《復數(shù)的幾何意義》鏈接高考1.已知復數(shù)(z=3+4i)，求其在復平面內(nèi)對應的點以及該復數(shù)的模。答案：在復平面內(nèi)，復數(shù)(z=a+bi)（(a,binR)）對應的點為((a,b))，所以(z=3+4i)對應的點為((3,4))。復數(shù)的模(vertzvert=sqrt{a^{2}+b^{2}})，則(vertzvert=sqrt{3^{2}+4^{2}}=5)。分析：根據(jù)復數(shù)的幾何意義及模的計算公式直接求解。2.若復數(shù)(z=(m1)+(m+2)i)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求實數(shù)(m)的取值范圍。答案：因為復數(shù)(z=(m1)+(m+2)i)在復平面內(nèi)對應的點為((m1,m+2))，且該點位于第二象限，所以(begin{cases}m1lt0m+2gt0end{cases})，解得(2ltmlt1)。分析：第二象限內(nèi)點的橫坐標小于(0)，縱坐標大于(0)，據(jù)此列不等式組求解。3.已知復數(shù)(z_1=2i)，(z_2=1+3i)，求(z_1+z_2)在復平面內(nèi)對應的點。答案：(z_1+z_2=(2i)+(1+3i)=(21)+(1+3)i=1+2i)，所以(z_1+z_2)在復平面內(nèi)對應的點為((1,2))。分析：先求出(z_1+z_2)，再根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系得出結果。4.復數(shù)(z)滿足(vertz1vert=vertzivert)，則(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是什么。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz1vert=vert(x1)+yivert=sqrt{(x1)^{2}+y^{2}})，(vertzivert=vertx+(y1)ivert=sqrt{x^{2}+(y1)^{2}})。因為(vertz1vert=vertzivert)，所以(sqrt{(x1)^{2}+y^{2}}=sqrt{x^{2}+(y1)^{2}})，兩邊平方得((x1)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y1)^{2})，展開得(x^{2}2x+1+y^{2}=x^{2}+y^{2}2y+1)，化簡得(x=y)，所以(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是直線(y=x)。分析：設出復數(shù)(z)的代數(shù)形式，根據(jù)復數(shù)的模的計算公式列出等式，化簡后得到軌跡方程。5.已知復數(shù)(z)對應的向量為(overrightarrow{OZ})（(O)為坐標原點），(overrightarrow{OZ})繞原點(O)按逆時針方向旋轉(frac{pi}{2})后得到向量(overrightarrow{OZ_1})，若(z=1+i)，求(z_1)。答案：已知(z=1+i=sqrt{2}(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4}))，根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，將(z)對應的向量繞原點逆時針旋轉(frac{pi}{2})，則(z_1=sqrt{2}(cos(frac{pi}{4}+frac{pi}{2})+isin(frac{pi}{4}+frac{pi}{2}))=sqrt{2}(cosfrac{3pi}{4}+isinfrac{3pi}{4})=sqrt{2}(frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i)=1+i)。分析：先將復數(shù)(z)化為三角形式，再利用復數(shù)乘法的幾何意義求出旋轉后的復數(shù)。6.若復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點在直線(y=x)上，且(vertzvert=sqrt{2})，求(z)。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點((x,y))在直線(y=x)上，所以(y=x)。又因為(vertzvert=sqrt{2})，即(sqrt{x^{2}+y^{2}}=sqrt{2})，將(y=x)代入得(sqrt{x^{2}+(x)^{2}}=sqrt{2})，(sqrt{2x^{2}}=sqrt{2})，(x^{2}=1)，解得(x=1)或(x=1)。當(x=1)時，(y=1)，(z=1i)；當(x=1)時，(y=1)，(z=1+i)。分析：根據(jù)點在直線上及復數(shù)模的條件列出方程組求解。7.已知復數(shù)(z_1=2+3i)，(z_2=42i)，求(z_1z_2)在復平面內(nèi)對應的向量。答案：(z_1z_2=(2+3i)(42i)=(24)+(3+2)i=6+5i)，所以(z_1z_2)在復平面內(nèi)對應的向量為((6,5))。分析：先計算(z_1z_2)，再根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應關系得出結果。