進(jìn)階篇不等式證明方法進(jìn)階1指對放縮切線放縮證明不等式是一種常用的方法，它可以解決許多數(shù)學(xué)問題，常見的有指對切線放縮，使用切線放縮可以深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).題型一指對切線放縮常見的指對切線放縮例1證明不等式：exln(x+2)>0.思維升華指對同時出現(xiàn)時，一般求導(dǎo)難以解決，常見的方法有隱零點、同構(gòu)、放縮等.跟蹤訓(xùn)練1當(dāng)x>0時，證明：ex2xlnx<xex+1e題型二指對增強放縮1.與ex相關(guān)的增強放縮(1)ex≥x+1ex≥1+x+x22(x≥0)ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xn(2)ex≥exex≥ex+(x1)2(x≥0).(3)通過變換得到的其他不等式把ex≥x+1中的x換成lnx，可得lnx≤x1.把ex≥x+1中的x換成x1，可得ex≥ex.把ex≥x+1中的x換成x，可得ex≥x+1，取倒數(shù)后可得ex≤11-x(x把ex≥x+1中的x換成x+lnx，可得ex+lnx=xex≥x+lnx+1(朗博同構(gòu)).2.與lnx相關(guān)的增強放縮(1)lnx≤x1ln(x+1)≤xlnx≥11xln(x+1)=xx22+x33x44+…+(1)nxn+1n+1+o(2)lnx≤xe(3)飄帶不等式：2(x-1)x+1≤lnx≤12(4)通過變換得到的其他不等式把lnx≤x1中的x換成ex，可得ex≥x+1.把lnx≤x1中的x換成xe，可得lnx≤x把lnx≤x1中的x換成x+1，可得ln(x+1)≤x.把ln(x+1)≤x中的x換成1n，可得ln(n+1)lnn<1把ln(x+1)≤x中的x換成1n+1，可得ln(n+1)lnn>例2證明：ex+1x≥2lnx+x2+(e2)思維升華在利用ex≥x+1或ex≥ex進(jìn)行切線放縮時，不等號右側(cè)的增長速度比左側(cè)的快，顯然不成立，此時選用增強版的曲線放縮.跟蹤訓(xùn)練2證明：對任意x>0，不等式ex+x2(e+1)x+ex>2成立答案精析例1證明要證exln(x+2)>0，即證ex>ln(x+2)，又ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，令t=x+2，則ln(x+2)=lnt≤t1=x+1，即ln(x+2)≤x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，故ex≥x+1≥ln(x+2)，等號成立的條件不一致，則ex>ln(x+2)，結(jié)論得證.跟蹤訓(xùn)練1證明要證當(dāng)x>0時，ex2xlnx<xex+1e只需證exlnx<ex+1e下證lnx≤1e即證ln1x≤1令t=1x，即證lnt≤1顯然成立，且等號成立的條件是t=e，即x=1e又ex≤ex，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，由不等式的基本性質(zhì)及等號成立的條件不一致得原不等式成立.例2證明由題意知x>0，因為ex≥ex+(x1)2，所以要證ex+1x≥2lnx+x2+(e2)x只需證ex+(x1)2+1x≥2lnx+x2+(e2)x即證ln1x≤1x令t=1x，即證lnt≤t1，顯然成立結(jié)論得證.跟蹤訓(xùn)練2證明因為ex≥ex，所以只需證ex+x2(e+1)x+ex>2即證x2x+ex>2即證x22x+1