2024-2025學(xué)年安徽省宣城市高一下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=2i（l+i）的虛部為（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

2.向量彼=（m—1,1）,b=則“租=2"是‘%//石”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.二進(jìn)制是以2為基數(shù)代表系統(tǒng)的二進(jìn)制，通常用0和1表示.二進(jìn)制011（2）化為十進(jìn)制的計(jì)算公式如下：

011（2）=0x22+1x21+1x20=3,若從二進(jìn)制數(shù)000（2）,001（2）,010⑵，110（2）,101（2）,111（2）中任選

一個(gè)，則二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)大于3的概率為（）

111?

AjB.§C.-D.-

4.已知非零向量沅，無滿足師|=2,同=4,|記+宿=5,則沅在針上的投影向量為（）

A.^-mB.-^mC.4-nD.

321632lo

5.一艘海輪從力處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40。方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一

座燈塔，海輪在2處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么B,C兩點(diǎn)

間的距離是（）

A.10，！海里B.10、行海里C.20，！海里D.20，^海里

6.一圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20c機(jī)，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180。，下列說法不正確

的是（）

A.圓臺(tái)的母線長是20cmB.圓臺(tái)的高是lOYWcm

C.圓臺(tái)的表面積是UOO-ncm2D.圓臺(tái)的體積是7OOO^Ticm3

7.在△ABC中，內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acosC=（2b-c）cosA,若角力的平分線2D的長為

1,則4b+c的最小值為（）

A.V3B.2/3C.3/3D.473

二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

8.若小，n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若m1a,n1a,則m〃n

B.若a_L0,m1p,ma,則m〃a

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C.若7n±S，THua,貝！Ja〃￡

D.若mca,九ua,m///3,n///?,貝!Ja〃6

9.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次，下列說法正確的是（）

A.樣本空間中一共含有4個(gè)樣本點(diǎn)

B.事件“兩次正面向上”發(fā)生的概率是,

C.事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”是互斥事件

D.事件“至少一次正面向上”與事件“兩次反面向上”是對(duì)立事件

10.在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說法正確的是（）

人.若4=45。，a=2,b=2/2,則△力BC只有一解

B.若荏?阮＞0,則△4BC為鈍角三角形

C.若△ABC的外心為。，AB=3,AC=5,貝l|萬?元=-8

D.若a-b=c,cosB-c-cos4,則△ABC的形狀是直角三角形

11.如圖，在邊長為2的正方形力BCD中，E,F分別是的BC,CD中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿力E,AF及EF

把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B,C,。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H,下列結(jié)論正確的是（）

A.AH1EF

B.三棱錐H-4EF的外接球的體積為2屆

C.點(diǎn)H到平面AEF的距離為|

1

D.二面角力-EF-H的余弦值為楙

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為a,2,2,4,4,5,6,b,8,8,若其第70百分位數(shù)等于其極差，則

2a+b=.

13.己知一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊

長為2的菱形4且。=2,則原平面圖形的周

長為.

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14.已知復(fù)數(shù)zi=2sin0-<3i,z2=1+（2cos6?）i,i為虛數(shù)單位.若86既,兀］,復(fù)數(shù)z>z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的向量分別為五，本存在。使得等式（府-尤）.0-石）=0成立，則實(shí)數(shù)％的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且△ABC的周長為.

sinB+sinc—sini4

（1）求角A;

（2）若△ABC外接圓的面積為4兀，求△ABC面積的最大值.

16.（本小題15分）

如圖，在正三棱柱ABC—4181cl中，HB=2,AAt=4,點(diǎn)M為的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)A到平面MBCi的距離；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)Q,使得4Q1平面BCiM?若存在，求出第的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（本小題15分）

為普及消防安全知識(shí)，某校開展了“消防知識(shí)競賽”活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加此次競賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加

該競賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的成績，其中成績不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“消防達(dá)人”，將

數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

（1）估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）;

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(2)若在抽取的100名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從

6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為消防達(dá)人的概率；

(3)已知[80,90)組的方差為9,[90,100]組的方差為6,試估計(jì)參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差

(每個(gè)分組區(qū)間內(nèi)平均數(shù)取區(qū)間中點(diǎn)，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).

18.(本小題17分)

在直角梯形4BCD中，已知4B〃DC,ADLAB,CD=1,AD=2,AB=3,動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC

上，力E和8。交于點(diǎn)M,且前=4就，痂=(1—4)反，Ae[0,1].

(1)當(dāng)4=今寸，求荏?麗的值；

(2)當(dāng)4=|時(shí)，求職的值；

⑶求|赤+：荏|的取值范圍.

19.(本小題17分)

如圖，四邊形力BCD是邊長為2的正方形，PA=4,平面P4B_L平面48CD,平面PAD_L平面力BCD.

(1)求證：PA1平面力BCD;

(2)求二面角力-PD-B的余弦值；

(3)點(diǎn)M在正方形4BCD內(nèi)(包括邊界)，若平面PAM，平面PDM,且乙4DM6仁,打求點(diǎn)M的軌跡長度.

43

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參考答案

l.B

2.4

3.C

4.C

5.A

6.D

7.C

8.CD

9.ABD

10.AB

ll.ACD

12.10

13.4-/^+4

14.[2-A<3,2+73]

3bsinC

15.解：（1）因?yàn)椤鰽BC的周長為

sinB+sinC-siri4

3bsinC

可得Q+b+C=

sinB+sinC-sinA'

由正弦定理，可得。+6+。=而丁即S+c）2-。2=3姐

整理得按+c2—a2=be,

又由余弦定理，可得cosA=筆出=票另

2bc2bc2

因?yàn)閍e

所以力=梟

(2)設(shè)△4BC的外接圖半徑為R,所以兀/?2=4兀，所以R=2,

由正弦定理得=2R,故。=2RsmA=4xf=273,

smA2

又a2=b2+c2-2bccosA,即12=按+—be/?2+c2=12+be,

b2+c2>2bc,???12+be>2bcbe<12,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)取等號(hào),

故^ABC面積的最大值為:x12x苧=3/3.

