1.7角平分線的性質(zhì)

第1章

三角形的初步認(rèn)識(shí)浙教版2024·八年級(jí)上冊章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)理解角平分線的定義與基本性質(zhì)學(xué)生能準(zhǔn)確描述角平分線的定義（將一個(gè)角分成兩個(gè)相等角的射線）掌握角平分線的基本性質(zhì)：角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等運(yùn)用性質(zhì)解決幾何問題能利用角平分線性質(zhì)證明簡單幾何命題（如全等三角形、線段或角度相等）結(jié)合尺規(guī)作圖，熟練完成給定角的平分線，并解釋作圖依據(jù)聯(lián)系實(shí)際與綜合應(yīng)用合運(yùn)用角平分線性質(zhì)與其他幾何知識(shí)（如垂直平分線、三角形內(nèi)角平分線定理*）解決復(fù)雜問題，培養(yǎng)邏輯推理能力。課堂導(dǎo)入我國紙傘的結(jié)構(gòu)十分巧妙。如圖，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平

面

內(nèi)

兩

條

傘

骨

所

成

的

角∠BAC，且AE＝AF，DE＝DF，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)。為什么？利用前面學(xué)的全等，可以得到△AED≌△AFD,∴∠EAD=∠DAF，AD是∠BAC的平分線舊知復(fù)習(xí)同學(xué)們分別準(zhǔn)備一個(gè)內(nèi)角為30°、90°、120°的三角形，通過對(duì)折這個(gè)內(nèi)角，使得角兩邊重合，折痕即為這個(gè)內(nèi)角的角平分線。

新知探究尺規(guī)作圖作角平分線已知∠BAC（如圖所示），用直尺和圓規(guī)作∠BAC的平分線AD。分析：如果能找到∠BAC的平分線上一點(diǎn)D，那么射線AD就是∠BAC的平分線。由于角平分線把角分成兩個(gè)相等的角，因此可以想象通過作兩個(gè)全等三角形來作出點(diǎn)D。1.以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，與角的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)。

3.作射線AD。射線AD就是所求作的∠BAC的平分線。新知探究同學(xué)們自己在作業(yè)本上畫出一個(gè)角的角平分線，在角平分線上分別取三個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3，通過P1、P2、P3作OA垂線，垂足為A1、A2、A3，作OB的垂線，垂足為B1、B2、B3，將測量數(shù)據(jù)填入下面表格。第一次第二次第三次P1A1P2A2P3A3P1B1P2B2P3B3P1A1=P1B1,P2A2=P2B2,P3A3=P3B3新知探究任意作一個(gè)角，記為∠BAC，P是∠BAC的平分線上的一點(diǎn)，PB⊥AB于點(diǎn)B，PC⊥AC于點(diǎn)C。比較PB和PC的大小，并證明你的結(jié)論。

角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。例1如圖，某電信部門要在公路m、n之間修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)村莊A、B的距離相等，到公路m、n的距離也相等，問：發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？請用尺規(guī)作圖法，在圖中用點(diǎn)P表示出發(fā)射塔應(yīng)建的置．（保留作圖痕跡，不寫作法）典例分析發(fā)射塔的位置垂直平分線性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，所以作垂直平分線角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，所以作角平分線變式訓(xùn)練如圖，在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，請用尺規(guī)作圖法在邊BC上確定點(diǎn)D，連接AD，使得∠ADC=70°．（保留作圖痕跡，不寫作法）D

例2

如圖，AB，AC，BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）典例分析A．三條角平分線的交點(diǎn)位置 B．三條高的交點(diǎn)位置C．三邊的中垂線的交點(diǎn)位置 D．三條中線的交點(diǎn)位置到三邊的距離相等應(yīng)該是角平分線上的點(diǎn)A變式訓(xùn)練如圖，有三條筆直的公路AB、AC、BC兩兩相交圍成一個(gè)三角形的建筑工地．若現(xiàn)在要在建筑工地外建一個(gè)沙石周轉(zhuǎn)站，使周轉(zhuǎn)站到三條公路的距離相等，則周轉(zhuǎn)站可供選擇的位置有

個(gè)．解題思路：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，分別作三角形的內(nèi)角與外角平分線可得到答案4P2P1P3P4例3如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若DC=6，AB=24，求△ADB的面積典例分析解題思路：由于AD平分∠BAC，所以點(diǎn)D到AC、AB距離相等，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DE即為AB邊上△ABD的高，DE等于CE，由此可求△ABD的面積

∟E變式訓(xùn)練如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD=100°，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接AE，若點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，求∠EAB的度數(shù)。解題思路：過點(diǎn)E作EF⊥AD，利用角的平分線的性質(zhì)和判定解答即可。

∟F課堂練習(xí)1．為進(jìn)一步美化校園，我校計(jì)劃在校園綠化區(qū)增設(shè)3條綠化帶，如圖所示，綠化帶MN∥PQ，綠化帶AB交綠化帶MN于A，交綠化帶PQ于B．若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等，則可供選擇的噴灌處修建點(diǎn)有

個(gè)2P1P2課堂練習(xí)2．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點(diǎn)D，CD=4，△CDE的周長為12，則AC的長是

。8解題思路：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AE=DE，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵解：∵BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC，∠A=90°∴AE=DE，∵△CDE的周長為12，∴CD+DE+EC=8，∵CE=4，∴DE+EC=8,∴AC=AE+EC=DE+EC=8課堂練習(xí)3．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到BC的距離為______．解：由題可知：EF⊥BC于點(diǎn)F，∵CD=5，CE=3,∴DE=CD-CE=5-3=2∵CD是AB邊上的高，∴ED⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴EF=DE=2，即點(diǎn)E到BC的距離EF為2解題思路：由題意可知：EF⊥BC于F，由線段的和差可得DE=CD-CE=5-3=2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出EF=DE=2即可解答2課堂練習(xí)4.如圖，有一塊五邊形草坪，現(xiàn)要在草坪內(nèi)部修建一處便民活動(dòng)中心，使得便民活動(dòng)中心到邊、邊的距離相等，且便民活動(dòng)中心到點(diǎn)的距離與便民活動(dòng)中心到點(diǎn)的距離相等，請你找出便民活動(dòng)中心的位置．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）解題思路：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，作角平分線和垂線等知識(shí)，作∠BAE的平分線和BC的垂直平分線相較于點(diǎn)Q即可Q課堂練習(xí)

解：根據(jù)題意可知，AD是∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠FAD∵AB=AF=5，AD=ADA,∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD=FD∴FD+DC=BD+DC=BC=9∵FC=AC-AF=8-5=3∴△CDF的周長為：FD+DC+FC=9+3=12此過程是對(duì)作∠BAC的角平分線的描述，所以AG是∠BAC的平分線12課堂練習(xí)6．如圖，BP是∠ABC內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)D在BP上，連接AD、CD，AD=CD，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分別是垂足，且PM=PN，求證：BP平分∠ABC．先由角平分線的性質(zhì)定義∠ADP=∠CDP，再證明△ABD≌△CBD，得到∠ABP=∠CBP，即可得到結(jié)論

課堂練習(xí)7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E．（1）若∠C=52°，∠BAC=68°，求∠ADB的度數(shù)；解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAC=2∠BAD，∠ABC=2∠ABE∵∠BED是△ABE的外角，∠BED=57°，∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=114°∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-（∠BAC+∠ABC）=66°（2）若∠BED=57°，求∠C的度數(shù)

課堂小結(jié)全等三角形：通過角平分線性質(zhì)構(gòu)造垂線段，進(jìn)而推導(dǎo)邊或角相等。綜合題型：結(jié)合垂直