專題7：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也占有重要的位置.函數(shù)與不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，解決兩者結(jié)合在一起的問題，既要具備靈活運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)基本能力，又要具備較高的應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).<<<專題探究>>><<<專題探究>>>導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的證明是緊密相連且互相滲透的.在復(fù)習(xí)中，我們一定要注意它們的聯(lián)系，它們所涉及的問題往往是靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中有關(guān)不等式的知識，把這兩者完美地結(jié)合在一起.學(xué)生要在知識的交匯點學(xué)會思考分析，達到知識的融會貫通.同時，提高自己的分析問題和解決問題的能力.利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式，一方面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)，另一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，進而利用恒成立的不等式將沒有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列，巧妙地將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合在一起．證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量．通過多次求和達到證明的目的．此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到．已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)，而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式)，還要注意指、對數(shù)式的互化，如ex＞x題型一：題型一：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究i=1n題設(shè)情境是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、由不等式恒成立求參變量的取值范圍、應(yīng)用函數(shù)思想證明數(shù)列不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本知識求解；第（2）問應(yīng)用“帶參討論”技巧，結(jié)合同構(gòu)法和放縮法推導(dǎo)實數(shù)a的取值范圍；第（3）問利用第（2）問的相關(guān)結(jié)論：a=12，則?x>0，總有xe12x例1已知函數(shù)f(x)=xeax（1）當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)x>0時，f(x)<?1，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)n∈N?【思路點撥】第（1）問求出f'x，討論其符號后可得fx的單調(diào)性.第（2）問設(shè)?x=xeax?ex+1，求出?″x，先討論a>12時題設(shè)中的不等式不成立，再就0<a≤練1已知函數(shù)fx=ln（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的方程fx=?52x+b（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+3練2若存在實數(shù)a，對任意x∈D，使得函數(shù)fx>ax，則稱fx在D(1)已知函數(shù)fx=3ex+2a在2,+∞(2)(i)證明：函數(shù)gx=2xlnx+1+(ii)設(shè)n∈N?，證明：題型二：題型二：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究i=1nai題設(shè)情境是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、由不等式恒成立求參變量的取值范圍、應(yīng)用函數(shù)思想證明數(shù)列不等式.第（1）問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本知識求解；第（2）問應(yīng)用“特殊值法”，求得實數(shù)a的取值范圍，然后證明實數(shù)a在該范圍時，原不等式恒成立；第（3）問利用第（2）問的相關(guān)結(jié)論，結(jié)合待證不等式的結(jié)構(gòu)特征，得到不等式sinx?π例2函數(shù)fx（1）a=12,求（2）若fx≥cosx在x∈0,π上恒成立,（3）令函數(shù)gx=fx【思路點撥】(1)代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)問題等價于ax+cosx?sinx?1≤0，令?(x)=ax+cosx?sinx?1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍即可；

(3)求出g(x)=sinx，令x?π4=kπ15，得到x=4k+1560π，可得到sinkπ練3已知fx（1）當(dāng)a=e2時,（2）當(dāng)x∈0,+∞時,fx≥0（3）求證：22e?1+2練4已知函數(shù)fx=x+1lnx，曲線y=f(x)在（1）求證：x>1時，fx>ax+b（2）求證：ln21題型三：題型三：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究i=1n題設(shè)情境是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求a的值、證明函數(shù)不等式和數(shù)列不等式.第（1）問由曲線y=fx和y=gx在原點處的導(dǎo)數(shù)值相等求a的值，然后應(yīng)用凹凸反轉(zhuǎn)方法，通過構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式；第（2）問利用第（1）問的結(jié)論得到f例3已知函數(shù)fx=x22+axa>0，（1）求實數(shù)a的值，并證明：當(dāng)x>0時，fx（2）令bn=lnn+1n+1【思路點撥】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'0=g'0,便可求得a=1,從由f構(gòu)造函數(shù)?x（2）利用第（1）問結(jié)論得fn>gn，即2n+1練5函數(shù)fx=lnx+1+ax（1）求a的值；（2）證明：對于任意正整數(shù)n,nn?練6已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：對一切n∈N?均有n+1e題型四：題型四：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究i=1n題設(shè)情境是不等式恒成立求參數(shù)a的取值范圍，證明數(shù)列積的不等式.第（1）問應(yīng)用“帶參討論法”研究不等式恒成立問題，從而確定參數(shù)a的取值范圍；第（2）問利用第（1）問的結(jié)論：當(dāng)a=2時，fx<gx在1,+∞上成立，即例4已知函數(shù)fx=xlnx（1）若fx<gx在1,+∞上恒成立，求實數(shù)（2）求證：1+1n+1【思路點拔】第（1）問由x>0及xlnx?ax?12<0，所以構(gòu)造函數(shù)?x=練7已知fx=eaxx（1）當(dāng)a=12時，求函數(shù)fx在m,m+1（2）求證：練8已知fx=e(1)當(dāng)a=1時，分別求n=1和n=2的fx(2)求證：當(dāng)a=1時，fx=0有唯一實數(shù)解(3)若對任意的x≥0，n∈N?都有fx題型五：題型五：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究遞推數(shù)列相關(guān)的不等式問題題設(shè)情境是有關(guān)數(shù)列通項的不等式證明和新定義型數(shù)列通項范圍的探究.第（1）問應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問應(yīng)用分析法，通過構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明；第（3）問利用第（1）問的結(jié)論，應(yīng)用放縮法和累加求和法證明不等式.例5已知數(shù)列{an}中，a1=23，且an+1=(1+12n)an+1n2（1）當(dāng)n≥2時，求證：an≥2；（2）求證：bn＜e；（3）對于數(shù)列{xn}如果存在常數(shù)A、B使得A≤xn≤B，則稱數(shù)列{xn}為具有上、下確界的數(shù)列，利用（1）（2）的結(jié)論探究數(shù)列{an}是否具有上、下確界的數(shù)列．請說明理由.【思路點拔】第(1)問由遞推關(guān)系式an+1轉(zhuǎn)換要證明bn<e成立，只須證(1+n)1n應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明；第(3)問利用第(1)問結(jié)論通過適當(dāng)放縮推導(dǎo)得an+1同時取對數(shù)得lna得an≤2練9已知函數(shù)f(x)=ln(e(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并說明理由；(2)若數(shù)列{an}滿足a1=1，a練10已知函數(shù)f(x)=&x?ln（1）若函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.（2）已知數(shù)列{an}滿足a①求證：0<a②設(shè)Pn=a<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈0,+∞，不等式f(2)對于任意正整數(shù)n，不等式1+12?2.已知函數(shù)f(x)=ax(1)若f(x)有2個相異極值點，求a的取值范圍；(2)若f(x)≥1，求a的值；(3)設(shè)m為正整數(shù)，若?n∈N?，(1+13.設(shè)函數(shù)fx=ln1+x，g(1)若函數(shù)?x=fx(2)設(shè)n∈N?，證明：1+14.已知正項數(shù)列an，aan+1=證明：（1）an+1<an；（2）5.已知函數(shù)f(x)=xcos（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈N?)個零點，證明：對一切n∈N?，有16.已知函數(shù)f(x)=sinx?xcosx（1）若a=0，證明：f(x)≥0；（2）若f(x)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）當(dāng)n≥2且n∈N?時，證明：7.已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=lnx，其中（1）若函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)有極值1，求a的值．（2）若函數(shù)G(x)=f[sin(1?x)]+g(x)在區(qū)間