件B，則事件A，B都發(fā)生的概率是13．

D.若樣本x1，x2，?，xn的平均數(shù)和方差分別為2和3，則3x1+2，3x10.函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，下列命題中正確的是(

)

A.?3和?1是函數(shù)y=f(x)的極值點

B.?1是函數(shù)y=f(x)的最小值點

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調遞增

D.y=f(x)在x=?311.已知四棱錐S?ABCD的底面為平行四邊形，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，M，N分別為側棱SB，SC上一點，且SB?SN=SC?SM，若SA=AC=A.BC//平面DMN B.MN⊥平面SAB

C.四棱錐S?ABCD的體積為43 D.點A到平面SBC的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,0,?1)，b=(2,1,1)，則3a+13.已知a>0，b>0，且2a+b=2，則4a+214.某公司舉行抽獎活動，在箱子里裝有n(n≥2)個紅球和4個黑球，這些小球除顏色外完全相同.在一次抽獎過程中，某員工從中一次性抽取兩個小球，抽出兩個小球顏色均為紅色視為中獎，其余情況均未中獎.假設在有放回地連續(xù)3次抽獎中恰好中獎一次的概率為P，則當P取到最大值時n的值為______．四、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題11分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+tx2+x．

(1)若函數(shù)f(x)的圖像在點(1,f(1))處的切線與直線x+6y?3=0垂直，求實數(shù)t的值；

(2)若t=?1，求函數(shù)16.(本小題12分)

如圖，已知菱形ABCD和等邊三角形BCE有公共邊BC，點B在線段AE上，BC與DE交于點O，將△BCE沿著BC翻折成△PBC，得到四棱錐P?ABCD．

(1)求證：AD⊥平面POD；

(2)當直線PA與平面ABCD所成角取得最大值時，求平面PBC與平面ABCD夾角的余弦值．17.(本小題12分)

如圖，在多面體ABCDEFG中，D，E，F(xiàn)，G四點共面，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=AD=5，CG//BF//AE，且BF=DG=DE=2，AE=CG=1，DG⊥DE．

(1)若平面DEFG與平面ABCD的交線為l，證明：l⊥平面BDF；

(2)求平面BDG與平面BDE的夾角．18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?x，其中a≠0．

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)求f(x)的單調區(qū)間；

(3)當a>1時，設f(x)的兩個零點為x1，x2，求證：答案解析1.【答案】C

【解析】解：由題可得：f′(x)=ex+a，

函數(shù)在x=0處的切線的導數(shù)即為切線的斜率為f′(0)=e0+a=1+a，

函數(shù)f(x)=ex+ax在x=0處的切線與直線3x?2y?5=0平行，

則有1+a=32，可得a=122.【答案】C

【解析】解：由a與b垂直，可得a?b=?2+n+4=0，

解得n=?2，所以a=(1,?2,2)，

所以|a|=12+(?2)2+3.【答案】D

【解析】解：f′(x)=6x2?3，f′(1)=3，

∴f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為：3．

故選：D．

可求出f(x)4.【答案】B

【解析】解：因為平面α的一個法向量為n=(1,1,1)，且MN=(1,?2,?2)，

所以d=|MN?n||n5.【答案】C

【解析】解：f(x)=?2sin2x+3sinx+2，

令t=sinx，由x∈[π4,π2]，得22≤t≤1，f(x)變?yōu)閥=?2t2+3t+2，

該二次函數(shù)開口向下，對稱軸t=34，在[22,34]遞增，[36.【答案】B

【解析】解：設事件A為“甲被選中”，事件B為“乙被選中”，

則P(A)=C42C53=35，P(AB)=C31C7.【答案】D

【解析】解：設圓錐的底面圓的圓心為O，分別以直線AO、OS所在直線為y軸、z軸，

底面內過點O且與AO垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標系．

可得A(0,?1,0)，S(0,0,3)，

設B(cosα,sinα,0)，C(cosβ,sinβ,0)，0≤α≤2π，0≤β≤2π，

則SA=(0,?1,?3)，BC=(cosβ?cosα,sinβ?sinα,0)，

設直線SA與BC夾角為θ，

則|cosθ|=|cos?SA,BC?|=|SA?BC||SA|?|BC|=|sinα?sinβ|2(cosβ?cosα)2+(sinβ?sinα)2=2|8.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了棱錐體積的計算，空間向量共面定理，屬于中檔題．

