2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.函數(shù)y=s譏x在x=g處的導(dǎo)數(shù)等于()

O

7B]D.亨

2.已知隨機(jī)變量X?N(〃R2),且P(X22)=P(XW8),則P(X25)=()

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

3.樹(shù)人中學(xué)高二年級(jí)舉辦古詩(shī)詞比賽，所有同學(xué)均可自愿報(bào)名參加.某學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué)，其中甲、乙兩

位同學(xué)決定要么都去，要么都不去，則該學(xué)習(xí)小組不同的報(bào)名情況總數(shù)是()

A.64B.32C.31D.16

4.記試驗(yàn)的樣本空間。={123,4,5,6},事件4={1,2,4},B={1,3,5},則PQ4|B)=()

Ac.|D.i

-l44

5.如圖，直線y=fcx+TH與曲線y=/(%)相切于點(diǎn)尸，則函數(shù)g(%)=f(x)一依在(一1,1)上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)

為()

A.3

B.2

C.1

D.0

6.如圖，一質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā),每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，向左移動(dòng)的概

率為右向右移動(dòng)的概率為右共移動(dòng)4次，則該質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)的概率為()

IIIIIIIIII?

-5-4-3-2-I°12345

A21里27189

ArD

,25625664-256

7.(1+2%+%2)(1一的展開(kāi)式中％4的系數(shù)為()

A.495B.375C.135D.15

8.已知函數(shù)/(%)=ex-ln(x+m),若/(%)>0恒成立，則正整數(shù)m的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是()

A.展開(kāi)式共有7項(xiàng)B.常數(shù)項(xiàng)為20

C.第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等D.各項(xiàng)系數(shù)之和為0

10.根據(jù)分類變量％與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，提出零假設(shè)“0,并計(jì)算得到f=2.974,則下列說(shuō)法正確的是()

2

2_n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

A.零假設(shè)為Ho：分類變量x與y獨(dú)立

B.根據(jù)小概率值a=0.1的％2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為％與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1

C.根據(jù)小概率值a=0.01的,2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

D.若所有樣本數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，根據(jù)小概率值a=0.01的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為x與y不獨(dú)立，

這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01

11.已知為R上的偶函數(shù)，f(l)=0,f'(x)為/'(%)的導(dǎo)函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí)，3/(%)+xf(x~)<0,則

()

A.當(dāng)％<一1時(shí)，f(x)<0B,f(l)>0

C./(2)>8/(4)D./(1)</(i)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知量=掰，那么n=.

13.已知函數(shù)/(%)=%2一X+，若/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

14.有6張卡片，正面分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,背面均寫(xiě)有數(shù)字7.先把這些卡片正面朝上排成一

排，且第i個(gè)位置上的卡片恰好寫(xiě)有數(shù)字也=123,4,5,6).然后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點(diǎn)數(shù)為外則

將第n個(gè)位置上的卡片翻面并置于原處.進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件

下，計(jì)算骰子恰有一次點(diǎn)數(shù)為3的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)—x3—2ax2+a2x+4.

⑴當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=在（l,f（l））處的切線方程;

（2）若2是/'（久）的極小值點(diǎn)，求a及函數(shù)/（久）的極值.

16.（本小題15分）

在科技日新月異的今天，無(wú)人駕駛網(wǎng)約車正逐漸成為出行領(lǐng)域的新寵，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某區(qū)域過(guò)去5

天的訂單數(shù)如下：

日期工（天）12345

訂單數(shù)y（件）1321455566

為了進(jìn)一步了解訂單數(shù)的變化情況，甲乙兩個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組分別進(jìn)行了研究,

（1）甲小組決定用線性回歸模型進(jìn)行擬合，求此時(shí)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a；

（2）乙小組采用非線性回歸模型進(jìn)行擬合，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=7.42+34"久，并計(jì)算出決定

系數(shù)R2=0.9276,

①根據(jù)回歸模型的決定系數(shù)，說(shuō)明哪個(gè)小組的模型擬合效果更好;

￡仁13-嗎(兀->)

②用①中選擇的模型預(yù)測(cè)該區(qū)域第10天的訂單數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.附：b=

^rxiy-nxya=y-bx-,決定系數(shù)R2=l—些血乜.

2

^i=lXi~nXS^i(y-y)

參考數(shù)據(jù)：伍10x2.30

17.（本小題15分）

近年來(lái)，輕食作為餐飲的一種創(chuàng)新形態(tài)，廣受消費(fèi)者青睞.某公司為了獲得輕食消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對(duì)一地區(qū)

消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中300名消費(fèi)者（表中3個(gè)年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻數(shù)與年齡得到如

下的頻數(shù)分布表.

