自動(dòng)控制原理第四版習(xí)題及答案已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，試完成以下分析：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；（2）當(dāng)\(K=1\)時(shí)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，確定\(K\)的取值范圍；（4）當(dāng)\(K=6\)時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)\(K_p\)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)\(K_v\)、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)\(K_a\)。解答：（1）單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)，因此閉環(huán)特征方程為\(1+G(s)=0\)，即：\[s(s+1)(s+2)+K=0\]展開后得：\[s^3+3s^2+2s+K=0\]（2）當(dāng)\(K=1\)時(shí)，特征方程為\(s^3+3s^2+2s+1=0\)。采用勞斯判據(jù)分析穩(wěn)定性：勞斯表構(gòu)造如下：\[\begin{array}{c|ccc}s^3&1&2&\\s^2&3&1&\\s^1&\frac{3\times2-1\times1}{3}=\frac{5}{3}&0&\\s^0&1&&\\\end{array}\]勞斯表第一列元素均為正，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列元素全為正。對(duì)于特征方程\(s^3+3s^2+2s+K=0\)，勞斯表為：\[\begin{array}{c|ccc}s^3&1&2&\\s^2&3&K&\\s^1&\frac{3\times2-1\timesK}{3}=\frac{6-K}{3}&0&\\s^0&K&&\\\end{array}\]要求\(\frac{6-K}{3}>0\)且\(K>0\)，解得\(0<K<6\)。（4）靜態(tài)誤差系數(shù)計(jì)算基于開環(huán)傳遞函數(shù)的型別。開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=\frac{K}{2s(1+s)(1+0.5s)}\)，其積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)（型別）\(v=1\)。靜態(tài)位置誤差系數(shù)\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)=\lim_{s\to0}\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\to\infty\)（因\(v=1\geq0\)，對(duì)于階躍輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為\(\frac{1}{1+K_p}=0\)）；靜態(tài)速度誤差系數(shù)\(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=\lim_{s\to0}\frac{K}{(s+1)(s+2)}=\frac{K}{2}\)，當(dāng)\(K=6\)時(shí)，\(K_v=3\)；靜態(tài)加速度誤差系數(shù)\(K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)=\lim_{s\to0}\frac{K}{(s+1)(s+2)}=0\)（因\(v=1<2\)）。---已知二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，初始條件為零，輸入信號(hào)為\(r(t)=1(t)+t\cdot1(t)\)（其中\(zhòng)(1(t)\)為單位階躍函數(shù)）。（1）求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；（2）若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，需滿足什么條件？解答：（1）穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}\)可通過誤差傳遞函數(shù)計(jì)算。單位負(fù)反饋系統(tǒng)中，誤差\(e(t)=r(t)-c(t)\)，誤差傳遞函數(shù)\(\Phi_e(s)=\frac{1}{1+G(s)}\)，而閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}\)，因此\(\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=\frac{s^2+2\zeta\omega_ns}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)。輸入信號(hào)\(r(t)=1(t)+t\cdot1(t)\)，其拉普拉斯變換為\(R(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\)。穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\Phi_e(s)\cdotR(s)\)，代入得：\[e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{s^2+2\zeta\omega_ns}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\right)\]化簡分子部分：\[s\cdot\frac{s(s+2\zeta\omega_n)}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\cdot\frac{s+1}{s^2}=\frac{(s+2\zeta\omega_n)(s+1)}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\]取\(s\to0\)時(shí)的極限：\[e_{ss}=\frac{(0+2\zeta\omega_n)(0+1)}{\omega_n^2}=\frac{2\zeta}{\omega_n}\]（2）要求\(e_{ss}=0\)，需\(\frac{2\zeta}{\omega_n}=0\)，但\(\zeta>0\)（系統(tǒng)穩(wěn)定要求），\(\omega_n>0\)，因此無法通過調(diào)整\(\zeta\)和\(\omega_n\)使穩(wěn)態(tài)誤差為零。