中考試題黑龍江省龍東地區(qū)2025年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘；本考場(chǎng)試卷序號(hào)（由監(jiān)考填寫）2．全卷共三道大題，總分120分；3．請(qǐng)將答案填寫在答題卡的指定位置．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.2.我國(guó)古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.3.2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會(huì)的吉祥物是一對(duì)可愛(ài)的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀(jì)念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：，，，，，，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.136，136 B.138，136 C.136，129 D.136，1384.一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A7 B.8 C.6 D.55.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A B.C. D.6.已知關(guān)于的分式方程解為負(fù)數(shù)，則的值為（）A. B. C.且 D.且7.為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計(jì)劃用1200元購(gòu)買足球和籃球用于課外活動(dòng)，其中足球80元/個(gè)，籃球120元/個(gè)，共有多少種購(gòu)買方案（）A.6 B.7 C.4 D.58.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，，則k的值為（）A. B. C. D.9.如圖，在中，，點(diǎn)、分別在邊和上，且，，連接，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C.2 D.10.如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，連接、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交、、于點(diǎn)、、．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個(gè)等腰三角形．其中正確的結(jié)論是（）A①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠?lái)，好評(píng)如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國(guó)電影票房紀(jì)錄．將數(shù)據(jù)157億用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)______12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_______．13.如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_______，使平行四邊形為菱形．14.如圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)中的兩個(gè)，能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為_(kāi)______．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是_______．16.如圖，、是圓O的切線，A、B為切點(diǎn)，是直徑，，_______17.若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)______．18.如圖，已知中，，，，點(diǎn)M是內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，若，則的最小值為_(kāi)______．19.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．四邊形，，，，都是正方形，頂點(diǎn)，，，，都在軸上，頂點(diǎn)，，，，都在直線上，連接，，，，分別交，，，，于點(diǎn)，，，，．設(shè)，，，，…面積分別為，，，，，則_______．三、解答題（滿分60分）21.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）將向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫(huà)出兩次平移后的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫(huà)出繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．23.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積與的面積相等．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24.2025年6月5日是中國(guó)的第11個(gè)環(huán)境日，育華中學(xué)八年級(jí)學(xué)生積極參加公益活動(dòng)，為了解活動(dòng)時(shí)間（單位：h），張老師隨機(jī)抽取了該校八年級(jí)m名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）_______．扇形統(tǒng)計(jì)圖中_______．并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求參加公益活動(dòng)時(shí)間為所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學(xué)八年級(jí)共有學(xué)生1200人，請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是的學(xué)生有多少人？25.一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時(shí)間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地（卸貨時(shí)間忽略不計(jì)）．兩車同時(shí)出發(fā)，轎車比貨車晚到達(dá)終點(diǎn)，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：）與轎車的行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）圖中a值是_______，b的值是_______；（2）在貨車從B地返回C地的過(guò)程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：）與行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與貨車相距40．26.已知：如圖，中，，設(shè)，點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至，連接、，過(guò)點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．探究如下：（1）若時(shí)，如圖①，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，易證：；如圖②，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究線段、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由．（2）若，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，猜想線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不需要證明．