棱鏡的偏向角題目及答案一束波長為589.3nm（鈉黃光D線）的單色光以一定角度入射到頂角為α=60°的玻璃棱鏡上，已知該玻璃對鈉黃光的折射率n=1.5163。假設(shè)棱鏡置于空氣中（空氣折射率n?=1），且光線在棱鏡內(nèi)的傳播滿足近軸條件（即光線與棱鏡表面法線的夾角較?。栴}1：若光線在棱鏡第一界面的入射角為i?=45°，求光線在棱鏡內(nèi)的折射角i?'、第二界面的入射角i?以及出射角i?'，并計算此時的偏向角δ。問題2：推導(dǎo)棱鏡最小偏向角δ_min的一般表達式，并證明當光線對稱通過棱鏡（即i?=i?'，i?'=i?）時，偏向角取得最小值。問題3：若該玻璃的折射率隨波長λ（單位：nm）的變化滿足柯西公式n(λ)=1.500+4.8×10?/λ2，求鈉黃光（589.3nm）和氫紅光（Hα線，656.3nm）的最小偏向角差值Δδ_min，并分析棱鏡色散特性對光譜分離的影響。問題1解答步驟1：第一界面折射角i?'的計算根據(jù)斯涅爾折射定律，光線從空氣（n?=1）入射到棱鏡（n=1.5163）時，有：n?·sin(i?)=n·sin(i?')代入已知數(shù)據(jù)i?=45°，n?=1，n=1.5163，得：sin(i?')=(n?/n)·sin(i?)=(1/1.5163)·sin(45°)≈0.7071/1.5163≈0.4663因此，i?'≈arcsin(0.4663)≈27.7°步驟2：第二界面入射角i?的計算棱鏡頂角為α=60°，根據(jù)棱鏡內(nèi)光線的幾何關(guān)系，第一界面的折射角i?'與第二界面的入射角i?之和等于頂角α（如圖1所示，兩界面法線夾角為α，光線在棱鏡內(nèi)的路徑形成三角形，故i?'+i?=α）：i?=α-i?'=60°-27.7°=32.3°步驟3：第二界面出射角i?'的計算光線從棱鏡出射到空氣時，再次應(yīng)用斯涅爾定律：n·sin(i?)=n?·sin(i?')代入n=1.5163，i?=32.3°，n?=1，得：sin(i?')=n·sin(i?)=1.5163·sin(32.3°)≈1.5163×0.5345≈0.8117因此，i?'≈arcsin(0.8117)≈54.3°步驟4：偏向角δ的計算偏向角δ定義為入射光線與出射光線的夾角，其幾何關(guān)系為：δ=(i?-i?')+(i?'-i?)=i?+i?'-(i?'+i?)由于i?'+i?=α（步驟2結(jié)論），因此：δ=i?+i?'-α代入i?=45°，i?'≈54.3°，α=60°，得：δ=45°+54.3°-60°=39.3°問題2解答最小偏向角的一般推導(dǎo)設(shè)棱鏡頂角為α，入射光線在第一界面的入射角為i?，折射角為i?'；在第二界面的入射角為i?，出射角為i?'。根據(jù)幾何關(guān)系，有：i?'+i?=α??（1）偏向角δ的表達式為：δ=(i?-i?')+(i?'-i?)=i?+i?'-(i?'+i?)=i?+i?'-α??（2）由斯涅爾定律，兩界面的折射關(guān)系為：sin(i?)=n·sin(i?')??（3）sin(i?')=n·sin(i?)??（4）將式（1）中的i?替換為α-i?'，代入式（4）得：sin(i?')=n·sin(α-i?')=n·[sinα·cos(i?')-cosα·sin(i?')]??（5）將式（3）中的sin(i?')=sin(i?)/n代入式（5），并利用cos(i?')=√[1-sin2(i?')]=√[1-(sin2i?)/n2]，可得：sin(i?')=n·sinα·√[1-(sin2i?)/n2]-n·cosα·(sini?)/n=sinα·√(n2-sin2i?)-sini?·cosα??（6）此時，偏向角δ由式（2）表示為i?和i?'的函數(shù)。為了找到δ的最小值，需將δ視為i?的函數(shù)，對i?求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零。由式（2），δ(i?)=i?+i?'(i?)-α，因此：dδ/di?=1+(di?'/di?)??（7）對式（6）兩邊關(guān)于i?求導(dǎo)，左邊為cos(i?')·(di?'/di?)，右邊為：d/di?[sinα·√(n2-sin2i?)-sini?·cosα]=sinα·(1/(2√(n2-sin2i?)))·(-2sini?cosi?)-cosi?·cosα=-sinα·(sini?cosi?)/√(n2-sin2i?)-cosi?·cosα=-cosi?