專題07算術(shù)平方根內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01算術(shù)平方根（1）定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方根等于a,即：那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記作，讀作“根號(hào)a”,（2）表示方法：非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根記作，讀作根號(hào)a,（3）性質(zhì)：①正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，并且恒為正；②0的算術(shù)平方根為0，即；③負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，當(dāng)式子有意義時(shí)，a一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)02開平方（1）定義:求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，a叫做被開方數(shù)；（2）區(qū)別：取值范圍不同：中a為任意實(shí)數(shù)；中a；被開方數(shù)不同：中被開方數(shù)為；中被開方數(shù)為a；運(yùn)算順序不同：先平方再開方；先開方再平方。聯(lián)系：結(jié)果為非負(fù)數(shù)；中a≧0時(shí)，=【題型1算術(shù)平方根概念理解】例題：（24-25七年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．表示25的算術(shù)平方根 B．表示2的算術(shù)平方根C．2的算術(shù)平方根記作 D．2是的算術(shù)平方根【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的意義可得答案．【詳解】A、表示25的算術(shù)平方根，故A正確；B、不是2的算術(shù)平方根，故B錯(cuò)誤；C、2的算術(shù)平方根為，故C錯(cuò)誤；D、是2的算術(shù)平方根，故D錯(cuò)誤；故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是（

）A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0和1；故選A．2．（合肥市新站區(qū)七下數(shù)學(xué)月考卷滬科版）如果有算術(shù)平方根，那么可以取的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查了平方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根，即可解答此題．【詳解】解：∵有算術(shù)平方根，∴，解得：，可以取的值為0．故選：D．3．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）下列各數(shù)沒有算術(shù)平方根的是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，分別計(jì)算出選項(xiàng)B、C、D中的數(shù)值，根據(jù)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根解答即可．【詳解】解：，，根據(jù)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根得C選項(xiàng)符合題意．故選：C．【題型2求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】例題：（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）的算術(shù)平方根是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了算術(shù)平方根的意義，一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．正數(shù)a有一個(gè)正的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解．【詳解】解：的算術(shù)平方根是故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）4的算數(shù)平方根是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了求算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)正數(shù)的算術(shù)平方根為正數(shù)即可求解．【詳解】解：4的算數(shù)平方根是，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）計(jì)算的結(jié)果為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：，故答案為：6．3．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了利用一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的算術(shù)平方根是，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵的算術(shù)平方根是，∴，∴．故答案為：．4．（23-24八年級(jí)下·江西九江·期末）的算術(shù)平方根是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】此題考查了求算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義得到，，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴的算術(shù)平方根是，答案為：5．（22-23八年級(jí)上·河南駐馬店·期中）的算術(shù)平方根是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算，然后計(jì)算9的算術(shù)平方根即可得出答案．【詳解】，9的算術(shù)平方根為的算術(shù)平方根為．故答案為：．【題型3利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】例題：（2025·云南西雙版納·二模）若，則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值非負(fù)性、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題【分析】本題主要考查了非負(fù)性的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，據(jù)此可得，求出m、n的值，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2025七年級(jí)下·河南·專題練習(xí)）已知x、y是實(shí)數(shù)，，則的值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，則．故答案為：．2．（2025·四川宜賓·二模）若，是實(shí)數(shù)，且，則的值為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值非負(fù)性、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0，并正確得出未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，．故答案為：1．3．（24-25七年級(jí)下·河南周口·期中）已知m，n滿足，那么．【答案】0.5/【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確把握算術(shù)平方根和絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵．直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)得出m，n的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故答案為：【題型4求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】例題：（23-24八年級(jí)下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分【分析】根據(jù)的取值范圍，根據(jù)整數(shù)部分和小數(shù)部分的定義，即可求解，本題考查了，求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定義．【詳解】解：∵的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，，∴，，故答案為：，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）的整數(shù)部分是．小數(shù)部分是．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍、求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為；故答案為3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個(gè)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．2．（24-25七年級(jí)下·甘肅定西·階段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．