5.1.2等式的性質(zhì)等式是數(shù)學(xué)中表示數(shù)量相等關(guān)系的基本形式，而等式的性質(zhì)則是解方程的理論依據(jù)。掌握等式的性質(zhì)，不僅能深入理解等式的本質(zhì)，更能為后續(xù)學(xué)習(xí)一元一次方程的解法提供邏輯支撐。等式的性質(zhì)看似簡單，但其嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的靈活性需要通過實(shí)例練習(xí)逐步體會。一、等式的定義回顧用等號“\(=\)”表示左右兩邊相等關(guān)系的式子叫做等式。例如：\(3+5=8\)、\(2x+3=9\)、\(a+b=b+a\)都是等式。等式由左邊的代數(shù)式、右邊的代數(shù)式和連接它們的等號三部分組成，它反映了左右兩邊在數(shù)量上的等價關(guān)系。二、等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。用字母表示為：如果\(a=b\)，那么\(a?±c=b?±c\)（\(c\)為任意數(shù)或整式）。幾何解釋：若天平左右兩邊平衡（表示\(a=b\)），在兩邊同時添加或移除相同質(zhì)量的物體（表示加或減\(c\)），天平仍然保持平衡（即\(a?±c=b?±c\)）。實(shí)例解析：已知\(x+5=12\)，根據(jù)性質(zhì)1，兩邊同時減\(5\)得：\(x+5-5=12-5\)，即\(x=7\)；已知\(a=b\)，兩邊同時加\((c+d)\)得：\(a+c+d=b+c+d\)，結(jié)果仍為等式。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為\(0\)的數(shù)，結(jié)果仍相等。用字母表示為：如果\(a=b\)，那么\(ac=bc\)；如果\(a=b\)（\(ca?

0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)（\(c\)為任意數(shù)，且除法中\(zhòng)(ca?

0\)）。關(guān)鍵提醒：除以的數(shù)不能為\(0\)，因?yàn)閈(0\)不能作為除數(shù)，否則等式無意義。例如：若\(a=b\)，不能推出\(\frac{a}{0}=\frac{0}\)。實(shí)例解析：已知\(3x=15\)，根據(jù)性質(zhì)2，兩邊同時除以\(3\)得：\(\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}\)，即\(x=5\)；已知\(m=n\)，兩邊同時乘\(-2\)得：\(-2m=-2n\)，結(jié)果仍為等式；已知\(4y=12\)，若兩邊同時除以\(4\)得\(y=3\)，但若除以\(0\)則無意義。三、等式性質(zhì)的拓展應(yīng)用等式的對稱性：如果\(a=b\)，那么\(b=a\)。例如：由\(5=x+2\)可得\(x+2=5\)，這是等式左右兩邊的互換，本質(zhì)上是等式性質(zhì)的自然延伸。等式的傳遞性：如果\(a=b\)且\(b=c\)，那么\(a=c\)。例如：若\(x=y\)且\(y=3\)，則\(x=3\)，這體現(xiàn)了等量之間的間接相等關(guān)系。含括號的等式變形：當(dāng)?shù)仁絻蛇吅欣ㄌ枙r，可先利用分配律去括號，再應(yīng)用等式的性質(zhì)變形。例如：解方程\(2(x+3)=10\)時，先去括號得\(2x+6=10\)，再根據(jù)性質(zhì)1兩邊減\(6\)得\(2x=4\)，最后根據(jù)性質(zhì)2兩邊除以\(2\)得\(x=2\)。四、利用等式的性質(zhì)解方程等式的性質(zhì)是解方程的核心工具，其目標(biāo)是通過等式變形將方程轉(zhuǎn)化為\(x=a\)（\(a\)為常數(shù)）的形式?；静襟E如下：消除常數(shù)項(xiàng)：利用等式的性質(zhì)1，在方程兩邊同時加或減同一個數(shù)（或式子），將方程左邊化為只含未知數(shù)的項(xiàng)，右邊化為常數(shù)項(xiàng)。例如：解方程\(x-7=15\)時，兩邊加\(7\)得\(x=22\)。系數(shù)化為1：利用等式的性質(zhì)2，在方程兩邊同時乘未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)（或除以未知數(shù)的系數(shù)），將未知數(shù)的系數(shù)化為\(1\)。例如：解方程\(5x=40\)時，兩邊除以\(5\)得\(x=8\)。示例：利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）\(2x+5=13\)（2）\(\frac{1}{3}x-2=1\)解：（1）兩邊減\(5\)（性質(zhì)1）：\(2x+5-5=13-5\)，即\(2x=8\)，兩邊除以\(2\)（性質(zhì)2）：\(x=4\)；（2）兩邊加\(2\)（性質(zhì)1）：\(\frac{1}{3}x-2+2=1+2\)，即\(\frac{1}{3}x=3\)，兩邊乘\(3\)（性質(zhì)2）：\(x=9\)。五、常見錯誤與規(guī)避方法等式變形時兩邊操作不一致：常見錯誤：解方程\(x+4=9\)時，只在左邊減\(4\)，右邊不變，得到\(x=9\)（錯誤）；解方程\(3x=12\)時，左邊除以\(3\)，右邊乘\(3\)，得到\(x=36\)（錯誤）。規(guī)避方法：牢記等式變形的核心原則——“兩邊同時操作”，無論是加、減、乘、除，都必須在等式兩邊同時進(jìn)行，確保左右兩邊始終保持相等關(guān)系。忽略等式性質(zhì)2中的“除數(shù)不為0”：常見錯誤：解方程\(0x=5\)時，錯誤地兩邊除以\(0\)，試圖得到\(x=\frac{5}{0}\)（無意義）。規(guī)避方法：明確等式性質(zhì)2中除法的條件（除數(shù)不為0），對于\(0x=a\)的形式，若\(aa?