年齡

25歲以下(<25)25歲到50歲［25,50)50歲及以上（250）

食用頻數(shù)

輕食低頻消費(fèi)者（每周W1次）153550

輕食中頻消費(fèi)者（每周2-3次）554540

輕食高頻消費(fèi)者（每周4-6次及以上）302010

（1）已知該地區(qū)25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上三個(gè)年齡段的人數(shù)比例為3：6：1,用頻率估計(jì)概

率，求從該地區(qū)隨機(jī)抽取一人，其為高頻消費(fèi)者的概率.

（2）從以上樣本的輕食高頻消費(fèi)者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取6人，再?gòu)?/p>

這6人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為X,Y,記§=磔-丫|,求§

的分布列與期望.

18.(本小題17分)

ax

已知函數(shù)/'(x)=—p,xe(0,+oo).

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若方程/(x)=1有兩根，求a的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)a>1時(shí)，/(%)>aex—elnx.

19.(本小題17分)

現(xiàn)有一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立，每件產(chǎn)品合格的概率均為p.在某次抽樣中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)抽取的

100件產(chǎn)品中，恰有98件合格品.

(1)以頻率估計(jì)概率，若從該批產(chǎn)品中再抽取10件，記合格品的數(shù)量為X,求X的期望E(X)；

(2)在概率統(tǒng)計(jì)中，我們常常通過(guò)觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)某參數(shù)的取值.設(shè)X為與未知

參數(shù)小有關(guān)的離散型隨機(jī)變量，其中小的取值范圍為S.若對(duì)已知結(jié)果x=k,存在Moes,且對(duì)任意根1e

S,有P(X=k\m=m0)>P(X=k\m-m】)成立，則稱為rn的一個(gè)極大似然估計(jì)值.

①請(qǐng)根據(jù)此次抽樣，求p的極大似然估計(jì)值Po.

②在實(shí)際操作中往往采用多次獨(dú)立抽樣來(lái)求參數(shù)的極大似然估計(jì)值，現(xiàn)對(duì)該批產(chǎn)品進(jìn)行機(jī)次獨(dú)立抽樣，每

次從中抽取幾個(gè)產(chǎn)品，記錄合格品數(shù)分別對(duì)應(yīng)為自，k2,km,請(qǐng)根據(jù)這巾次獨(dú)立抽樣結(jié)果，求p的極大

似然估計(jì)值

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閥=s譏％,

所以y'=cosx,

則y=sin%在％=:處的導(dǎo)數(shù)為cosg=噂.

66z

故選：D.

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把x=趙弋入即可求解.

本題主要考查了函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?NO,M),且P(X22)=P(XW8),

所以〃=竽=5,

所以P(X>5)=0.5.

故選：C.

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求得結(jié)果.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：己知某學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué)自愿報(bào)名參加古詩(shī)詞比賽，其中甲、乙兩位同學(xué)決定要么都去,

要么都不去，

若甲、乙都去，

則小組內(nèi)另外4名同學(xué)報(bào)名參加的情況有：或+己+盤(pán)+值+酸=24=16種；

若甲、乙都不去，

則小組內(nèi)另外4名同學(xué)報(bào)名參加的情況有：或+己+盤(pán)+盤(pán)+酸=24=16種.

所以該學(xué)習(xí)小組不同的報(bào)名情況總數(shù)是：16+16=32種.

故選：B.

分甲、乙兩位同學(xué)都去和都不去兩種情況討論即可.

本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬中檔題.

4.【答案】A

【解析】解:由題意有祥={2,4,6},AB={2,4},

31-21

產(chǎn)--B-

626-

3-

故選：A.

先求3,3,再求PQ4),P(4B),利用條件概率公式即可求解.

本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)函數(shù)gO)=f(x)-kx有導(dǎo)函數(shù)g'(x)=「(X)-k,根據(jù)丫=依+6與丫=依平行，

作出y=kx與/(x)的交點(diǎn)，設(shè)橫坐標(biāo)為a,6且a<6,由導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/'(x)-k=0,解得x=a或b,

由圖可知：函數(shù)g(x)在(a,0),(瓦1)單調(diào)遞增,在(一可a),(0,6)單調(diào)遞減，

所以g(x)在(-1,1)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

由y=for+zn與y=kx平行，作出y=fcr與/(久)的交點(diǎn)，利用圖像求g(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得g(x)的極值

點(diǎn)個(gè)數(shù).

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)4="該質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)”，

分2種情況討論：

①，一直向右移動(dòng)，其概率旦=(》4=與；

4Z3O

②，左移動(dòng)一步，向右移動(dòng)三步，其概率P2=盤(pán)X'X(》3=A,

1Q

故p(a)=Pi+P2=芫?