8.復數(shù)(z)滿足(vertz+1vert+vertz1vert=4)，則(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是什么。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz+1vert=vert(x+1)+yivert=sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}})，(vertz1vert=vert(x1)+yivert=sqrt{(x1)^{2}+y^{2}})。(vertz+1vert+vertz1vert=4)表示復平面內(nèi)點((x,y))到點((1,0))和((1,0))的距離之和為(4)，且(4gtvert1(1)vert=2)，根據(jù)橢圓的定義，可知(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以((1,0))，((1,0))為焦點，長軸長為(4)的橢圓。分析：根據(jù)復數(shù)的模的幾何意義及橢圓的定義判斷軌跡。9.已知復數(shù)(z=(2m^{2}3m2)+(m^{2}3m+2)i)，當(m)為何值時，復數(shù)(z)對應的點在虛軸上。答案：因為復數(shù)(z)對應的點在虛軸上，所以其實部(2m^{2}3m2=0)，即((2m+1)(m2)=0)，解得(m=2)或(m=frac{1}{2})。當(m=2)時，(m^{2}3m+2=2^{2}3times2+2=0)；當(m=frac{1}{2})時，(m^{2}3m+2=(frac{1}{2})^{2}3times(frac{1}{2})+2=frac{1}{4}+frac{3}{2}+2=frac{1+6+8}{4}=frac{15}{4}neq0)。所以(m=frac{1}{2})。分析：虛軸上的點實部為(0)，同時要注意虛部不為(0)。10.若復數(shù)(z)滿足(vertz2ivert=1)，求(vertzvert)的最大值和最小值。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz2ivert=vertx+(y2)ivert=sqrt{x^{2}+(y2)^{2}}=1)，即(x^{2}+(y2)^{2}=1)，它表示以((0,2))為圓心，(1)為半徑的圓。(vertzvert=sqrt{x^{2}+y^{2}})表示圓上的點到原點的距離。圓心((0,2))到原點的距離為(2)，所以(vertzvert_{max}=2+1=3)，(vertzvert_{min}=21=1)。分析：根據(jù)復數(shù)的模的幾何意義，將問題轉化為圓上的點到原點的距離問題。11.已知復數(shù)(z_1=3+2i)，(z_2=14i)，求(z_1cdotz_2)在復平面內(nèi)對應的點。答案：(z_1cdotz_2=(3+2i)(14i)=312i+2i8i^{2}=310i+8=1110i)，所以(z_1cdotz_2)在復平面內(nèi)對應的點為((11,10))。分析：先計算(z_1cdotz_2)，再根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系得出結果。12.復數(shù)(z)滿足(vertz+3vert+vertz3vert=10)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡方程。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz+3vert=vert(x+3)+yivert=sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})，(vertz3vert=vert(x3)+yivert=sqrt{(x3)^{2}+y^{2}})。因為(vertz+3vert+vertz3vert=10)，所以點((x,y))到點((3,0))和((3,0))的距離之和為(10)，且(10gtvert3(3)vert=6)，根據(jù)橢圓的定義，(2a=10)，(a=5)，(c=3)，(b^{2}=a^{2}c^{2}=259=16)，所以軌跡方程為(frac{x^{2}}{25}+frac{y^{2}}{16}=1)。分析：根據(jù)橢圓的定義求出(a,b)的值，進而得到軌跡方程。13.已知復數(shù)(z)對應的點在以((0,3))為圓心，(2)為半徑的圓上，求(vertz1vert)的最小值。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)對應的點((x,y))在以((0,3))為圓心，(2)為半徑的圓上，所以(x^{2}+(y3)^{2}=4)。(vertz1vert=vert(x1)+yivert=sqrt{(x1)^{2}+y^{2}})，它表示圓上的點到點((1,0))的距離。圓心((0,3))到點((1,0))的距離為(sqrt{(01)^{2}+(30)^{2}}=sqrt{1+9}=sqrt{10})，所以(vertz1vert_{min}=sqrt{10}2)。分析：將(vertz1vert)的幾何意義轉化為圓上的點到定點的距離問題。14.若復數(shù)(z_1=1+2i)，(z_2=2i)，求(frac{z_1}{z_2})在復平面內(nèi)對應的點。