0\)，方程無解；若\(a=0\)，方程有無數(shù)個解。對“同一個數(shù)或式子”理解片面：常見錯誤：解方程\(x-3=5\)時，左邊加\(3\)，右邊加\(5\)（不是同一個數(shù)），得到\(x=10\)（錯誤）。規(guī)避方法：等式性質(zhì)1中的“同一個數(shù)或式子”要求兩邊加（或減）的對象完全相同，不能隨意改變數(shù)值。去括號或移項(xiàng)時符號錯誤：常見錯誤：解方程\(2(x-1)=6\)時，去括號錯誤地得到\(2x-1=6\)（漏乘常數(shù)項(xiàng)），進(jìn)而變形為\(2x=7\)（錯誤）。規(guī)避方法：應(yīng)用等式性質(zhì)前，若有括號需先正確去括號（利用分配律），確保每一項(xiàng)都參與運(yùn)算，避免漏乘或符號錯誤。六、典型例題解析利用等式性質(zhì)判斷變形是否正確：例：下列等式變形正確的是（

）A.若\(x=y\)，則\(x+2=y-2\)B.若\(a=b\)，則\(ac=bc\)C.若\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)，則\(a=b\)（\(ca?

0\)）D.若\(x=y\)，則\(\frac{x}{a}=\frac{y}{a}\)解：A兩邊操作不同（加2與減2），錯誤；B符合性質(zhì)2，正確；C需\(ca?

0\)才能成立，題目已注明，正確；D未說明\(aa?

0\)，錯誤。答案：B、C。利用等式性質(zhì)解方程：例：用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）\(5x-1=9\)（2）\(3-2x=7\)解：（1）兩邊加\(1\)：\(5x=10\)，兩邊除以\(5\)：\(x=2\)；（2）兩邊減\(3\)：\(-2x=4\)，兩邊除以\(-2\)：\(x=-2\)。等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用：例：已知\(2x+3=11\)，利用等式的性質(zhì)求\(x+1\)的值。解：由\(2x+3=11\)，兩邊減\(3\)得\(2x=8\)，兩邊除以\(2\)得\(x=4\)，因此\(x+1=4+1=5\)。含參數(shù)的等式變形：例：已知\(ax+b=cx+d\)（\(aa?

c\)），利用等式的性質(zhì)證明\(x=\frac{d-b}{a-c}\)。證明：兩邊減\(cx\)和\(b\)（性質(zhì)1）：\(ax-cx=d-b\)，合并同類項(xiàng)：\((a-c)x=d-b\)，兩邊除以\((a-c)\)（性質(zhì)2，因\(aa?

