第頁第1章集合與常用邏輯用語全章綜合測試卷-提高篇參考答案與試題解析一．選擇題1．“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用充要條件的定義，可求得答案．【解答過程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分條件，由m≥﹣2不能夠推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要條件，綜上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要條件，故選：A．2．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】由集合B中元素滿足的條件，分類討論確定B中的元素，即可求解．【解答過程】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，∴當a＝0，b＝0，1，2時，ab＝0，當a＝1，b＝0，1，2時，ab＝0，1，2，當a＝2，b＝0，1，2時，ab＝0，2，4，∴集合B＝{0，1，2，4}，∴集合B中元素個數(shù)為4．故選：C．3．設全集為U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，B＝{2，5，6}，則A∩（?UB）＝（）A．{1，4} B．{2，5} C．{6} D．{1，3，4，6}【解題思路】根據(jù)已知條件，先求出A集合，再結合補集、交集的運算法則，即可求解．【解答過程】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，?UA＝{2，3，5}，∴A＝{1，4，6}，∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5，6}，∴?UB＝{1，3，4}，∴A∩（?UB）＝{1，4}．故選：A．4．若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{3，4，5} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5}【解題思路】由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），再利用集合的基本運算即可求解．【解答過程】解：由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＜3}，∴?RB＝{x|≥3}，∴A∩（?RB）＝{3，4，5}，故選：A．5．已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A滿足A?B，A?C，則符合條件的集合A的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8【解題思路】先求出B∩C，根據(jù)非空集合A滿足A?B，A?C，即可得出A．【解答過程】解：由集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，B∩C＝{4，5}，∵非空集合A滿足A?B，A?C，∴A＝{4}，{5}，{4，5}．∴符合條件的集合A的個數(shù)為3．故選：A．6．已知命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（?94，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣2，【解題思路】命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題等價于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，構造函數(shù)f（x）＝x2﹣3x求最大值代入極即可．【解答過程】解：命題“?x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”為真命題等價于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，則等價于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，故選：D．7．已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解題思路】由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），以此可解決此題．【解答過程】解：由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件，可知[﹣1，1]?（﹣∞，a），∴a＞1．故選：C．8．下列結論中正確的個數(shù)是（）①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；②命題“?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；③命題“?x∈R，x2+2x+1≤0”的否定為“?x∈R，x2+2x+1≤0”；④命題“a＞b是ac2＞bc2的必要條件”是真命題．A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項，即可得答案．【解答過程】解：對于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①錯誤；對于②：命題““?x∈R，x2+1＜0”是全稱量詞命題；故②正確；對于③：命題p：?x∈R，x2+2x+1≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+1＞0，故③錯誤；對于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式兩邊同除以c2便得到a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要條件；④正確；即正確的有2個，故選：C．二．多選題9．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，則A∩B＝?的一個充分不必要條件是（）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3【解題思路】根據(jù)充分不必要條件與集合包含關系之間的聯(lián)系即可求解．【解答過程】解：設A∩B＝?的一個充分不必要條件是p，p對應的集合為C，當A∩B＝?時，m+1≤﹣1，解得m≤﹣2，所以C?（﹣∞，﹣2]因此滿足條件的選項為B，D．故選：BD．10．設A、B、I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是（）A．（?IA）∪B＝I B．（?IA）∪（?IB）＝I C．A∩（?IB）＝? D．（?IA）∩（?IB）＝?IB【解題思路】先畫出韋恩圖，據(jù)圖判斷各答案的正確性，或者利用特殊元素法．【解答過程】解一：∵A、B、I滿足A?B?I，先畫出文氏圖，根據(jù)韋恩圖可判斷出A、C、D都是正確的，解二：設非空集合A、B、I分別為A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且滿足A?B?I．根據(jù)設出的三個特殊的集合A、B、I可判斷出A、C、D都是正確的，故選：ACD．11．已知集合A＝{x|﹣7＜x＜﹣3}，B＝{x|a﹣5＜x＜1﹣2a}，下列說法正確的是（）A．不存在實數(shù)a使得A?B B．當a＝4時，B?A C．當B?（?RA）時，a的取值范圍是a≥2 D．