這是因?yàn)樵到y(tǒng)為I型系統(tǒng)（開環(huán)傳遞函數(shù)含1個(gè)積分環(huán)節(jié)），對(duì)階躍輸入穩(wěn)態(tài)誤差為零，對(duì)斜坡輸入穩(wěn)態(tài)誤差為\(\frac{1}{K_v}\)（其中\(zhòng)(K_v=\omega_n/(2\zeta)\)），而輸入包含斜坡分量，因此穩(wěn)態(tài)誤差由斜坡分量決定，無法消除。若要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，需提高系統(tǒng)型別（如引入積分環(huán)節(jié)使系統(tǒng)變?yōu)镮I型）。---已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\)，試?yán)L制其根軌跡（要求標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)：起點(diǎn)、終點(diǎn)、實(shí)軸根軌跡段、分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)、漸近線）。解答：根軌跡繪制步驟如下：1.起點(diǎn)與終點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-5\)（3個(gè)極點(diǎn)）；開環(huán)零點(diǎn)數(shù)\(m=0\)，因此根軌跡有3條分支，起點(diǎn)為3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)處（\(m=0\)）。2.實(shí)軸上的根軌跡段：實(shí)軸上根軌跡段位于奇數(shù)個(gè)開環(huán)零極點(diǎn)右側(cè)的區(qū)間。開環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上的位置為0、-1、-5，無零點(diǎn)。分析各區(qū)間：-\((-\infty,-5)\)：右側(cè)有3個(gè)極點(diǎn)（奇數(shù)），屬于根軌跡段；-\((-5,-1)\)：右側(cè)有2個(gè)極點(diǎn)（偶數(shù)），不屬于；-\((-1,0)\)：右側(cè)有1個(gè)極點(diǎn)（奇數(shù)），屬于；-\((0,+\infty)\)：右側(cè)有0個(gè)極點(diǎn)（偶數(shù)），不屬于。因此實(shí)軸根軌跡段為\((-\infty,-5]\)和\([-1,0]\)。3.漸近線：漸近線數(shù)量\(n-m=3\)條，漸近線與實(shí)軸夾角\(\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}\)（\(k=0,1,2\)），即\(60^\circ,180^\circ,300^\circ\)。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)\(\sigma_a=\frac{\sump_i-\sumz_j}{n-m}=\frac{0+(-1)+(-5)-0}{3}=-2\)。4.分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)：實(shí)軸上根軌跡段\([-1,0]\)可能存在分離點(diǎn)（因該段為兩個(gè)極點(diǎn)之間的根軌跡，可能分離后進(jìn)入復(fù)平面）。分離點(diǎn)滿足\(\frac{dK}{ds}=0\)，其中\(zhòng)(K=-s(s+1)(s+5)\)（由\(1+G(s)H(s)=0\)得\(K=-s(s+1)(s+5)\)）。求導(dǎo)\(\frac{dK}{ds}=-(3s^2+12s+5)=0\)，解得\(s=\frac{-12\pm\sqrt{144-60}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{84}}{6}=\frac{-12\pm2\sqrt{21}}{6}=-2\pm\frac{\sqrt{21}}{3}\)。計(jì)算數(shù)值：\(\sqrt{21}\approx4.583\)，因此\(s_1\approx-2+1.528=-0.472\)（位于\([-1,0]\)區(qū)間內(nèi)，為分離點(diǎn)），\(s_2\approx-2-1.528=-3.528\)（位于\((-\infty,-5)\)區(qū)間外，舍去）。5.與虛軸的交點(diǎn)：令\(s=j\omega\)，代入特征方程\(s(s+1)(s+5)+K=0\)，展開得：\[(j\omega)(j\omega+1)(j\omega+5)+K=0\]計(jì)算實(shí)部和虛部：\[(j\omega)[(j\omega)(j\omega+5)+1(j\omega+5)]=(j\omega)(-\omega^2+5j\omega+j\omega+5)=(j\omega)(5-\omega^2+6j\omega)=-6\omega^2+j\omega(5-\omega^2)\]因此特征方程為\(-6\omega^2+K+j\omega(5-\omega^2)=0\)，實(shí)部和虛部均為零：\[\begin{cases}-6\omega^2+K=0\\\omega(5-\omega^2)=0\end{cases}\]解得\(\omega=0\)（對(duì)應(yīng)\(K=0\)，起點(diǎn)）或\(\omega^2=5\)（即\(\omega=\pm\sqrt{5}\)），此時(shí)\(K=6\times5=30\)。因此根軌跡與虛軸交點(diǎn)為\(s=\pmj\sqrt{5}\)，對(duì)應(yīng)臨界增益\(K=30\)。綜上，根軌跡關(guān)鍵點(diǎn)：起點(diǎn)\(0,-1,-5\)；終點(diǎn)無窮遠(yuǎn)；實(shí)軸段\((-\infty,-5]\)和\([-1,0]\)；分離點(diǎn)\(s\approx-0.472\)；漸近線交點(diǎn)\(-2\)，夾角\(60^\circ,180^\circ,300^\circ\)；與虛軸交點(diǎn)\(\pmj\sqrt{5}\)（\(K=30\)）。