c\)，除數(shù)不為0）：\(x=\frac{d-b}{a-c}\)。等式的性質(zhì)是等式變形的根本依據(jù)，其核心思想是“平衡”——等式兩邊的操作必須完全一致。性質(zhì)1適用于消除常數(shù)項(xiàng)，性質(zhì)2適用于將未知數(shù)系數(shù)化為1，二者結(jié)合可完成一元一次方程的求解。在學(xué)習(xí)過程中，需通過大量實(shí)例練習(xí)，深刻理解性質(zhì)的條件（如除數(shù)不為0）和操作的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免因步驟疏漏導(dǎo)致的錯誤。等式的性質(zhì)不僅是解方程的工具，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的邏輯性和等價轉(zhuǎn)化的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程和代數(shù)知識奠定基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)七年級上冊授課教師：

.班級：

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5.1.2等式的性質(zhì)第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.能用文字和數(shù)學(xué)式子表達(dá)等式的兩個性質(zhì).2.能用等式的性質(zhì)解簡單的一元一次方程.方程是含有未知數(shù)的等式，為了研究解方程，先來看看等式有什么性質(zhì).你能說出2x=3，x+1=3這樣簡單方程的解嗎？你能直接說出方程2x+13-x-12=1的解嗎？用等號表示相等關(guān)系的式子叫作等式.我們可以用a=b

表示一般的等式.

下列各式中哪些是等式？①abc

②3a+2b

③xy+y2－5④5⑤2+3=5⑥3×4=12⑦9x+10=19××××√√√首先，給出關(guān)于等式的兩個基本事實(shí).等式兩邊可以交換.如果a=b，那么b=a.相等關(guān)系可以傳遞.如果a=b，b=c，那么a=c.思考在小學(xué)，我們已經(jīng)知道：等式兩邊同時加（或減）同一個正數(shù)，同時乘同一個正數(shù)，或同時除以同一個不為0的正數(shù)，結(jié)果仍相等.100g100g引入負(fù)數(shù)后，這些性質(zhì)還成立嗎？你可以用一些具體的數(shù)試一試.一般地，等式有以下性質(zhì)：等式的性質(zhì)1等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.如果a=b，那么a±c=b±c.等式的性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，c

≠0，那么.例題【教材P116】

例3根據(jù)等式的性質(zhì)填空，并說明依據(jù)：（1）如果2x=5-x，那么2x+______=5；（2）如果m+2n=5+2n，那么m=______；x根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊加x，結(jié)果仍相等.5根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊減2n，結(jié)果仍相等.例題【教材P116】（3）如果x=-4，那么______·x=28；（4）如果3m=4n，那么

m=____·n.-7根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊乘-7，結(jié)果仍相等.2根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊除以2，結(jié)果仍相等.鞏固練習(xí)根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，下列變形錯誤的是（）A.若x-a=y-a，則x=yB.若ac2=bc2，則a=bC.若2x=x+y，則x=yD.若，則x=yB知識點(diǎn)睛（1）只有等式兩邊進(jìn)行同一種運(yùn)算時，等式才仍然成立.（2）當(dāng)?shù)仁絻蛇叧酝粋€式子時，若確定該式子不為0，則變形正確，若不確定，則變形錯誤.例4利用等式的性質(zhì)解下列方程：

例題【教材P116】（1）x+7=26；（2）-5x=20；（3）x-

5=4.解：（1）方程兩邊減7，得x=19.于是x+7-7=26-7小結(jié)：解一元一次方程要“化歸”為“x=a”的形式.例4利用等式的性質(zhì)解下列方程：

（1）x+7=26；（2）-5x=20；（3）x-

5=4.（2）方程兩邊除以-5，得.于是x=-4.例題【教材P116】例4利用等式的性質(zhì)解下列方程：

（1）x+7=26；（2）-5x=20；（3）x-

5=4.例題【教材P116】（3）方程兩邊加5，得化簡，得方程兩邊乘-3，得x=-27.一般地，從方程解出未知數(shù)的值以后，通常需要代入原方程檢驗(yàn)，看這個值能否使方程的兩邊相等.檢驗(yàn)：將x=-27代入方程的左邊，則左邊=右邊=4左邊=右邊

所以x=-27是原方程的解.及時鞏固利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）x+5=7；（2）0.4x=-2；解：（1）方程兩邊減5，得x+5-5=7-5.于是x=2.（2）方程兩邊除以0.4，得

