大學高數(shù)考試及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導數(shù)是（）A.1B.2C.3D.04.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(2\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(\frac{1}{4}x^3+C\)6.曲線\(y=x^2\)與\(y=1\)所圍成的平面圖形的面積為（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.17.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂8.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y>0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x>0\)且\(y>0\)D.\(x\neq0\)且\(y\neq0\)9.設\(f(x,y)=x^2+y^2\)，則\(f_x(1,2)\)=（）A.1B.2C.4D.510.微分方程\(y'=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x^2+1\)D.\(y=2x+C\)答案：1.C2.B3.C4.A5.A6.B7.B8.A9.B10.A二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=\vertx\vert\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x<0\end{cases}\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是導數(shù)的運算法則（）A.\((u+v)'=u'+v'\)B.\((uv)'=u'v+uv'\)C.\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)（\(v\neq0\)）D.\((u^n)'=nu^{n-1}\)3.下列積分中，計算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\inte^xdx=e^x+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln\vertx\vert+C\)D.\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)4.關于級數(shù)，下列說法正確的有（）A.等比級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}aq^n\)，當\(\vertq\vert<1\)時收斂B.若\(\lim_{n\to\infty}u_n\neq0\)，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散C.正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)，若\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\)，則級數(shù)收斂D.交錯級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n\)，若\(u_{n+1}\lequ_n\)且\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)，則級數(shù)收斂5.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)與\(f_y(x_0,y_0)\)都存在B.\(f_x(x_0,y_0)\)與\(f_y(x_0,y_0)\)都連續(xù)C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)6.下列偏導數(shù)計算正確的是（）A.若\(z=x^2y\)，則\(z_x=2xy\)B.若\(z=\sin(xy)\)，則\(z_y=x\cos(xy)\)C.若\(z=\ln(x+y)\)，則\(z_x=\frac{1}{x+y}\)D.若\(z=e^{xy}\)，則\(z_y=e^{xy}\)7.計算二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)時，可化為累次積分的情況有（）A.\(D\)為\(X-\)型區(qū)域：\(a\leqx\leqb\)，\(\varphi_1(x)\leqy\leq\varphi_2(x)\)B.\(D\)為\(Y-\)型區(qū)域：\(c\leqy\leqd\)，\(\psi_1(y)\leqx\leq\psi_2(y)\)C.\(D\)為圓形區(qū)域\(x^2+y^2\leqR^2\)D.\(D\)為矩形區(qū)域\(a\leqx\leqb\)，\(c\leqy\leqd\)8.下列微分方程中，屬于一階線性微分方程的有（）A.\(y'+2y=x\)B.\(y'+y^2=0\)C.\(xy'+y=e^x\)D.\(y''+3y'+2y=0\)9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，以下說法正確的是（）A.駐點可能是極值點B.極值點一定是駐點C.導數(shù)為0的點是駐點D.函數(shù)的最值一定在端點或極值點處取得10.以下哪些是不定積分的性質（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\([\intf(x)dx]'=f(x)\)D.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)答案：1.AD2.ABC3.ABCD4.ABCD5.BC6.ABC7.ABD8.AC9.ACD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個函數(shù)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導，則一定在該點連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的單調遞增區(qū)間是\((-\infty,+\infty)\)。（）4.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)。（）5.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)是絕對收斂的。（）6.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處取得極小值。（）7.若\(z=f(x,y)\)，則\(z_{xy}=z_{yx}\)一定成立。（）8.微分方程\(y'+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)（\(C\)為任意常數(shù)）。（）9.函數(shù)\(y=\sinx\)的周期是\(2\pi\)。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關，與積分變量的符號無關。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。答案：先求導\(y'=3x^2-6x\)，令\(y'=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)，\(y'>0\)；\(0<x<2\)，\(y'<0\)；\(x>2\)，\(y'>0\)。所以極大值\(y(0)=5\)，極小值\(y(2)=1\)。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。答案：用分部積分法，設\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=e-(e-1)=1\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+2xy-y^2\)的偏導數(shù)\(z_x\)和\(z_y\)。答案：對\(x\)求偏導時把\(y\)看作常數(shù)，\(z_x=2x+2y\)；對\(y\)求偏導時把\(x\)看作常數(shù)，\(z_y=2x-2y\)。4.簡述判斷正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的比較判別法。答案：設正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)，若存在\(N\)，當\(n>N\)時，\(0\lequ_n\leqv_n\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發(fā)散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)發(fā)散。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調性、凹凸性和漸近線。答案：求導\(y'=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)，\(y''=\frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}\)。根據(jù)導數(shù)判斷單調性，\(y'\)在\((-\infty,0)\)大于0，\((0,+\infty)\)小于0。\(y''\)恒大于0，函數(shù)下凸。漸近線：\(x=\pm1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)（\(p\)為實數(shù)）的斂散性。答案：當\(p>1\)時，根據(jù)積分判別法或比較判別法可知級數(shù)收斂；當\(p=1\)時，該級數(shù)是調和級數(shù)，發(fā)散；當\(p<1\)時，與調和級數(shù)比較可知發(fā)散。3.舉例說明多元函數(shù)連續(xù)、可偏導、可微之間的關系。答案：函數(shù)連續(xù)不一定可偏導，如\(z