3．（23-24八年級(jí)下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分【分析】根據(jù)的取值范圍，根據(jù)整數(shù)部分和小數(shù)部分的定義，即可求解，本題考查了，求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定義．【詳解】解：∵的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，，∴，，故答案為：，．【題型5利用算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)】例題：（24-25八年級(jí)下·廣東廣州·期中）已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題【分析】先判斷，，，，后化簡(jiǎn)計(jì)算即可．本題考查了數(shù)軸上字母表示數(shù)，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)，∴，，，，，∴，．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·湖北·專題練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)得．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查了數(shù)軸，化簡(jiǎn)絕對(duì)值和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，先根據(jù)數(shù)軸得到，，，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值和計(jì)算算術(shù)平方根，再根據(jù)整式的加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，∴原式，故答案為：．2．（24-25七年級(jí)下·湖南湘西·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)用“>”或“<”填空：_______0，_______0，_______0，(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)<，<，>(2)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、整式的加減運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸【分析】本題考查根據(jù)數(shù)軸判斷式子的符號(hào)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算：（1）由數(shù)軸可得，由此可解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論去絕對(duì)值，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得，因此，，，故答案為：；；．（2）解：∵，∴，，∴．3．（24-25七年級(jí)下·安徽亳州·階段練習(xí)）探究發(fā)散：(1)完成下列填空①，②，③___________．④，⑤，⑥___________．(2)根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，若，則___________．(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下題：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．化簡(jiǎn)：【答案】(1)；(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、整式的加減運(yùn)算、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題【分析】（1）先確定乘方的符號(hào)，再計(jì)算算術(shù)平方根即可；（2）結(jié)合（1）中計(jì)算可知，不一定等于a，并發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律即可；（3）由a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，，，進(jìn)而判斷式子正負(fù)，再結(jié)合（2）所得規(guī)律化簡(jiǎn)算術(shù)平方根，同時(shí)去絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：③；⑥；（2）解：由（1）總結(jié)歸納可得：當(dāng)，則；（3）解：由數(shù)軸可得：，，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【題型6與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】例題：（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）按要求填空：(1)填表并觀察規(guī)律：a4400(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知：，則______；已知：，，則______；(3)從以上問(wèn)題的解決過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡(jiǎn)要說(shuō)明．【答案】(1)見解析(2)，68(3)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位【知識(shí)點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】本題考查了與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先求出每個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，再填表即可；（2）根據(jù)（1）可得規(guī)律：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位，由此即可得；（3）根據(jù)（1）解題過(guò)程找出規(guī)律即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，，，，填表如下：4400220（2）解：由（1）可知，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位，∵，∴被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位得到580，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)1位，即；∵，，∴將被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)4位即可得到，∴；故答案為：，68．（3）解：從以上問(wèn)題的解決過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）每移動(dòng)2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向左（或右）移動(dòng)1位．【變式訓(xùn)練】1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算探究題：(1)①______，___________，______；②對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，等于多少？(2)根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的算術(shù)平方根．【答案】(1)①，11，13；②(2)【知識(shí)點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的計(jì)算以及規(guī)律的探究，根據(jù)已知能準(zhǔn)確歸納探究結(jié)果并能運(yùn)用其正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，此題重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的歸納應(yīng)用能力．（1）①分別計(jì)算各式的值即可；②根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：①，，，故答案為：，11，13；②，；（2）解：由題意得：2．（24-25七年級(jí)下·廣東東莞·階段練習(xí)）（1）填表：…110010000……100…（2）利用上表中的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：已知，，則的值為；（3）當(dāng)時(shí)，比較和的大?。敬鸢浮浚?）填表見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；【知識(shí)點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根的規(guī)律探究，弄清題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根的含義填表即可；（2）根據(jù)表格得出規(guī)律，再利用得出的規(guī)律求出a的值即可；（3）分類討論a的范圍，再比較大小即可．