27.2024年8月6日，第十二屆世界運(yùn)動(dòng)會(huì)口號(hào)“運(yùn)動(dòng)無(wú)限，氣象萬(wàn)千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學(xué)為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，準(zhǔn)備購(gòu)買“蜀寶”和“錦仔”獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．已知購(gòu)買3個(gè)“蜀寶”和1個(gè)“錦仔”共需花費(fèi)332元，購(gòu)買2個(gè)“蜀寶”和3個(gè)“錦仔”共需380元．（1）購(gòu)買一個(gè)“蜀寶”和一個(gè)“錦仔”分別需要多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種吉祥物共30個(gè)，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購(gòu)買方案？（3）設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購(gòu)買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸上，，的長(zhǎng)是一元二次方程的根，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接、，求的面積S關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式；（3）當(dāng)時(shí)，在對(duì)角線上是否存在一點(diǎn)，使得是含角的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．黑龍江省龍東地區(qū)2025年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘；本考場(chǎng)試卷序號(hào)（由監(jiān)考填寫）2．全卷共三道大題，總分120分；3．請(qǐng)將答案填寫在答題卡的指定位置．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，包括冪的乘方、合并同類項(xiàng)、積的乘方和平方差公式．根據(jù)同底數(shù)冪乘法、合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，積的乘方，平方差公式逐一計(jì)算各選項(xiàng)的正確性即可．【詳解】A．，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；B．與是不同類項(xiàng)，無(wú)法合并為，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；C．，選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；D．，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；故選C．2.我國(guó)古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，能熟記中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．中心對(duì)稱圖形是在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能夠與自身重合的圖形；軸對(duì)稱圖形是在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．依據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：A中、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B中、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；C中、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D中、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：B．3.2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會(huì)的吉祥物是一對(duì)可愛(ài)的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀(jì)念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：，，，，，，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.136，136 B.138，136 C.136，129 D.136，138【答案】D【解析】【分析】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．據(jù)此求解即可．【詳解】解：數(shù)據(jù)中136出現(xiàn)2次，其他數(shù)各出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為136．將數(shù)據(jù)從小到大排序：129，136，136，140，154，180．?dāng)?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為6（偶數(shù)），中位數(shù)為第3、4個(gè)數(shù)的平均值，即．綜上，眾數(shù)136，中位數(shù)138，故選D．4.一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A.7 B.8 C.6 D.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．根據(jù)三視圖的知識(shí)，俯視圖是由5個(gè)小正方形組成，而主視圖是由兩層小正方形組成，故這個(gè)幾何體的底層最少有5個(gè)小正方體，第2層最少有2個(gè)小正方體．【詳解】解：根據(jù)俯視圖可知，這個(gè)幾何體的底層最少有個(gè)小正方體，第二層最少有2個(gè)小正方體，因此組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有個(gè)．如圖：（其中一種情形）故選：A．5.隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設(shè)該汽車一月至三月銷售量平均每月增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，屬于一元二次方程的應(yīng)用．已知一月份銷量為8000輛，三月份增至12000輛，需建立平均每月增長(zhǎng)率x的方程．根據(jù)連續(xù)增長(zhǎng)模型，每月銷量為前一個(gè)月的倍，故三月份銷量為，據(jù)此列方程即可．【詳解】設(shè)每月增長(zhǎng)率為x，則二月份銷量為，三月份銷量為二月份的倍，即．根據(jù)題意，三月份銷量為輛，可得方程為：．故選B．6.已知關(guān)于的分式方程解為負(fù)數(shù)，則的值為（）A. B. C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】本題考查了分式方程，首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出解關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合解為負(fù)數(shù)及分母不為零的條件確定的范圍．【詳解】解：，得，得，解得：，根據(jù)題意，解，即，解得：，分母，即，即，解得：，，故選：A．7.為促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校計(jì)劃用1200元購(gòu)買足球和籃球用于課外活動(dòng)，其中足球80元/個(gè)，籃球120元/個(gè)，共有多少種購(gòu)買方案（）A.6 B.7 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程，并求出方程的解，注意籃球和足球個(gè)數(shù)都是非負(fù)整數(shù)．