---已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖所示（注：此處用文字描述代替圖形：低頻段斜率為-20dB/dec，過點(diǎn)\((0.1,40dB)\)；第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1\)，斜率變?yōu)?40dB/dec；第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_2=10\)，斜率變?yōu)?60dB/dec）。（1）求開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)\)；（2）計(jì)算系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma\)。解答：（1）最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)由對(duì)數(shù)幅頻特性確定。低頻段斜率為-20dB/dec，說明系統(tǒng)為I型（含1個(gè)積分環(huán)節(jié)），傳遞函數(shù)形式為\(G(s)=\frac{K}{s}\cdot\prod_{i=1}^{n-m}\frac{1}{1+T_is}\)（無零點(diǎn)，兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)，因有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率）。低頻段過點(diǎn)\((\omega=0.1,L(\omega)=40dB)\)。對(duì)于I型系統(tǒng)，低頻段漸近線表達(dá)式為\(L(\omega)=20\lgK-20\lg\omega\)（當(dāng)\(\omega\ll\omega_1\)時(shí)）。代入\(\omega=0.1\)，\(L=40dB\)：\[40=20\lgK-20\lg0.1\]因\(\lg0.1=-1\)，故\(40=20\lgK+20\)，解得\(20\lgK=20\)，即\(K=10\)。第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1\)，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{1+s}\)（時(shí)間常數(shù)\(T_1=1\)），斜率由-20變?yōu)?40dB/dec（增加一個(gè)極點(diǎn)）；第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_2=10\)，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{1+0.1s}\)（時(shí)間常數(shù)\(T_2=0.1\)），斜率由-40變?yōu)?60dB/dec（再增加一個(gè)極點(diǎn)）。因此開環(huán)傳遞函數(shù)為：\[G(s)=\frac{10}{s(1+s)(1+0.1s)}=\frac{100}{s(s+1)(s+10)}\]（注：將\(1+0.1s\)寫為\(0.1(s+10)\)，因此分母展開為\(s\cdot1\cdot0.1(s+10)=0.1s(s+1)(s+10)\)，分子\(10\)除以\(0.1\)得\(100\)）（2）相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)\)，其中\(zhòng)(\omega_c\)為截止頻率（\(L(\omega_c)=0dB\)）。首先求\(\omega_c\)。開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線在\(\omega_1=1\)到\(\omega_2=10\)之間的斜率為-40dB/dec，表達(dá)式為：\[L(\omega)=20\lgK-20\lg\omega-20\lg\frac{\omega}{\omega_1}\quad(\omega_1\leq\omega\leq\omega_2)\]即\(L(\omega)=20\lg10-20\lg\omega-20\lg\omega+20\lg1=20-40\lg\omega\)（因\(\omega_1=1\)，\(20\lg1=0\)）。令\(L(\omega_c)=0\)，則\(20-40\lg\omega_c=0\)，解得\(\lg\omega_c=0.5\)，即\(\omega_c=10^{0.5}=\sqrt{10}\approx3.16rad/s\)。計(jì)算\(\angleG(j\omega_c)\)：\[G(j\omega)=\frac{10}{j\omega(1+j\omega)(1+j0.1\omega)}\]相位角為：\[\angleG(j\omega)=-90^\circ-\arctan\omega-\arctan0.1\omega\]代入\(\omega_c=\sqrt{10}\approx3.16\)：\[\arctan\omega_c\approx\arctan3.16\approx72.5^\circ\]\[\arctan0.1\omega_c\approx\arctan0.316\approx17.5^\circ\]因此：\[\angleG(j\omega_c)\approx-90^\circ-72.5^\circ-17.5^\circ=-180^\circ\]相位裕度\(\gamma=180^\circ+(-180^\circ)=0^\circ\)，說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。---某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)，要求設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}\)（\(a>1\)），使校正后系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)，截止頻率\(\omega_c'\geq2rad/s\)。解答：（1）未校正系統(tǒng)分析：開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}=\frac{2}{s(0.5s+1)}\)，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線：-低頻段（\(\omega\ll2\)）：斜率-20dB/dec，\(L(\omega)=20\lg2-20\lg\omega\)；-轉(zhuǎn)折頻率\(\omega=2\)（對(duì)應(yīng)\(0.5s+1\)），之后斜率變?yōu)?40dB/dec。