答案：(frac{z_1}{z_2}=frac{1+2i}{2i}=frac{(1+2i)(2+i)}{(2i)(2+i)}=frac{2+i+4i+2i^{2}}{4i^{2}}=frac{2+5i2}{4+1}=frac{5i}{5}=i)，所以(frac{z_1}{z_2})在復平面內(nèi)對應的點為((0,1))。分析：先對(frac{z_1}{z_2})進行化簡，再根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關系得出結果。15.復數(shù)(z)滿足(vertz1+ivert=2)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz1+ivert=vert(x1)+(y+1)ivert=sqrt{(x1)^{2}+(y+1)^{2}}=2)，兩邊平方得((x1)^{2}+(y+1)^{2}=4)，所以(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以((1,1))為圓心，(2)為半徑的圓。分析：根據(jù)復數(shù)模的幾何意義得出軌跡方程。16.已知復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，且(vertzvert=5)，(z+frac{1}{z})是實數(shù)，求(z)。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)且(xgt0,ygt0)），因為(vertzvert=5)，所以(x^{2}+y^{2}=25)。(z+frac{1}{z}=x+yi+frac{1}{x+yi}=x+yi+frac{xyi}{(x+yi)(xyi)}=x+yi+frac{xyi}{x^{2}+y^{2}}=x+yi+frac{xyi}{25}=(x+frac{x}{25})+(yfrac{y}{25})i)。因為(z+frac{1}{z})是實數(shù)，所以(yfrac{y}{25}=0)，即(y(1frac{1}{25})=0)，因為(ygt0)，所以(1frac{1}{25}=0)不成立，只能(y=0)（舍去）或(y=pmfrac{12}{5})，又(ygt0)，所以(y=frac{12}{5})，代入(x^{2}+y^{2}=25)得(x^{2}+(frac{12}{5})^{2}=25)，(x^{2}=25frac{144}{25}=frac{625144}{25}=frac{481}{25})，(x=frac{sqrt{481}}{5})，所以(z=frac{sqrt{481}}{5}+frac{12}{5}i)。分析：先設出(z)的代數(shù)形式，根據(jù)(vertzvert)的值及(z+frac{1}{z})是實數(shù)列出方程求解。17.已知復數(shù)(z_1=1+3i)，(z_2=2+i)，求(z_1z_2)的模。答案：(z_1z_2=(1+3i)(2+i)=(12)+(31)i=3+2i)，(vertz_1z_2vert=sqrt{(3)^{2}+2^{2}}=sqrt{9+4}=sqrt{13})。分析：先計算(z_1z_2)，再求其模。18.復數(shù)(z)滿足(vertz2vert=vertz+2ivert)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡方程。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz2vert=vert(x2)+yivert=sqrt{(x2)^{2}+y^{2}})，(vertz+2ivert=vertx+(y+2)ivert=sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}})。因為(vertz2vert=vertz+2ivert)，所以(sqrt{(x2)^{2}+y^{2}}=sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}})，兩邊平方得((x2)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+2)^{2})，展開得(x^{2}4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}+4y+4)，化簡得(x+y=0)。分析：根據(jù)復數(shù)模的幾何意義列出等式并化簡。19.已知復數(shù)(z)對應的向量為(overrightarrow{OZ})，將(overrightarrow{OZ})繞原點(O)按順時針方向旋轉(frac{pi}{3})后得到向量(overrightarrow{OZ_1})，若(z=2+2sqrt{3}i)，求(z_1)。答案：(z=2+2sqrt{3}i=4(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3}))，將其繞原點順時針旋轉(frac{pi}{3})，則(z_1=4(cos(frac{pi}{3}frac{pi}{3})+isin(frac{pi}{3}frac{pi}{3}))=4(cos0+isin0)=4)。分析：先將復數(shù)化為三角形式，再根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義進行旋轉計算。