設(shè)購(gòu)買足球x個(gè)，籃球y個(gè)，根據(jù)題意列出方程，找出滿足x、y為非負(fù)整數(shù)的解的組數(shù)．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買足球x個(gè)，籃球y個(gè)，根據(jù)題意得：，即，則，∵都是非負(fù)整數(shù)，解得：或或或或或，∴共有6種購(gòu)買方案，故選：A．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解一元二次方程，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵；過(guò)A作軸于M，過(guò)B作軸于D，直線與交于點(diǎn)N，由等腰三角形的判定與性質(zhì)得出，證出由證明，得出，，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)，得到一元二次方程，解方程求解即可．【詳解】解：過(guò)A作軸于M，過(guò)B作軸于D，直線與交于點(diǎn)N，如圖所示：則，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，，把代入反比例函數(shù)的解析式得，，雙曲線圖象在第二象限，，，，，，，，，，，，雙曲線經(jīng)過(guò)B，則,，解得：（舍），，故選D．9.如圖，在中，，點(diǎn)、分別在邊和上，且，，連接，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，利用平行線+中點(diǎn)模型構(gòu)造全等三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可證，可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即得，最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)解答即可求解，【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是中位線，∴，故選：A．10.如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，連接、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交、、于點(diǎn)、、．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個(gè)等腰三角形．其中正確的結(jié)論是（）A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】C【解析】【分析】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、解三角形等，解題關(guān)鍵是利用垂直證明角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似．容易證明，從而可得，進(jìn)而可得，從而可得②正確，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，構(gòu)造，結(jié)合四邊形是平行四邊形可得，可得①正確，再利用角關(guān)系證明，，可得，從而得出結(jié)論③正確，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，由可得，解三角形求出，，從而求出，故結(jié)論④正確，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四個(gè)，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵在正方形中，∴，，，，∴、是等腰三角形，又∵，，∴，∴，，，∴是等腰三角形，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，∵，，∴，故結(jié)論②正確；∴，即是等腰三角形，∵在和中，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故結(jié)論①正確，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∵，∴，∴，故結(jié)論③正確，過(guò)點(diǎn)作，如圖2；設(shè)，由可得，，∴，∵，∴，∴，故結(jié)論④正確，∵，，∴不一定等于，，∴不一定是等腰三角形，故等腰三角形有、、、，共四個(gè)，故結(jié)論⑤錯(cuò)誤，綜上所述：正確結(jié)論有①②③④．故選C．二、填空題（每小題3分，共30分）11.電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠?lái)，好評(píng)如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國(guó)電影票房紀(jì)錄．將數(shù)據(jù)157億用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)______【答案】【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：157億，故答案為：．12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)．根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得，解得：，故答案：．13.如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_______，使平行四邊形為菱形．【答案】(或，答案不唯一）【解析】【分析】本題考查添加條件使平行四邊形為菱形，根據(jù)菱形的判定方法，添加條件即可．【詳解】解：根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可以添加：；根據(jù)對(duì)角線互相垂線的平行四邊形為菱形，可以添加：；故答案為：(或，答案不唯一）．14.如圖，隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)中的兩個(gè)，能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法求概率，根據(jù)題意，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：，，，，，，共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的結(jié)果有2種，∴．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于a的不等式組．先解含參的不等式組，根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解得到關(guān)于a的不等式組，求解即可．根據(jù)解集的情況得到關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，∴，故答案為：．16.如圖，、是圓O的切線，A、B為切點(diǎn)，是直徑，，_______【答案】##70度【解析】【分析】本題考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)是切線，得到，從而，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，從而，進(jìn)而由三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵是切線，∴，即，∵，∴，∵、是圓O的切線，∴，∴，∴．故答案為：．17.若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】本題考查求圓錐側(cè)面積，根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)側(cè)面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為4，∴圓錐的母線長(zhǎng)為，∴圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為；故答案為：．18.