求未校正系統(tǒng)的截止頻率\(\omega_{c0}\)：令\(L(\omega_{c0})=0\)，即\(20\lg\frac{2}{\omega_{c0}\cdot0.5\omega_{c0}}=0\)（因\(\omega_{c0}>2\)，慣性環(huán)節(jié)起作用），化簡得\(\frac{2}{0.5\omega_{c0}^2}=1\)，解得\(\omega_{c0}^2=4\)，即\(\omega_{c0}=2rad/s\)。未校正系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma_0=180^\circ+\angleG(j\omega_{c0})\)，其中：\[\angleG(j\omega_{c0})=-90^\circ-\arctan(0.5\times2)=-90^\circ-45^\circ=-135^\circ\]因此\(\gamma_0=180^\circ-135^\circ=45^\circ\)，但題目要求\(\gamma'\geq45^\circ\)且\(\omega_c'\geq2rad/s\)，看似滿足，但實(shí)際由于漸近線近似誤差，需驗(yàn)證精確值。精確計(jì)算\(\omega_{c0}\)：\(|G(j\omega)|=\frac{4}{\omega\sqrt{\omega^2+4}}=1\)，解得\(\omega^4+4\omega^2-16=0\)，令\(x=\omega^2\)，則\(x^2+4x-16=0\)，解得\(x=\frac{-4\pm\sqrt{16+64}}{2}=\frac{-4+\sqrt{80}}{2}=-2+2\sqrt{5}\approx2.472\)，故\(\omega_{c0}\approx1.572rad/s\)（小于2rad/s），且\(\gamma_0=180^\circ-90^\circ-\arctan(\omega_{c0}/2)\approx90^\circ-\arctan(0.786)\approx90^\circ-38.2^\circ=51.8^\circ\)（仍不滿足\(\omega_c'\geq2\)）。（2）設(shè)計(jì)超前校正裝置：超前校正的作用是在截止頻率處提供正相位，同時(shí)提高截止頻率。設(shè)校正后截止頻率\(\omega_c'=2rad/s\)（滿足要求）。未校正系統(tǒng)在\(\omega_c'=2rad/s\)處的幅值和相位：\[|G(j2)|=\frac{4}{2\times\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{4}{2\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707\quad(L(\omega)=20\lg0.707\approx-3dB)\]\[\angleG(j2)=-90^\circ-\arctan(2/2)=-90^\circ-45^\circ=-135^\circ\]需要超前校正裝置在\(\omega_c'=2rad/s\)處提供的相位超前量\(\phi_m\)滿足：\[\gamma'=180^\circ+\angleG(j\omega_c')+\phi_m\geq45^\circ\]即\(\phi_m\geq45^\circ-(180^\circ-135^\circ)=0^\circ\)，但需考慮幅值補(bǔ)償（超前校正會(huì)提升幅值，需補(bǔ)償未校正系統(tǒng)在\(\omega_c'\)處的幅值衰減）。超前校正裝置的最大相位超前角\(\phi_m\)與\(a\)的關(guān)系為\(\sin\phi_m=\frac{a-1}{a+1}\)。為留有余量，取\(\phi_m=50^\circ\)（因未校正系統(tǒng)在\(\omega_c'\)處相位為-135^\circ，需\(180^\circ-135^\circ+50^\circ=95^\circ>45^\circ\)，足夠）。由\(\sin50^\circ\approx0.766=\frac{a-1}{a+1}\)，解得\(a\approx6.0\)。超前校正裝置的轉(zhuǎn)折頻率為\(\omega_1=1/(aT)\)，\(\omega_2=1/T\)，最大相位超前角頻率\(\omega_m=\sqrt{\omega_1\omega_2}=1/\sqrt{a}T\)。為使\(\omega_m=\omega_c'=2rad/s\)，則\(T=1/(\omega_m\sqrt{a})=1/(2\times\sqrt{6})\approx0.204s\)，因此\(\omega_1=1/(6\times0.204)\approx0.82rad/s\)，\(\omega_2=1/0.204\approx4.90rad/s\)。校正裝置的傳遞函數(shù)為\(G_c(s)=\frac{1+6\times0.204s}{1+0.204s}=\frac{1+1.224s}{1+0.204s}\)（近似為\(\frac{1+1.2s}{1+0.2s}\)）。驗(yàn)證校正后系統(tǒng)的幅值：校正裝置在\(\omega_c'=2rad/s\)處的幅值為\(\sqrt{a}=\sqrt{6}\approx2.45\)（因超前校正裝置在\(\omega_m\)處的幅值為\(\sqrt{a}\)），未校正系統(tǒng)在\(\omega_c'\)處的幅值為\(1/\sqrt{2}\approx0.707\)，因此校正后幅值為\(0.707\times2.45\approx1.73\approx20\lg1.73\approx4.7dB\)，超過0dB，需調(diào)整\(\omega_c'\)使校正后幅值為1。重新計(jì)算：設(shè)校正后截止頻率為\(\omega_c'\)，則\(|G(j\omega_c')\cdotG_c(j\omega_c')|=1\)，即\(|G(j\omega_c')|\cdot|G_c(j\omega_c')|=1\)。超前校正裝置的幅值\(|G_c(j\omega)|=\sqrt{\frac{1+(aT\omega)^2}{1+(T\omega)^2}}\)，令\(\omega=\omega_c'\)，則\(|G_c(j\omega_c')|=\sqrt{\frac{1+(a\omega_c'T)^2}{1+(\omega_c'T)^2}}\)。由于\(\omega_m=1/\sqrt{a}T=\omega_c'