【詳解】解：（1）填表如下：…110010000……100…（2）觀察表格可得規(guī)律：當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向左或向右移動(dòng)1位；，，即從19到1900小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位，則a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了4位；（3）根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；3．（24-25七年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）觀察表格并回答下列問(wèn)題．…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中______，______；(2)由表格中數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)2位，相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向______移動(dòng)______位；(3)①已知，則______；②已知，，求m的值．【答案】(1)0.1，10(2)右，一(3)①0.245；②600【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】本題考查數(shù)式規(guī)律問(wèn)題、算術(shù)平方根的定義等知識(shí)點(diǎn)，從表格數(shù)據(jù)總結(jié)出數(shù)式變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）利用算術(shù)平方根的定義即可得出答案；（2）①根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案；（3）①根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案；②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)算術(shù)平方根的定義得，，故答案為：0.1，10；（2）解：由根據(jù)題意，由表格中數(shù)據(jù)可得，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每往右移動(dòng)兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)一位，故答案為：右，一；（3）解：①∵，∴，故答案為：0.245；②∵，∴根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律可知，0.03464的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了3位得到34.64，∴由上述表格可知被開方數(shù)0.0012小數(shù)點(diǎn)需要向右移動(dòng)6個(gè)單位得到2m，解得，，∴的值為600．【題型7算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用】例題：（24-25七年級(jí)下·陜西安康·期中）希望工程活動(dòng)開展以來(lái)，愛心人士張叔叔一直在資助家庭困難的小明同學(xué)．為了表達(dá)感謝，小明同學(xué)親手繪制了一幅面積為的正方形書畫作品，準(zhǔn)備通過(guò)快遞郵寄給張叔叔．已知快遞站的一種長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)、寬之比為，面積為．(1)求這種長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)和寬；(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷小明同學(xué)能否在不折疊書畫作品的前提下，使用該包裝袋進(jìn)行郵寄．【答案】(1)長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)為，寬為(2)能，見解析【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．（1）設(shè)長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)為，寬為，由題意得，求解即可；（2）面積為的正方形書畫作品的邊長(zhǎng)是，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：包裝袋的長(zhǎng)、寬之比為，設(shè)長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)為，寬為，由題意得，（負(fù)值舍去），，，長(zhǎng)方形包裝袋的長(zhǎng)為，寬為；（2）解：面積為的正方形書畫作品的邊長(zhǎng)是．，包裝袋的寬大于正方形書畫作品的邊長(zhǎng)，小明能將這幅書畫作品不折疊就放入此包裝袋進(jìn)行郵寄．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·山西忻州·期中）《清秘藏》是明代所著工藝美術(shù)鑒賞著作，其中所述的刺繡在中國(guó)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，已經(jīng)形成了極高的工藝水平和獨(dú)特的工藝門類．現(xiàn)有一張長(zhǎng)方形繡布，長(zhǎng)、寬之比為，繡布面積為．求繡布的周長(zhǎng)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，設(shè)繡布的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)繡布的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意，得，即，，，，繡布的長(zhǎng)為，寬為，周長(zhǎng)為，答：繡布的周長(zhǎng)為．2．（24-25七年級(jí)下·安徽池州·期中）為了裝飾房間，小明制作了一個(gè)面積為的正方形拼圖．他準(zhǔn)備把這個(gè)拼圖裝進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)方形相框中，這個(gè)長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)和寬之比為，且面積為．(1)求長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)和寬．(2)小明能將拼圖放入這個(gè)相框中嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．【答案】(1)長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)為，寬為．(2)小明不能將拼圖放入這個(gè)相框中，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，以及無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握由算術(shù)平方根的定義求出正方形拼圖的邊長(zhǎng)．（1）設(shè)長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)面積為列方程求解即可；（2）先求出正方形拼圖的邊長(zhǎng)，然后與相框的寬比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)為，寬為，由題意得，，．答：長(zhǎng)方形相框的長(zhǎng)為，寬為．（2）解；面積為的正方形拼圖的邊長(zhǎng)是，，，，即相框的寬小于正方形拼圖的邊長(zhǎng)，小明不能將拼圖放入這個(gè)相框中．3．（24-25七年級(jí)下·廣東東莞·期中）如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形剪拼成一個(gè)大的正方形．(1)則大正方形的邊長(zhǎng)是_________；(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為，且面積為，若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬；若不能，試說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)4(2)不能，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用：（1）求出大正方形的面積，再開方求出邊長(zhǎng)即可；（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為，求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，與正方形的邊長(zhǎng)進(jìn)行比較即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意，大正方形的面積為，∴大正方形的邊長(zhǎng)：；故答案為：4；（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為，則，解得：（負(fù)值已舍掉），，所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，不能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為，且面積為．一、單選題1．（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·期中）如果實(shí)數(shù)a有算術(shù)平方根，那么a的值可以為（