·[sinα·sini?/√(n2-sin2i?)+cosα]??（8）結(jié)合式（6），注意到√(n2-sin2i?)=n·cos(i?')（因為sin(i?')=sini?/n，故cos(i?')=√(1-sin2i?/n2)=√(n2-sin2i?)/n），因此：sinα·sini?/√(n2-sin2i?)=sinα·(nsini?')/(ncosi?'))=sinα·tani?'??（9）代入式（8）得：d/di?[sin(i?')]=-cosi?·[sinα·tani?'+cosα]??（10）另一方面，由式（1）和式（3），i?=α-i?'，而i?'滿足sin(i?')=nsin(i?)=nsin(α-i?')。當δ取極值時，dδ/di?=0，即di?'/di?=-1。結(jié)合式（7）和式（10），可得：cos(i?')·(-1)=-cosi?·[sinα·tani?'+cosα]即：cos(i?')=cosi?·[sinα·tani?'+cosα]??（11）此時，若光線對稱通過棱鏡，即i?=i?'，i?'=i?（由對稱性，i?'=i?意味著i?=α-i?'=α-i?，故i?=α/2，i?'=α/2）。代入斯涅爾定律：sin(i?)=n·sin(α/2)??（12）sin(i?')=n·sin(i?)=n·sin(α/2)??（13）因此i?=i?'，滿足對稱性條件。此時偏向角δ_min為：δ_min=i?+i?'-α=2i?-α??（14）結(jié)合式（12），i?=arcsin(n·sin(α/2))，代入式（14）得：δ_min=2arcsin(n·sin(α/2))-α??（15）對稱性條件下的極值驗證假設(shè)i?=i?'，i?'=i?=α/2，此時dδ/di?=0。為驗證這是最小值，需計算二階導(dǎo)數(shù)。當i?=i?'時，i?'=i?=α/2，i?=arcsin(n·sin(α/2))，此時i?'=i?，故δ=2i?-α。對δ關(guān)于i?求二階導(dǎo)數(shù)：d2δ/di?2=d/di?[1+di?'/di?]=d2i?'/di?2由于i?'隨i?的變化在對稱點附近呈凸函數(shù)（可通過具體數(shù)值驗證，例如取α=60°，n=1.5，計算不同i?對應(yīng)的δ值，會發(fā)現(xiàn)對稱點處δ最?。?，因此該極值為最小值。問題3解答步驟1：計算鈉黃光和氫紅光的折射率根據(jù)柯西公式n(λ)=1.500+4.8×10?/λ2，其中λ單位為nm。-鈉黃光（λ?=589.3nm）：n?=1.500+4.8×10?/(589.3)2≈1.500+48000/347274.49≈1.500+0.1382≈1.6382-氫紅光（λ?=656.3nm）：n?=1.500+4.8×10?/(656.3)2≈1.500+48000/430729.69≈1.500+0.1114≈1.6114步驟2：計算各波長的最小偏向角δ_min由問題2的結(jié)論，δ_min=2arcsin(n·sin(α/2))-α，其中α=60°，故α/2=30°，sin(α/2)=0.5。-鈉黃光（n?=1.6382）：sin(i?)=n?·sin(30°)=1.6382×0.5=0.8191i?=arcsin(0.8191)≈55°（精確計算：arcsin(0.8191)=55.0°）δ_min?=2×55.0°-60°=110°-60°=50.0°-氫紅光（n?=1.6114）：sin(i?)=n?·sin(30°)=1.6114×0.5=0.8057i?=arcsin(0.8057)≈53.7°（精確計算：arcsin(0.8057)≈53.7°）δ_min?=2×53.7°-60°=107.4°-60°=47.4°步驟3：最小偏向角差值Δδ_minΔδ_min=δ_min?-δ_min?=50.0°-47.4°=2.6°棱鏡色散特性分析棱鏡的色散特性由角色散率D=δ/Δλ描述，即單位波長變化對應(yīng)的偏向角變化。在最小偏向角附近，角色散率可近似為：D≈(dδ_min/dλ)=(2/√(1-n2sin2(α/2)))·(dn/dλ)·sin(α/2)由于dn/dλ=-2B/λ3（柯西公式n=A+B/λ2，故dn/dλ=-2B/λ3），因此波長越長，dn/dλ越?。ǜ摚?，角色散率的絕對值越大，但實際偏向角隨波長增大而減?。ㄒ驗閚隨λ增大而減小，δ_min隨n增大而增大）。在本題中，氫紅光波長（656.3nm）大于鈉黃光（589.3nm），因此氫紅光的折射率更小，最小偏