.于是x=-5.（3）x-6=-9；（4）-2-2x=5.（3）方程兩邊加6，得x-6+6=-9+6

.得x=-3.方程兩邊乘2，得x=-6.（4）方程兩邊加2，得-2-2x+2=5+2

.得-2x=7.方程兩邊除以-2，得x=-.利用等式的性質(zhì)解一元一次方程的一般步驟：（1）利用等式的性質(zhì)1，先把一元一次方程逐步變形成等號一邊只有含未知數(shù)的項(xiàng)，另一邊只有常數(shù)項(xiàng)的形式；（2）利用等式的性質(zhì)2，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為x

=

m（常數(shù)）的形式.【選自教材P117練習(xí)第1題】1.根據(jù)等式的性質(zhì)填空：（1）如果x=y，那么x+1=y+_____；（2）如果x+2=y+2，那么____=y；（3）如果x=y，那么____·x=5y；（4）如果3x=6y，那么x=____·y.1x522.利用等式的性質(zhì)解下列方程，并檢驗(yàn)：（1）x-

5=6；（2）0.3x

=45；解:（1）方程兩邊加5，得x

-5+5=6+5.于是x

=

11.【選自教材P117練習(xí)第2題】檢驗(yàn)：將x=11，代入x-5

=6的左邊，則左邊=x-5=6，右邊=6，左邊=右邊所以x=11是原方程的解.（2）方程兩邊除以0.3，得.于是x

=

150.2.利用等式的性質(zhì)解下列方程，并檢驗(yàn)：（1）x-

5=6；（2）0.3x

=45；檢驗(yàn)：將x=150，代入0.3x

=45的左邊，則左邊=0.3×150=45，右邊=45，左邊=右邊所以x=150是原方程的解.（3）5x+4=0；（4）2-

x

=3.（3）方程兩邊減4，得5x+4-4=0-4.化簡，得5x

=

-4.方程兩邊除以5，得x=-.檢驗(yàn)：將x=-

，代入5x+4

=0的左邊，則左邊=-

×5+4=0，右邊=0，左邊=右邊所以x=-是原方程的解.（4）方程兩邊減2，得2-

x

-2=3-2.化簡，得

-

x

=

1.方程兩邊乘-4，得x=-4

.（3）5x+4=0；（4）2-

x

=3.檢驗(yàn)：將x=-4，代入2-

x=3的左邊，則左邊=2-

×(-4)=3，右邊=3，左邊=右邊所以x=-4是原方程的解.習(xí)題5.11.列等式表示：（1）比a

大5的數(shù)等于8；（2）b

的三分之一等于9；（3）x

的2倍與10的和等于18；（4）x

的三分之一與y

的差等于6；（5）比a

的3倍大5的數(shù)等于a

的4倍；（6）比b

的一半小7的數(shù)等于a

與b

的和.a+5=82x+10=183a+5=4a2.根據(jù)下列圖形中標(biāo)出的量及其滿足的關(guān)系，列出方程：（1）（2）（3）x+2x+3x周長是14x°x°(3x)°x-1x面積是6x+x+2+x+3=143x+x+x=1803.x=3，x=0，x=-2分別是下列哪個方程的解？（1）5x+7=7-2x；（2）6x-

8=8x-

4；（3）3x-

2=4+x；（4）2x-3=5x-

6.x=3x=-2x=04.利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）x-4=29；（2）x+2=6；解：（1）方程兩邊加4，得x-4+4=29+4.于是x=33.（2）方程兩邊減2，得x+2-2=6-2.化簡，得x=4.方程兩邊乘2，得x=8.（3）3x+1=4；（4）4x

-2=2.（3）方程兩邊減1，得3x+1-1=4-1.化簡，得3x=3.方程兩邊除以3，得x=1.（4）方程兩邊加2，得4x-2+2=2+2.化簡，得4x=4.方程兩邊除以4，得x=1.綜合運(yùn)用列方程（第5~10題）:5.某校七年級（1）班共有學(xué)生48人，其中女生人數(shù)比

男生人數(shù)的多3，這個班有男生多少人？解：設(shè)這個班有男生x人.根據(jù)題意，得.6.把10000元獎學(xué)金按照兩種獎項(xiàng)獎給20名學(xué)生，

其中一等獎每人800元，二等獎每人400元.獲得

一等獎的學(xué)生有多少人？解：設(shè)獲得一等獎的學(xué)生有x人.根據(jù)題意，得800x+400(20-x)＝10000.7.去年某鎮(zhèn)居民人均可支配收入為30438元，比前年

增長了6.8%，前年這個鎮(zhèn)居民人均可支配收入為

多少元？解：設(shè)前