隨機(jī)過(guò)程考試題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機(jī)過(guò)程\(X(t)=A+Bt\)，其中\(zhòng)(A\)和\(B\)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(A\simN(0,1)\)，\(B\simN(0,1)\)，則\(X(1)\)的均值為（）A.0B.1C.2D.32.一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為\(I=\{1,2,3\}\)，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.5&0.3&0.2\\0.1&0.6&0.3\\0.4&0.2&0.4\end{pmatrix}\)，從狀態(tài)1出發(fā)，經(jīng)過(guò)2步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3的概率為（）A.\((P^{2})_{13}\)B.\((P)_{13}\)C.\((P^{3})_{13}\)D.\((P^{4})_{13}\)3.對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)，其自相關(guān)函數(shù)\(R_{X}(\tau)\)滿足（）A.\(R_{X}(\tau)=R_{X}(-\tau)\)B.\(R_{X}(\tau)=-R_{X}(-\tau)\)C.\(R_{X}(\tau)=1\)（\(\tau=0\)）且\(R_{X}(\tau)=0\)（\(\tau\neq0\)）D.\(R_{X}(\tau)=-1\)（\(\tau=0\)）且\(R_{X}(\tau)=0\)（\(\tau\neq0\)）4.若隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)的均值函數(shù)\(m_{X}(t)=3t\)，則\(X(2)\)的均值為（）A.3B.6C.9D.125.設(shè)\(X(t)\)是一個(gè)維納過(guò)程，\(X(0)=0\)，則\(X(t)-X(s)\)（\(t>s\)）服從（）分布。A.\(N(0,t-s)\)B.\(N(0,t+s)\)C.\(N(s,t)\)D.\(N(t,s)\)6.以下關(guān)于泊松過(guò)程的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）A.它是計(jì)數(shù)過(guò)程B.具有獨(dú)立增量性C.具有平穩(wěn)增量性D.它的均值函數(shù)是二次函數(shù)7.隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)的樣本函數(shù)是（）A.隨機(jī)變量B.確定的函數(shù)C.隨機(jī)向量D.隨機(jī)矩陣8.設(shè)\(\{X_{n},n\geq0\}\)是馬爾可夫鏈，\(P(X_{0}=i)=p_{i}\)，\(i\inI\)，則\(P(X_{2}=j)\)等于（）A.\(\sum_{i\inI}p_{i}P_{ij}^{2}\)B.\(\sum_{i\inI}p_{i}P_{ij}\)C.\(P_{ij}^{2}\)D.\(p_{j}\)9.對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)，其功率譜密度\(S_{X}(\omega)\)與自相關(guān)函數(shù)\(R_{X}(\tau)\)是（）關(guān)系。A.傅里葉變換B.拉普拉斯變換C.卷積D.互逆10.設(shè)\(X(t)\)是隨機(jī)過(guò)程，\(F(x,t)=P(X(t)\leqx)\)稱(chēng)為\(X(t)\)的（）A.概率密度函數(shù)B.分布函數(shù)C.特征函數(shù)D.相關(guān)函數(shù)答案：1.A2.A3.A4.B5.A6.D7.B8.A9.A10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于隨機(jī)過(guò)程的描述，正確的有（）A.它是一族隨機(jī)變量B.可以用時(shí)間序列來(lái)描述C.樣本函數(shù)是隨機(jī)變量D.均值函數(shù)是確定的函數(shù)E.自相關(guān)函數(shù)是二元函數(shù)2.對(duì)于泊松過(guò)程\(\{N(t),t\geq0\}\)，具有以下哪些性質(zhì)（）A.\(N(0)=0\)B.獨(dú)立增量性C.平穩(wěn)增量性D.\(N(t)\)服從泊松分布E.是連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程3.馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類(lèi)有（）A.常返態(tài)B.非常返態(tài)C.吸收態(tài)D.遍歷態(tài)E.周期態(tài)4.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)包括（）A.均值函數(shù)為常數(shù)B.自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)C.有限維分布不隨時(shí)間平移而改變D.是離散時(shí)間過(guò)程E.一定是高斯過(guò)程5.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征有（）A.均值函數(shù)B.方差函數(shù)C.自相關(guān)函數(shù)D.互相關(guān)函數(shù)E.協(xié)方差函數(shù)6.以下關(guān)于維納過(guò)程的性質(zhì)，正確的是（）A.\(W(0)=0\)B.具有獨(dú)立增量性C.增量\(W(t)-W(s)\)服從正態(tài)分布D.是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程E.它的均值函數(shù)為07.在判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否為馬爾可夫鏈時(shí)，需要檢查（）A.無(wú)后效性B.狀態(tài)空間的有限性C.一步轉(zhuǎn)移概率的存在性D.平穩(wěn)性E.遍歷性8.對(duì)于隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)，如果\(X(t)\)是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，則（）A.它的有限維分布是正態(tài)分布B.均值函數(shù)是線性函數(shù)C.自相關(guān)函數(shù)是二次函數(shù)D.任意多個(gè)樣本函數(shù)的線性組合還是正態(tài)分布E.它一定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程9.設(shè)\(\{X_{n},n=0,1,\cdots\}\)是馬爾可夫鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=(P_{ij})\)，則有（）A.\(P_{ij}\geq0\)B.\(\sum_{j}P_{ij}=1\)C.\(P^{n}\)表示\(n\)步轉(zhuǎn)移概率矩陣D.矩陣\(P\)是對(duì)稱(chēng)矩陣E.若\(i\)是吸收態(tài)，則\(P_{ii}=1\)10.隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)的自協(xié)方差函數(shù)\(C_{X}(t_{1},t_{2})\)與均值函數(shù)\(m_{X}(t)\)、自相關(guān)函數(shù)\(R_{X}(t_{1},t_{2})\)的關(guān)系為（）A.\(C_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1},t_{2})-m_{X}(t_{1})m_{X}(t_{2})\)B.\(R_{X}(t_{1},t_{2})=C_{X}(t_{1},t_{2})+m_{X}(t_{1})m_{X}(t_{2})\)C.\(C_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1},t_{2})\)（當(dāng)\(m_{X}(t)=0\)）D.\(R_{X}(t_{1},t_{2})=C_{X}(t_{1},t_{2})\)（當(dāng)\(m_{X}(t)=0\)）E.\(C_{X}(t_{1},t_{2})=m_{X}(t_{1})m_{X}(t_{2})\)答案：1.ABDE2.ABCDE3.ABCDE4.ABC5.ABCDE6.ABCE7.AC8.AD9.ABCE10.ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)是隨機(jī)變量。（）2.泊松過(guò)程的均值函數(shù)是線性函數(shù)。（）3.所有的馬爾可夫鏈都有平穩(wěn)分布。（）4.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)一定是偶函數(shù)。（）5.維納過(guò)程是一種特殊的泊松過(guò)程。（）6.對(duì)于隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)，如果\(X(t)\)是高斯過(guò)程，則它的所有樣本函數(shù)都是高斯函數(shù)。（）7.馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間一定是有限的。（）8.隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)\(R_{X}(t_{1},t_{2})\)滿足\(R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{2},t_{1})\)。（）9.設(shè)\(\{X_{n}\}\)是馬爾可夫鏈，若\(i\)是常返態(tài)，則從\(i\)出發(fā)一定能回到\(i\)。（）10.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度是偶函數(shù)。（）答案：1.False2.True3.False4.True5.False6.False7.False8.True9.True10.True四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述泊松過(guò)程的定義。答案：泊松過(guò)程\(\{N(t),t\geq0\}\)是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，滿足\(N(0)=0\)；具有獨(dú)立增量性，即對(duì)于任意\(0\leqt_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)，\(N(t_{1}),N(t_{2})-N(t_{1}),\cdots,N(t_{n})-N(t_{n-1})\)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；具有平穩(wěn)增量性，即對(duì)于任意\(s,t>0\)，\(N(t+s)-N(s)\)的分布只依賴(lài)于\(t\)，且\(N(t)\)服從參數(shù)為\(\lambdat\)的泊松分布，其中\(zhòng)(\lambda>0\)是常數(shù)。2.什么是馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布？答案：設(shè)\(\{X_{n},n=0,1,\cdots\}\)是馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為\(I\)，如果存在概率分布\(\{\pi_{i},i\inI\}\)，使得對(duì)于任意\(i\inI\)，\(\pi_{j}=\sum_{i\inI}\pi_{i}P_{ij}\)（其中\(zhòng)(P_{ij}\)是一步轉(zhuǎn)移概率），則稱(chēng)\(\{\pi_{i},i\inI\}\)為該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。3.簡(jiǎn)述維納過(guò)程的主要性質(zhì)。答案：維納過(guò)程\(W(t)\)滿足\(W(0)=0\)；具有獨(dú)立增量性，即對(duì)于任意\(0\leqs<t\)，\(W(t)-W(s)\)與\(\{W(u),u\leqs\}\)相互獨(dú)立；增量\(W(t)-W(s)\)服從正態(tài)分布\(N(0,t-s)\)；它是連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程且?guī)缀跛械臉颖竞瘮?shù)都是連續(xù)的。4.如何判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程？答案：若隨機(jī)過(guò)程\(X(t)\)的均值函數(shù)\(m_{X}(t)=m\)（常數(shù)），自相關(guān)函數(shù)\(R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(\tau)\)（只與時(shí)間間隔\(\tau=t_{2}-t_{1}\)有關(guān)），則該隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論泊松過(guò)程在實(shí)際中的應(yīng)用。答案：泊松過(guò)程可用于描述排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客到達(dá)，如商場(chǎng)顧客到達(dá)、車(chē)站旅客到達(dá)等；在通信系統(tǒng)中，可描述信號(hào)的隨機(jī)到達(dá)，像數(shù)據(jù)包的到達(dá)過(guò)程；在生物學(xué)中，可表示細(xì)胞分裂等隨機(jī)發(fā)生的事件，因?yàn)檫@些事件在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)近似滿足泊松分布的特性。2.闡述馬爾可夫鏈在天氣預(yù)報(bào)中的可能應(yīng)用。答案：可將天氣狀態(tài)設(shè)為馬爾可夫鏈的狀態(tài)，如晴、雨、多云等。通過(guò)統(tǒng)計(jì)不同天氣狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，根據(jù)今天的天氣狀態(tài)，利用馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)未來(lái)幾天的天氣狀態(tài)，因?yàn)樘鞖鉅顟B(tài)的轉(zhuǎn)變?cè)谝欢ǔ潭壬暇哂袩o(wú)后效性的特點(diǎn)。3.分析維納過(guò)程在金融數(shù)學(xué)中的意義