當2＜a＜3時，B?A【解題思路】當a＝﹣10時可判斷選項A錯誤；當a＝4時，化簡B＝?，故選項B正確；由B?（?RA）知A∩B＝?，從而分三類討論解不等式即可；由2＜a＜3知B＝?，故選項D正確．【解答過程】解：當a＝﹣10時，B＝{x|﹣15＜x＜21}，故A?B，故選項A錯誤；當a＝4時，B＝{x|﹣1＜x＜﹣7}＝?，故B?A，故選項B正確；∵B?（?RA），∴A∩B＝?，∴a﹣5≥1﹣2a或﹣3≤a﹣5＜1﹣2a或a﹣5＜1﹣2a≤﹣7，解得，a≥2，故選項C正確；∵2＜a＜3，∴a﹣5＞1﹣2a，∴B＝?，B?A，故選項D正確；故選：BCD．三．填空題12．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，則（?RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}．若A?C，則a的取值范圍是a≥7．【解題思路】由A及全集R求出A的補集，找出A補集與B的交集即可；根據(jù)A為C的子集，確定出a的范圍即可．【解答過程】解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，∴?RA＝{x|x＜3或x≥7}，∴（?RA）∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}，∵A?C，∴a的范圍是a≥7，故答案為：{2＜x＜3或7≤x＜10}；a≥7.13．已知集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，B＝{x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為【解題思路】直接利用充分條件和必要條件，恒成立問題，不等式的解法的應用求出參數(shù)m的值．【解答過程】解：對于集合A＝{y|y＝x2?32x+1，x∈[34，2]}，故y=(x?34)2+716，由于x∈[34，2]，所以716≤y≤2．由于“x∈A”是“x∈B”的充分條件，所以m2≥（114．已知全集為U，P?U，定義集合P的特征函數(shù)為fP(x)=1，x∈P0，x∈C①對?x∈U，有f?U②對?x∈U，若A?B，則fA（x）≤fB（x）；③對?x∈U，有fA∩B（x）＝fA（x）?fB（x）；④對?x∈U，有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）．其中，正確結論的序號是①、②、③．【解題思路】利用特殊值法，先設出特殊的集合U，A，B，然后再驗證判斷四個命題的真假即可得出答案．【解答過程】解：利用特殊值法進行求解．設U＝{1，2，3}，A＝{1}，B＝{1，2}．那么：對于①有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，f?UA（1）＝0，f?UA（2）＝1，f?對于②有fA（1）＝1＝fB（1），fA（2）＝0＜fB（2）＝1，fA（3）＝fB（3）＝0可知②正確；對于③有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∩B（1）＝1，fA∩B（2）＝0，fA∩B（3）＝0．可知③正確；對于④有fA（1）＝1，fA（2）＝0，fA（3）＝0，fB（1）＝1，fB（2）＝1，fB（3）＝0，fA∪B（1）＝1，fA∪B（2）＝1，fA∪B（3）＝0可知．④不正確；故答案為：①、②、③．四．解答題15．7已知p：A＝{x||2x+1|≤3}，q：B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由￢p是￢q的充分不必要條件，可得q是p的充分不必要條件，分類討論即可得出．【解答過程】解：由p：|2x+1|≤3?﹣2≤x≤1，由q可得：1﹣m≤x≤1+m，因為￢p是￢q的充分不必要條件，所q是p的充分不必要條件，當m＜0，此時1﹣m＞1+m，m＜0．當m≥0時，1﹣m≤x≤1+m，且﹣2≤1﹣m，且1+m≤1，解得m＝0．∴m≤0．16．設A＝{a+2b||a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z}甲：x∈A且y∈A；乙：xy∈A；丙：1x∈求證：甲分別是乙和丙的充分條件．【解題思路】根據(jù)元素之間的關系，利用充分條件的定義進行推理即可．【解答過程】解：設x＝a+2b，y＝c+2d，則|a2﹣2b2|＝1，a，b∈Z，|c2﹣2d2|＝1，c，d則xy＝（a+2b）（c+2d）＝（ac+2bd）+2∵（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2＝（a2﹣2b2）（c2﹣2d2），a，b，c，d∈Z，∴|（ac+2bd）2﹣2（bc+ad）2|＝|（a2﹣2b2）（c2﹣2d2）|＝1，a，b，c，d∈Z，即xy∈A，1x∵|a2﹣2b2|＝1，∴若a2﹣2b2＝1，則1x若a2﹣2b2＝﹣1，則1x17．集合A＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n+2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n+3，n∈Z}（1）若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立？（2）對于任意a∈A，b∈B，是否一定有（a+b）∈C？請證明你的結論．【解題思路】根據(jù)已知條件知：若a∈A，b∈B，則一定存在n1，n2∈z，使得a＝3n1+1，b＝3n2+1，所以a+b＝3（n1+n2）+3．而集合M的元素需滿足：x＝6n+3＝3?2n+3，顯然n1+n2不一定等于2n，所以不一定有a+b＝c且c∈C．【解答過程】解：（1）∵a∈A，b∈B；∴分別存在n1，n2∈z使得：a＝3n1+1，b＝3n2+2；∴a+b＝3（n1+n2）+3；而集合M中的條件是：x＝6n+3＝3?2n+3，∴n1+n2＝2n，存在a∈A，b∈B，使c＝a+b成立；（2）要使a+b∈C，則n1+n2＝2n，這顯然不一定；∴不一定有a+b＝c且c∈C．18．給定數(shù)集A．若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合．（Ⅰ）判斷集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否為閉集合，并給出證明；（Ⅱ）若集合A，B為閉集合，則A∪B是否一定為閉集合？請說明理由；（Ⅲ）若集合A，B為閉集合，且A?R，B?R．證明：（A∪B）?R．【解題思路】（Ⅰ）根據(jù)新定義進行判斷，顯然4+4＝8?A，所以A不為閉集合和利用定義證明；（Ⅱ）先依據(jù)新定義判斷出結論，再根據(jù)定義說明理由；（Ⅲ）直接證明比較困難，因此運用反證法證明．【解答過程】解：（I）因為4∈A，但是4+4＝8?A，所以，A不為閉集合；任取a，b∈B，設a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，則a+b＝3m+3n＝3（m+n）且m+n∈Z所以a+b∈B，同理，a﹣b∈B，故B為閉集合．（II）結論：不一定．令A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}，則由（I）可知，A，B為閉集合，但2，3∈A∪B，2+3＝5?A∪B，因此，A∪B不為閉集合．（III）證明：（反證）若A∪B＝R．則因為A?R，存在a∈R且a?A，故a∈B．同理，因為B?R，存在b∈R且b?B，故b∈A．因為a+b∈R＝A∪B，所以，a+b∈A或a+b∈B．若a+b∈A，則由A為閉集合，a＝（a+b）﹣b∈A，與a?A矛盾．若a+b∈B，則由B為閉集合，b＝（a+b）﹣a∈B，與b?B矛盾