連接AM，令AOAB=x，APAC=y，AQAD=z，得到AN=16xAO+112yAP+14zAQ，根據(jù)N，O，【解答】

解：如圖所示，連接AM，

可得AN=12AF=14(AD+AM)=14AD+14(AC+CM)

=14AD+14AC+14CM=14AD+14AC+14×23CB，

CB=14AD+14AC+16CB=14AD+149.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查百分位數(shù)，簡單隨機抽樣，概率計算，方差的性質相關知識，屬于基礎題．

求出第60百分位數(shù)判斷A；利用簡單隨機抽樣的意義判斷B；利用相互獨立事件的概率計算判斷C；利用平均數(shù)、方差的性質計算判斷D．【解答】

解：對于A，數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14，16，

由8×60%=4.8，得第60百分位數(shù)為左起第5個數(shù)10，A正確；

對于B，從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是251，B正確；

對于C，投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，

“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件B，

P(A)=12,P(B)=26=13，事件A，B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)=16，C錯誤；

對于D，依題意，3x1+2，3x10.【答案】CD

【解析】解：根據(jù)導函數(shù)圖象可知：當x∈(?∞,?3)時，f′(x)<0，在x∈(?3,1)時，f′(x)≥0，

∴函數(shù)y=f(x)在(?∞,?3)上單調遞減，在(?3,1)上單調遞增，故C正確；

則?3是函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(x)在x=?1兩側的單調性相同，故?1不是f(x)的極值點，故A錯誤；

∵y=f(x)在(?3,1)上單調遞增，∴?1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點，故B錯誤；

∵函數(shù)y=f(x)在x=?32處的導數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D正確．

故選：11.【答案】ABC

【解析】解：因為四棱錐S?ABCD的底面為平行四邊形，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，

所以四邊形ABCD為矩形，

所以作出示意圖如下：

因為AC=2BC=2，所以AB=BC=2，所以四邊形ABCD為正方形．

由SB?SN=SC?SM，可得SBSM=SCSN，所以MN/?/BC，

又MN?平面DMN，BC?平面DMN，所以BC/?/平面DMN，所以A選項正確；

因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC，又MN/?/BC，所以SA⊥MN，

又AB⊥BC，所以AB⊥MN，且SA∩AB=A，

所以MN⊥平面SAB，所以B選項正確；

因為SA⊥平面ABCD，

所以V四棱錐S?ABCD=13×S四邊形ABCD×SA=13×2×2×2=43，所以C選項正確；

易得SA⊥AB，所以SB=SA2+AB2=6，

結合B項分析可得BC⊥平面SAB12.【答案】(5,1,?2)

【解析】解：由題意可知，3a+b=3(1,0,?1)+(2,1,1)=(5,1,?2)．

故答案為：(5,1,?2)．13.【答案】4

【解析】解：a>0，b>0，且2a+b=2，

由題意，4a+2b=22a+2b≥222a+b=4，當且僅當2a=b=114.【答案】6

【解析】解：依題意，單次抽獎中獎的概率p0=Cn2Cn+42=n(n?1)(n+3)(n+4)，

則連續(xù)3次抽獎中恰好中獎一次的概率P=C31p0(1?p0)2=3p03?6p02+3p0，

令f(x)=3x3?6x2+3x，x∈(0,1)，則f′(x)=9x2?12x+3=3(3x?1)(x?1)，

當0<x<13時，f′(x)>0，當13<x<1時，f′(x)<0，

函數(shù)f(x)在(0,13)上單調遞增，在(13,1)上單調遞減，

所以當x=15.【答案】t=2．

函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(0,1)，單調減區(qū)間為(1,+∞)．

【解析】(1)根據(jù)題意知函數(shù)f(x)=lnx+tx2+x的定義域為(0,+∞),f′(x)=1x+2tx+1，

根據(jù)題設知f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線斜率為6，即f′(1)=2t+2=6，因此t=2；