如圖，已知中，，，，點(diǎn)M是內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，若，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段關(guān)系得出.在上取點(diǎn)，使，構(gòu)造出，得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出即當(dāng)在上時(shí)，取最小值.【詳解】解：在上取點(diǎn)，使，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即當(dāng)在上時(shí)，取最小值，為.故答案為.19.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，連接，交直線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在上方時(shí)，由勾股定理求出，進(jìn)而得到，由點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P，得到，，求出，進(jìn)而得到，再求出，證明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，進(jìn)而求解；當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，先求出，，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)易證是等邊三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，交直線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在上方時(shí)，∵在矩形中，，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；∵，，∴，∴是等腰三角形，∴，在中，，，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，∵，∴，∵，∴，，由對(duì)稱的性質(zhì)得，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．四邊形，，，，都是正方形，頂點(diǎn)，，，，都在軸上，頂點(diǎn)，，，，都在直線上，連接，，，，分別交，，，，于點(diǎn)，，，，．設(shè)，，，，…的面積分別為，，，，，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，從而求出正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)正方形的對(duì)邊相互平行，可知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，從而可得，利用三角形的面積公式可以求出，同理可以求出，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可證，且相似比為，根據(jù)規(guī)律可得．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，四邊形是正方形，，，，解得：，的坐標(biāo)是，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，，，，解得：，，；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，四邊形是正方形，，，，解得：，，的坐標(biāo)是，，，，，，，解得：，，，的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，，的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，又四邊形和均為正方形，軸，軸，，，，且相似比為，，當(dāng)時(shí)，，同理可證，且相似比，則，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形的規(guī)律與探索，解決本題的關(guān)鍵是分別計(jì)算出和的面積，根據(jù)這兩個(gè)三角形的形狀與面積之間的關(guān)系找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出結(jié)果．三、解答題（滿分60分）21.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，涉及特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算分式的乘法，再計(jì)算加法，然后代入特殊角的三角函數(shù)值求出，再代入求值即可．【詳解】解：∵∴原式．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）將向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫(huà)出兩次平移后的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫(huà)出繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，（2）作圖見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】本題考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，弧長(zhǎng)公式，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）分別描出平移后的點(diǎn)，再順次連接即可得到，根據(jù)點(diǎn)的平移方式即可求解；（2）將點(diǎn)分別繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，再順次連接即可，即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先由勾股定理求出，再由弧長(zhǎng)公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，即為所求：∵，∴向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，即為所求，；【小問(wèn)3詳解】解：，∴點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為23.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積與的面積相等．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）存在，或【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與面積類的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（1）將一般式改寫為頂點(diǎn)式，再化為一般式即可求解；（2）先確定為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在軸上方的垂線上截取，連接與交于點(diǎn)，則，通過(guò)三線合一得到，由三角形面積公式可得過(guò)點(diǎn)作平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)，然后求出直線解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，；【小問(wèn)2詳解】解：存在，理由如下：對(duì)于拋物線，當(dāng)，，解得：，當(dāng)，∴，，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在軸上方的垂線上截取，連接與交于點(diǎn)，則，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)，∵，，∴，設(shè)直線，則，∴，∴直線，∵∥，∴設(shè)直線，代入得：，解得：，∴直線，與拋物線解析聯(lián)立得：，整理得：解得：或，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．