20.若復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點在直線(xy=0)上，且(vertz1vert=1)，求(z)。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點((x,y))在直線(xy=0)上，所以(x=y)。又因為(vertz1vert=1)，即(vert(x1)+yivert=1)，(sqrt{(x1)^{2}+y^{2}}=1)，將(y=x)代入得(sqrt{(x1)^{2}+x^{2}}=1)，((x1)^{2}+x^{2}=1)，(x^{2}2x+1+x^{2}=1)，(2x^{2}2x=0)，(2x(x1)=0)，解得(x=0)或(x=1)。當(x=0)時，(y=0)，(z=0)；當(x=1)時，(y=1)，(z=1+i)。分析：根據(jù)點在直線上及復數(shù)模的條件列出方程組求解。21.已知復數(shù)(z_1=34i)，(z_2=2+i)，求(z_1+z_2)的模。答案：(z_1+z_2=(34i)+(2+i)=(32)+(4+1)i=13i)，(vertz_1+z_2vert=sqrt{1^{2}+(3)^{2}}=sqrt{1+9}=sqrt{10})。分析：先計算(z_1+z_2)，再求其模。22.復數(shù)(z)滿足(vertz23ivert=2)，求(vertzvert)的取值范圍。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz23ivert=vert(x2)+(y3)ivert=sqrt{(x2)^{2}+(y3)^{2}}=2)，它表示以((2,3))為圓心，(2)為半徑的圓。圓心((2,3))到原點的距離為(sqrt{2^{2}+3^{2}}=sqrt{13})，所以(vertzvert_{min}=sqrt{13}2)，(vertzvert_{max}=sqrt{13}+2)，即(vertzvert)的取值范圍是([sqrt{13}2,sqrt{13}+2])。分析：將問題轉化為圓上的點到原點的距離問題。23.已知復數(shù)(z_1=1+i)，(z_2=23i)，求(z_1cdotz_2)的模。答案：(z_1cdotz_2=(1+i)(23i)=23i+2i3i^{2}=2i+3=5i)，(vertz_1cdotz_2vert=sqrt{5^{2}+(1)^{2}}=sqrt{25+1}=sqrt{26})。分析：先計算(z_1cdotz_2)，再求其模。24.復數(shù)(z)滿足(vertz+2vert+vertz2vert=6)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡方程。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz+2vert=vert(x+2)+yivert=sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}})，(vertz2vert=vert(x2)+yivert=sqrt{(x2)^{2}+y^{2}})。因為(vertz+2vert+vertz2vert=6)，且(6gtvert2(2)vert=4)，根據(jù)橢圓的定義，(2a=6)，(a=3)，(c=2)，(b^{2}=a^{2}c^{2}=94=5)，所以軌跡方程為(frac{x^{2}}{9}+frac{y^{2}}{5}=1)。分析：根據(jù)橢圓的定義求出(a,b)的值，進而得到軌跡方程。25.已知復數(shù)(z)對應的點在以((1,0))為圓心，(1)為半徑的圓上，求(vertz2ivert)的最大值。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)對應的點((x,y))在以((1,0))為圓心，(1)為半徑的圓上，所以((x+1)^{2}+y^{2}=1)。(vertz2ivert=vertx+(y2)ivert=sqrt{x^{2}+(y2)^{2}})，它表示圓上的點到點((0,2))的距離。圓心((1,0))到點((0,2))的距離為(sqrt{(10)^{2}+(02)^{2}}=sqrt{1+4}=sqrt{5})，所以(vertz2ivert_{max}=sqrt{5}+1)。分析：將問題轉化為圓上的點到定點的距離問題。26.若復數(shù)(z)滿足(vertz3vert=vertz+3ivert)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz3vert=vert(x3)+yivert=sqrt{(x3)^{2}+y^{2}})，(vertz+3ivert=vertx+(y+3)ivert=sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}})。因為(vertz3vert=vertz+3ivert)，所以(sqrt{(x3)^{2}+y^{2}}=sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}})，兩邊平方得((x3)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+3)^{2})，展開得(x^{2}6x+9+y^{2}=x^{2}+y^{2}+6y+9)，化簡得(x+y=0)，所以(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是直線(x+y=0)。