2024-2025學(xué)年上海大學(xué)附屬寶山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共12分）1．如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)、，使，再作出的垂線，使點(diǎn)、、在同一條直線上（如圖），可以說(shuō)明△△，得，因此測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，判定△△，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒茿． B． C． D．以上均不可2．直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)．若點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．3．下列說(shuō)法正確的是①兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；②兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③兩邊其第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④4．如圖，在△中，，△的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則對(duì)于以下結(jié)論：①；②△△；③；④．其中錯(cuò)誤的是A．① B．② C．③ D．④二、填空題（第5到14題每題2分，第15到20題每題3分）5．化簡(jiǎn)：．6．與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．等腰三角形的周長(zhǎng)為30，則腰長(zhǎng)的取值范圍是．8．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則其周長(zhǎng)為．9．凸六邊形共有組同旁內(nèi)角．10．如圖，已知△，與分別是外角和外角的角平分線，若，則．11．如圖，，，用和表示，．12．將中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)可得．13．三角形中最大角是最小角的4倍，則最小角的取值范圍是．14．如圖，△和△是等邊三角形且，則．15．在△中，，，為的中點(diǎn)，則邊上的中線的取值范圍是．16．如圖，△中，，，，，則．17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)均在第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，△是一個(gè)等腰直角三角形且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．如圖，△是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，，、分別是邊、上，若，，則△的面積為．19．如圖，在四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以3厘米秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米秒時(shí)，能夠使得△與△在某一時(shí)刻全等．20．如圖，點(diǎn)是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，如果，，則的度數(shù)是．三、計(jì)算題（每題4分，16分）21．（4分）．22．（4分）．23．（4分）．24．（4分）．四、解答題（第25、26題、28題每題6分，27題8分，29題8分）25．（6分）已知，，求的值．26．（6分）如圖，點(diǎn)、、、在一條直線上，如果，，且，那么．為什么？（完成以下填空和說(shuō)理過(guò)程）解：（已知），①，，②，③，（已知），④（等式性質(zhì)），即，在△和△中，△△，⑤，⑥．27．（8分）直角坐標(biāo)系中，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）的坐標(biāo)、、分別為、、．（1）求三角形的面積．（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將三角形旋轉(zhuǎn)得到三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)．（3）已知，在軸上找點(diǎn)使得三角形為等腰三角形，在圖中畫(huà)出點(diǎn)并寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)．28．（6分）如圖，已知，，分別平分和，過(guò)點(diǎn)，試說(shuō)明：．29．（8分）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到△，推理依據(jù)是．進(jìn)而得到，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）如圖3，已知四邊形和為正方形，△的面積為，△的面積為，試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題（每題3分，共12分）1．如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，先在的垂線上取兩點(diǎn)、，使，再作出的垂線，使點(diǎn)、、在同一條直線上（如圖），可以說(shuō)明△△，得，因此測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，判定△△，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒茿． B． C． D．以上均不可解：因?yàn)樽C明在△△用到的條件是：，，，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即這一方法．故選：．2．直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)．若點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．解：由點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)．點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)為，故選：．3．下列說(shuō)法正確的是①兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；②兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③兩邊其第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解：①有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等，說(shuō)法正確；②兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，說(shuō)法不正確；③兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，說(shuō)法不正確；④有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，說(shuō)法正確．故選：．4．如圖，在△中，，△的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則對(duì)于以下結(jié)論：①；②△△；③；④．其中錯(cuò)誤的是A．① B．② C．③ D．