(2)因為t=?1，函數(shù)f(x)=lnx?x2+x的定義域為：

(0,+∞),f′(x)=1x?2x+1=?2x2+x+1x=(2x+1)(1?x)x，

當x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(0,1)時，16.【答案】證明見解答；

13．【解析】解：(1)證明：翻折前，由已知可得，DC/?/BE，DC=BE，且BE=CE，則四邊形BECD為菱形，又三角形BCE為等邊三角形，

∴O為BC的中點，∴OD⊥BC，OE⊥BC，

翻折后，OP⊥BC，

∵OP∩OD=O，∴BC⊥平面POD，

在菱形ABCD中，AD//BC，

∴AD⊥平面POD；

(2)由(1)知，BC⊥平面POD，

又∵BC?平面ABCD，∴平面POD⊥平面ABCD，

如圖，在平面POD中過點O作Oz⊥OD，

又平面POD∩平面ABCD=OD，

∴Oz⊥平面ABCD，

即直線OD，OB，Oz兩兩垂直，

以O為坐標原點，直線OD，OB，Oz分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz，

設|BC|=2，則O(0,0,0)，D(3,0,0)A(3,2,0)，B(0,1,0)，C(0,?1,0)，

令P(a,0,b)，其中a2+b2=3，a∈(?3,3)，b∈(0,3],

則AP=(a?3,?2,b)，

平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1)，

設直線PA與平面ABCD所成角為α，

則sinα=|cos?AP,n?|=|b|(a?3)2+(?2)2+b2，

∴sin2α=b2a2?23a+3+4+b2=3?a210?23a．

設f(x)=3?x210?23x，x∈(?17.【答案】證明見解析；

π3【解析】(1)如圖，連接AC，EG，因為CG//AE，CG=AE，

所以四邊形AEGC為平行四邊形，所以AC/?/EG．

因為AC?平面DEFG，EG?平面DEFG，所以AC/?/平面DEFG，

因為AC?平面ABCD，平面DEFG∩平面ABCD=l，

所以AC/?/l．

因為四邊形ABCD為平行四邊形，AB=AD=5，

所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，所以l⊥BD，

由題意知CD=AD=5,CG=AE=1,DG=DE=2，所以CG2+DG2=CD2，

所以DG⊥CG，AE⊥DE，AE2+DE2=AD2．

因為CG//BF//AE，所以BF⊥DG，BF⊥DE．

因為DG∩DE=D，DG，DE?平面DEFG，所以BF⊥平面DEFG．

因為l?平面DEFG，所以BF⊥l．

因為BF∩BD=B，BF，BD?平面BDF，

所以l⊥平面BDF．

(2)如圖，過點G作GH⊥BD，垂足為H，連接HE.取FB的中點M，連接AM，CM．

由(1)知，BF⊥平面DEFG，因為FG，F(xiàn)E?平面DEFG，所以BF⊥FG，BF⊥FE．

可知四邊形CMFG和四邊形AMFE都是矩形，所以CM=GF，AM=EF．

在Rt△CMB和Rt△AMB中，CB=AB，MB=MB，

所以Rt△CMB≌Rt△AMB，所以CM=AM，所以GF=EF．

因為CB=AB=5,BF=2，所以GF=EF=2,BE=BG=22．

因為DG=DE=2，所以△BDE≌△BDG，所以EH⊥BD，

所以∠GHE為二面角G?BD?E的平面角．

因為DG=DE=GF=EF=2，DG⊥DE，所以四邊形DEFG是正方形，所以EG=DF=22．

在Rt△BDF中，因為BF=2,DF=22，所以BD=23．

因為BE=BG=22,DG=DE=2，

所以BG2+DG2=BD2，DE