分析：根據(jù)復數(shù)模的幾何意義列出等式并化簡。27.已知復數(shù)(z_1=2+i)，(z_2=1+2i)，求(frac{z_1}{z_2})的模。答案：(frac{z_1}{z_2}=frac{2+i}{1+2i}=frac{(2+i)(12i)}{(1+2i)(12i)}=frac{24ii2i^{2}}{14i^{2}}=frac{25i+2}{1+4}=frac{5i}{5}=i)，(vertfrac{z_1}{z_2}vert=1)。分析：先化簡(frac{z_1}{z_2})，再求其模。28.復數(shù)(z)滿足(vertz1+2ivert=2)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離的最大值。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz1+2ivert=vert(x1)+(y+2)ivert=sqrt{(x1)^{2}+(y+2)^{2}}=2)，它表示以((1,2))為圓心，(2)為半徑的圓。圓心((1,2))到原點的距離為(sqrt{1^{2}+(2)^{2}}=sqrt{5})，所以(z)在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離的最大值為(sqrt{5}+2)。分析：將問題轉化為圓上的點到原點的距離問題。29.已知復數(shù)(z)對應的向量為(overrightarrow{OZ})，將(overrightarrow{OZ})繞原點(O)按逆時針方向旋轉(frac{pi}{4})后得到向量(overrightarrow{OZ_1})，若(z=1i)，求(z_1)。答案：(z=1i=sqrt{2}(cos(frac{pi}{4})+isin(frac{pi}{4})))，將其繞原點逆時針旋轉(frac{pi}{4})，則(z_1=sqrt{2}(cos(frac{pi}{4}+frac{pi}{4})+isin(frac{pi}{4}+frac{pi}{4}))=sqrt{2}(cos0+isin0)=sqrt{2})。分析：先將復數(shù)化為三角形式，再根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義進行旋轉計算。30.若復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點在直線(2x+y=0)上，且(vertz2vert=2)，求(z)。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)在復平面內(nèi)對應的點((x,y))在直線(2x+y=0)上，所以(y=2x)。又因為(vertz2vert=2)，即(vert(x2)+yivert=2)，(sqrt{(x2)^{2}+y^{2}}=2)，將(y=2x)代入得(sqrt{(x2)^{2}+(2x)^{2}}=2)，((x2)^{2}+4x^{2}=4)，(x^{2}4x+4+4x^{2}=4)，(5x^{2}4x=0)，(x(5x4)=0)，解得(x=0)或(x=frac{4}{5})。當(x=0)時，(y=0)，(z=0)；當(x=frac{4}{5})時，(y=frac{8}{5})，(z=frac{4}{5}frac{8}{5}i)。分析：根據(jù)點在直線上及復數(shù)模的條件列出方程組求解。31.已知復數(shù)(z_1=3+4i)，(z_2=1i)，求(z_1z_2)對應的向量。答案：(z_1z_2=(3+4i)(1i)=(31)+(4+1)i=4+5i)，所以(z_1z_2)對應的向量為((4,5))。分析：先計算(z_1z_2)，再根據(jù)復數(shù)與向量的對應關系得出結果。32.復數(shù)(z)滿足(vertz+1ivert+vertz1+ivert=4)，求(z)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡方程。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），則(vertz+1ivert=vert(x+1)+(y1)ivert=sqrt{(x+1)^{2}+(y1)^{2}})，(vertz1+ivert=vert(x1)+(y+1)ivert=sqrt{(x1)^{2}+(y+1)^{2}})。因為(vertz+1ivert+vertz1+ivert=4)，且(4gtvert(11)+(1+1)ivert=2sqrt{2})，根據(jù)橢圓的定義，(2a=4)，(a=2)，(c=sqrt{2})，(b^{2}=a^{2}c^{2}=42=2)，所以軌跡方程為(frac{(x0)^{2}}{4}+frac{(y0)^{2}}{2}=1)，即(frac{x^{2}}{4}+frac{y^{2}}{2}=1)。分析：根據(jù)橢圓的定義求出(a,b)的值，進而得到軌跡方程。33.已知復數(shù)(z)對應的點在以((0,1))為圓心，(3)為半徑的圓上，求(vertz3vert)的最小值。答案：設(z=x+yi)（(x,yinR)），因為復數(shù)(z)對應的點((x,