）A． B． C． D．0【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得到即可．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)a有算術(shù)平方根，∴，故選：D．2．（24-25八年級(jí)下·廣西防城港·期中）已知，則值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式有意義的條件得出且，得出，再進(jìn)行求值即可．【詳解】解：∵，∴且，得，∴，∴，∴，故選：C．3．（24-25七年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)按照程序輸入時(shí)，輸出的y值是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)【分析】本題考查求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，無(wú)理數(shù)的定義，先取的算術(shù)平方根，即求9的算術(shù)平方根；再判斷9的算術(shù)平方根是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)，如果是無(wú)理數(shù)，直接輸出即可，如果是有理數(shù)，繼續(xù)求算術(shù)平方根，據(jù)此解答即可．【詳解】解：依題意，3為有理數(shù)，∴把輸入，得，為無(wú)理數(shù)，∴輸出的的值是．故選：C．4．（24-25八年級(jí)下·廣東中山·期中）若實(shí)數(shù)、滿足，且、恰好是的兩條邊長(zhǎng)，則第三條邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、絕對(duì)值非負(fù)性、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題【分析】本題主要考查了勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出、的值，分是直角邊、是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解．【詳解】解：，，，解得：，，當(dāng)是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)，當(dāng)是斜邊，則第三條邊長(zhǎng)，綜上所述，第三條邊長(zhǎng)為或．故選：C．5．（24-25七年級(jí)下·山東臨沂·期中）將1，，，按如圖方式排列，若規(guī)定表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之和是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題【分析】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究．由圖可知，第排有個(gè)數(shù)，以、、、四個(gè)數(shù)字為一組進(jìn)行循環(huán)，前排共有個(gè)數(shù)字，進(jìn)而確定與的數(shù)字，求和即可．【詳解】解：由圖可知：第一排：1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù)，第三排3個(gè)數(shù)，第四排4個(gè)數(shù)，第排有個(gè)數(shù)，從第一排到第排共有：個(gè)數(shù)，且每四個(gè)數(shù)一個(gè)輪回，表示第3排第1個(gè)數(shù)，為，∵前20排共有個(gè)數(shù)，∴表示第21排第2個(gè)數(shù)即第212個(gè)數(shù)，，∴表示的數(shù)為，∴與表示的兩數(shù)之和是；故選：D．二、填空題6．（甘肅省臨夏州2024-2025學(xué)年下學(xué)期5月考七年級(jí)數(shù)學(xué)試題）．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根中，正的平方根叫做算術(shù)平方根，即可求解．【詳解】解：，故答案為：3．7．（24-25八年級(jí)下·甘肅定西·期中）已知、滿足，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、利用平方根解方程、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求平方根的方法解方程，完全平方公式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可推出，據(jù)此求出a、b的值即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、整式的加減運(yùn)算【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷代數(shù)式的大小，絕對(duì)值、算術(shù)平方根的意義以及整式的加減，熟練掌握絕對(duì)值、算術(shù)平方根的意義是解答本題的關(guān)鍵．由數(shù)軸可得，，然后利用絕對(duì)值、算術(shù)平方根的意義以及整式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得，，∴，故答案為：．9．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：，，，，第10個(gè)式子可表示為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】觀察所給的等式，得到第個(gè)式子為，然后利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵第個(gè)式子為，第個(gè)式子為，第個(gè)式子為，第個(gè)式子為，，第個(gè)式子為，∴第10個(gè)式子為，故答案為：．10．（22-23八年級(jí)上·湖南郴州·期末）定義為不大于x的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為．【答案】35【知識(shí)點(diǎn)】求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分、已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)題意可知，然后利用平方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的最大整數(shù)為35．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題目得出是解此題的關(guān)鍵．三、解答題11．（24-25七年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)15【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根【分析】本題考查了算術(shù)平方根以及二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解平方根和算術(shù)平方根的定義，以及掌握二次根式的運(yùn)算規(guī)則．（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義分別計(jì)算；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義分別計(jì)算；（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義分別計(jì)算；（4）先計(jì)算根號(hào)內(nèi)的數(shù)值，再求算術(shù)平方根．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．（24-25七年級(jí)下·廣西河池·期中）已知，，是9的算術(shù)平方根，求的值．【答案】11【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查算術(shù)平方根、平方根，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的含義和計(jì)算方法．根據(jù)，，z是9的算術(shù)平方根，可以求得x、y、z的值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，，z是9的算術(shù)平方根，∴，，，∴．13．（2025七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其工作原理如下圖所示．(1)若輸入x的值是256，則輸出y的值是_______；(2)若輸入有效的x的值后，始終輸不出y的值，請(qǐng)寫出所有滿足要求的x的值，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)(2)1或0，見解析【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、無(wú)理數(shù)【分析】本題考查了算術(shù)平方根的計(jì)算和無(wú)理數(shù)的判斷，正確理解給出的運(yùn)算方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1即可判斷；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，取算術(shù)平方根，不是無(wú)理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根，不是無(wú)理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根，不是無(wú)理數(shù)，繼續(xù)取算術(shù)平方根，是無(wú)理數(shù)，所以輸出的值為；（2）解：滿足要求的x的值是1或0．理由如下：一個(gè)有理數(shù)，若算術(shù)平方根等于其本身，則求算術(shù)平方根的結(jié)果總是有理數(shù)，始終輸不出y的值，而算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是1和0，所以滿足要求的x的值是1或