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16.解：(1)因?yàn)槿庵C-A/iCi是正三棱柱，

所以4411平面

因?yàn)镸Ciu平面&/的，

所以1MCi，

又因?yàn)镸是4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，所以

因?yàn)榱】ClAiBi=441，力iBiu平面力BB141，

所以MCi1平面ABB遇口

又MBu平面488遇1，

所以MCi1MB,

點(diǎn)M為4的中點(diǎn)，

所以Mg=V22-12=73.MB=VI2+42=AA17,

所以S/^MBCI=2xMCixMB=岑

Ug-ABM=|x|x2x4x

設(shè)點(diǎn)力到平面MB。的距離為d,

則匕l(fā)-MBCi=°CI-4BM，

所以9x等xd=^，解得d=察，

所以點(diǎn)力到平面MBCi的距離為d=竺

17

(2)由(1)可知CjM1平面A&BiB,

???QMu平面BC\M,則平面8clM1平面

在△4BM中作BM邊上的高4P,4P的延長線交于點(diǎn)Q,即有力QJ.BM,

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平面8clMC平面44/iB=BM,BMu平面

???AQ1平面BCiM,于是點(diǎn)Q即為所要找的點(diǎn)，

在Rt△ABP^Rt△8PQ中，乙PAB=NQBP,即NQAB=乙B1BM,

DQAD

RtAABQsRt△BB、M,因止匕瓦瓦=麗^，

即有竿=：于是BQ*；.B1Q=4W.??需=7.

17.解：（1）平均數(shù)為（45x0.005+55x0.015+65x0.020+75x0.030+85x0.020+95x0.010）x

10=72.5,

由頻率分布直方圖可知，成績?cè)冢?0,50）內(nèi)的頻率為0.005x10=0.05,

成績［50,60）在內(nèi)的頻率為0.015x10=0.15,

成績?cè)冢?0,70）內(nèi)的頻率為0.020X10=0.2,

成績［70,80）在內(nèi)的頻率為0.030x10=0.3,

所以成績?cè)?0分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2=0.4,

成績?cè)?0分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,

所以成績的中位數(shù)一定在［70,80)內(nèi)，即70+端黑=73.3,

因此估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成績的中位數(shù)為73.3；

0.3

（2）因?yàn)?X

0.3+0.2+0.1=3,

6X0.3+0.2+0.1—2，

0.1

X0.3+0.2+0.1-'

所以從成績?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100)內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人，2人，1人,

其中有3人為消防達(dá)人，設(shè)為a,b,c,有3人不是消防達(dá)人，設(shè)為d,e,f,

則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，

有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(瓦d),(瓦e),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),

?f)共15種,

其中2人均為航天達(dá)人為(a,b),(a,c),(瓦c)共3種，

所以被選中的2人均為消防達(dá)人的概率為得=~

(3)［80,90)內(nèi)的頻率為0.020x10=0.2,

［90,100］內(nèi)的頻率為0.010x10=0.1,

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[80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85,[90,100]內(nèi)的平均數(shù)為95,

[80,100]內(nèi)的平均數(shù)為"第X85+-^―X95=整型=等,

U.乙IU._LU.乙IU.DO

又[80,90)組的方差為9,[90,100]組的方差為6,

所以這次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差為：

1265,265

02+01^°'2*[9+(85-----^-)2]+0,1x[6+(95-----)2]}9

.600

=8o+—xQ30n.o2.

18.解：(1)ZE=AB+BE=AB+ABC

=AB+A(BA+AD+DC)

—>—>—>A—>

=AB-XAB+AAD+-^AB

=(1+AAD,

當(dāng)4=:時(shí)荏=IZB+^AD,

BD=AD-AB,

21

.?.荏.麗=(可同+2硒-(AD-AB}

1―>―>2—>21->2

=—AB-AD-^rAB

63z

=0—6+2=-4.

(2)當(dāng)4=|時(shí)，AE=^AB+^AD,

設(shè)萩=*福DM=yDB,

得前=xAE=|xAB+|%AD,

AM=AD+DM-AD+yDB=yAB+(1—y)AD.

(s

-x=y

■.AB,同不共線，.?.心9,

-%=1-y

解得上=2即絲=±

"十61MB6

(3)因?yàn)榉?~AD+^AB,

AE=AAD+(1-|4)福

所以羽+：荏=(l+§而+G一金福

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,1>nc>C52c>C

\AF^^AE\2=(1+^)1^1+(6-T:1|7lB|

A52A

=4(l+2)72+9(—)29

=5A2一64+日，

由題意知，Ae[0,1],

所以，當(dāng)a=|時(shí)，|荏+都|取到最小值臀，

當(dāng)4=0時(shí)，|荏+而|取到最大值苧.

故麻祠的取值范圍是[磬,苧].

19.(1)證明：四邊形4BCD是邊長為2的正方形，.?.B4_L￡M,

,平面P4B1平面ABC。，平面PABC平面4BCD=BA,DAc^-^ABCD,

平面P4B,又PAu平面P4B,DALPA,

?.?平面PHD_L平面力BCD,平面P力。Cl平面力BCD=D力，BAc^