24.2025年6月5日是中國(guó)的第11個(gè)環(huán)境日，育華中學(xué)八年級(jí)學(xué)生積極參加公益活動(dòng)，為了解活動(dòng)時(shí)間（單位：h），張老師隨機(jī)抽取了該校八年級(jí)m名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）_______．扇形統(tǒng)計(jì)圖中_______．并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求參加公益活動(dòng)時(shí)間為所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學(xué)八年級(jí)共有學(xué)生1200人，請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是的學(xué)生有多少人？【答案】（1）200，30，圖見(jiàn)解析（2）參加公益活動(dòng)時(shí)間為所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為（3）估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是的學(xué)生有240人【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，從統(tǒng)計(jì)圖中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵：（1）用的人數(shù)除以所占的比例，求出的中，再用的人數(shù)除以總數(shù)，求出的值，求出的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；（2）用360度乘以的人數(shù)所占的比例，進(jìn)行求解即可；（3）利用樣本估計(jì)總體的思想進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，∴；的人數(shù)為：，補(bǔ)全條形圖如圖：【小問(wèn)2詳解】；答：參加公益活動(dòng)時(shí)間為所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】（人）；答：估計(jì)育華中學(xué)八年級(jí)參加公益活動(dòng)的時(shí)間是的學(xué)生有240人．25.一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時(shí)間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地（卸貨時(shí)間忽略不計(jì)）．兩車同時(shí)出發(fā)，轎車比貨車晚到達(dá)終點(diǎn)，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：）與轎車的行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）圖中a的值是_______，b的值是_______；（2）在貨車從B地返回C地的過(guò)程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：）與行駛時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與貨車相距40．【答案】（1）300，2（2）（3）或或【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)貨車的圖象得到B、C兩地的距離為，進(jìn)而求出的值，求出轎車的速度，求出轎車從開(kāi)往地所需的時(shí)間，進(jìn)而求出的值；（2）根據(jù)轎車比貨車晚到達(dá)終點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）分轎車到達(dá)地之前，轎車到達(dá)地，貨車離地，以及貨車到達(dá)地時(shí)，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：由圖象可知，B、C兩地的距離為，A、B兩地的距離為，∴，∵轎車的速度為：，∴轎車從開(kāi)往地所需的時(shí)間為：，∴；故答案為：300，2；【小問(wèn)2詳解】∵轎車比貨車晚到達(dá)終點(diǎn)，∴貨車到達(dá)地所用時(shí)間為：，∴，∵貨車從C地出發(fā)，送貨到達(dá)B地后立即原路原速返回C地，∴，設(shè)，∴，解得：，∴；【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，貨車的速度為：，∴當(dāng)轎車到達(dá)地之前，，解得：；當(dāng)轎車到達(dá)地，貨車離地時(shí)，，則：符合題意；當(dāng)貨車到達(dá)地時(shí)，此時(shí)轎車離點(diǎn)的距離為：，恰好滿足題意，此時(shí)；綜上：轎車出發(fā)或或時(shí)與貨車相距40．26.已知：如圖，中，，設(shè)，點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至，連接、，過(guò)點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．探究如下：（1）若時(shí)，如圖①，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，易證：；如圖②，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究線段、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由．（2）若，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，猜想線段、、之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不需要證明．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）①由，，得到是等邊三角形，從而∴，進(jìn)而推出，因此可證明，得到，，求得，因此，由即可得到結(jié)論；②由，，得到是等邊三角形，從而，進(jìn)而推出，因此可證明，得到，，求得，因此，由即可得到結(jié)論；（2）同（1）思路即可求解．【小問(wèn)1詳解】①證明：∵，，∴等邊三角形，∴，∵，∴，即，∴在和中，∴，∴，，∴，∵，∴在中，，∵，，∴，∴．②解：，理由如下：∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．∵，∴，即，∴在和中，∴，∴，，∴，∵，∴在中，，∵，，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即，∴在和中，∴，∴，，∴，∵，∴在中，，∵，，∴，∴．27.2024年8月6日，第十二屆世界運(yùn)動(dòng)會(huì)口號(hào)“運(yùn)動(dòng)無(wú)限，氣象萬(wàn)千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學(xué)為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，準(zhǔn)備購(gòu)買“蜀寶”和“錦仔”獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．已知購(gòu)買3個(gè)“蜀寶”和1個(gè)“錦仔”共需花費(fèi)332元，購(gòu)買2個(gè)“蜀寶”和3個(gè)“錦仔”共需380元．（1）購(gòu)買一個(gè)“蜀寶”和一個(gè)“錦仔”分別需要多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種吉祥物共30個(gè)，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購(gòu)買方案？（3）設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購(gòu)買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？【答案】（1）購(gòu)買一個(gè)“蜀寶”和一個(gè)“錦仔”分別需要元和元（2）方案一：購(gòu)買“蜀寶”個(gè)，購(gòu)買“錦仔”個(gè)；方案二：購(gòu)買“蜀寶”個(gè)，購(gòu)買“錦仔