④解：在△中，，，、分別平分、，，，，，故結(jié)論①正確；，又，，，，在△和△中，，△△，故結(jié)論②正確；，，，，在△和△中，，△△，，，是△的外角，，，故結(jié)論③錯(cuò)誤；又，，，即，故結(jié)論④正確，正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：．二、填空題（第5到14題每題2分，第15到20題每題3分）5．化簡(jiǎn)：．解：，故答案為：．6．與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．解：由題意得，在平面直角坐標(biāo)系中，與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．7．等腰三角形的周長(zhǎng)為30，則腰長(zhǎng)的取值范圍是．解：等腰三角形的周長(zhǎng)為30，腰長(zhǎng)為，它的底邊長(zhǎng)為，由題意得：，解得：，故答案為：．8．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則其周長(zhǎng)為或．解：當(dāng)腰為時(shí)，周長(zhǎng)為：，當(dāng)腰為時(shí)，周長(zhǎng)為：，故答案為：或．9．凸六邊形共有六組同旁內(nèi)角．解：凸六邊形共有六組同旁內(nèi)角，故答案為：六．10．如圖，已知△，與分別是外角和外角的角平分線，若，則56．解：與分別是和的角平分線，，，，，，，，，，．故答案為：56．11．如圖，，，用和表示，．解：將線段向兩方延長(zhǎng)，分別交、于點(diǎn)、．則，，，，，即．故答案為：．12．將中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)可得．解：，，原式．故答案為：．13．三角形中最大角是最小角的4倍，則最小角的取值范圍是．解：設(shè)最小角為，則最大角為，為中間角，則，由三角形內(nèi)角和定理得：，，，解得：，故答案為：．14．如圖，△和△是等邊三角形且，則127．解：如圖，延長(zhǎng)交于，則由三角形外角性質(zhì)得：，△和△是等邊三角形，，，，，在△和△中，，△△，，，，，故答案為：127．15．在△中，，，為的中點(diǎn)，則邊上的中線的取值范圍是．解：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，在△和△中，，△△，，在△中，，即，，故答案為：．16．如圖，△中，，，，，則．解：設(shè)，，，，，，，，，解得：，，故答案為：．17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、點(diǎn)均在第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，△是一個(gè)等腰直角三角形且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，并且在第二象限，，△是一個(gè)等腰直角三角形且，，，由題意可得，，，的縱坐標(biāo)相等，，，，將，代入可得，，，，，故答案為：，．18．如圖，△是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，，、分別是邊、上，若，，則△的面積為．解：連接，在△中，，為邊的中線，，，，又，，，在△與△中，，△△．，同理．，．，，△為等腰直角三角形，，，．故答案為：．19．如圖，在四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以3厘米秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為或3厘米秒時(shí)，能夠使得△與△在某一時(shí)刻全等．解：設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米秒時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，△與△全等，此時(shí)厘米，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，厘米，，當(dāng)，時(shí)，△△，即，，解得，；當(dāng)，時(shí)，△△，即，，解得，；綜上所述，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為或3厘米秒時(shí)，能夠使得△與△在某一時(shí)刻全等．故答案為：或3．20．如圖，點(diǎn)是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，如果，，則的度數(shù)是．解：延長(zhǎng)到使，連接、，延長(zhǎng)交于，，，△△，，，，，，△是等邊三角形，，，，，平分，垂直平分，，，，．故答案為：．三、計(jì)算題（每題4分，16分）21．（4分）．解：原式．22．（4分）．解：．23．（4分）．解：原式．24．（4分）．解：，．四、解答題（第25、26題、28題每題6分，27題8分，29題8分）25．（6分）已知，，求的值．解：，，，，．26．（6分）如圖，點(diǎn)、、、在一條直線上，如果，，且，那么．為什么？（完成以下填空和說(shuō)理過(guò)程）解：（已知），①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，，②，③，（已知），④（等式性質(zhì)），即，在△和△中，△△，⑤，⑥．解：（已知），①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），，②鄰補(bǔ)角定義），③等角的補(bǔ)角相等），（已知），④（等式性質(zhì)），即，在△和△中，，△△，⑤全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），⑥內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②鄰補(bǔ)角定義；③等角的補(bǔ)角相等；④；⑤全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；⑥內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．27．（8分）直角坐標(biāo)系中，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）的坐標(biāo)、、分別為、、．（1）求三角形的面積．（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將三角形旋轉(zhuǎn)得到三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)．（3）已知，在軸上找點(diǎn)使得三角形為等腰三角形，在圖中畫(huà)出點(diǎn)并寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）三角形的面積為．（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將三角形旋轉(zhuǎn)得到三角形，點(diǎn)，．（3）如圖，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與軸相交于點(diǎn)，，作線段的垂直平分線，與軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)，，均滿足題意．可得點(diǎn)，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，或或，．28．（6分）如圖，已知，，分別平分和，過(guò)點(diǎn)，試說(shuō)明：．解：在上截取，連接，平分，，在△和△中，，△△，，，，，，平分，，在△和△中，，△△，，，，，．29．（8分）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到△△，推理依據(jù)是．進(jìn)而得到，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2