故選：力.

分兩種情況，第一種情況：一直向右移動(dòng)，第二種情況：向左移動(dòng)一步，向右移動(dòng)三步，分別求其概率即

可.

本題考查互斥事件的概率，注意分析“該質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)”的情況，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：(1+2%+%2)(1-切】。的展開(kāi)式中婷的系數(shù)為1x?(-1)4+2xA；。?(一1尸+1x此,?

(-1)2=210-240+45=15.

故選：D.

利用兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題求解.

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：原不等式等價(jià)于ex>ln(x+m),如圖，

由圖可知，如果滿足題意，你們只需m小于y=ln(x+爪)與丫=e%兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的m的值即可,

設(shè)公切點(diǎn)為(%0，丫0)，由于導(dǎo)函數(shù)y'=^^，y'=ex,

ex°=ln(x+m)

0m=j^-x因此小二一"。一*

因此‘e%c=1，因此Oj

.XQ+TTI

令函數(shù)g(%)=e*+%,因此導(dǎo)函數(shù)g'(%)=e*+1>0,因此函數(shù)g(%)單調(diào)遞增，

由.于-j-9(一3N=e--4-73<0>g(—51)=62--i>0,

44NN

因此存在x°e(W)，使得短。=_&,

-1o112

因此一無(wú)。EGq),令力=一%。，那么TH=t+工，tE

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知爪=t+1,te0()單調(diào)遞減，

所以爪e篇|),所以正整數(shù)機(jī)的最大值為2.

故選：B.

利用公切線與隱零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于公切點(diǎn)的對(duì)勾函數(shù)求值域問(wèn)題，即可得到答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,由題意可知，展開(kāi)式一共有6+1=7項(xiàng)，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,常數(shù)項(xiàng)為牖久6-3（—33=一20,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為己=6,第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為俏=20,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，令尤=1,得各項(xiàng)系數(shù)之和為0,故選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

利用二項(xiàng)式定理性質(zhì)逐一計(jì)算即可.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4零假設(shè)為：分類變量x與y獨(dú)立，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)椋?=2.974>2,706,

所以根據(jù)小概率值a=0.1的*2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為光與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1,故

8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閒=2.974<6.635,根據(jù)小概率值a=0.01的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們不能拒絕零假設(shè)

%,即可以認(rèn)為％與y獨(dú)立.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，當(dāng)所有樣本數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，f的值夜變成原來(lái)的10倍，且29.74〉6.635,

所以根據(jù)小概率值a=0.01的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為尤與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01,

故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)理論，可以判斷力BC的真假，計(jì)算新數(shù)據(jù)的判斷。的真假.

本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)函數(shù)g（x）=/那么導(dǎo)函數(shù)d（久）=3產(chǎn)./（久）+婷./，Q）=%2[3./（X）+尤,

fW],

當(dāng)x<0時(shí)，3?/（x）+x?1（久）<0,x2>0,因此g'（x）<0,

因此函數(shù)9（久）=/"（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，

又因?yàn)楹瘮?shù)/（久）為R上的偶函數(shù)，因此函數(shù)以比）=x3"（%）為R上的奇函數(shù),

因此函數(shù)g(%)=x3?/(、)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(I)=0,因此點(diǎn)-1)=-5(1)=0,g(l)=I3-/(I)=0,

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)％<一1時(shí),g(x)>g(—1)=0=爐./(%)>o,

由于％3vo,因此函數(shù)f(%)VO,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)3：由于函數(shù)g(%)=收./(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以“(1)V0,

即1x[3?/(1)+1,[⑴]<0=f(l)<0,因此選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：由于函數(shù)g(%)=x3?/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因此g(2)>g(4)今23-/(2)>43?/(4)/(2)>8/(4),因此選項(xiàng)C正確;

對(duì)D：因?yàn)間(x)=/"(久)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以渦)<溫)，

即(護(hù)./(!)<(》3./中=f(》>86),

又/?)>/⑴=0,所以86)>片)，所以/(》〉/&，故。正確.

故選：ACD.

設(shè)函數(shù)9(久)=/"(乃，根據(jù)條件，求導(dǎo)分析函數(shù)。(久)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，逐項(xiàng)判斷真假即

可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】4

【解析】解：由題意，”尹=6臺(tái)層_n_12=0,解得幾=4.

故答案為：4.

利用排列數(shù)和組合數(shù)公式得"-ri-12=0,解出即可.

本題考查排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】(—8,—芻

【解析】解：導(dǎo)函數(shù)尸⑺=2久_]_黃=2+0a,

由于函數(shù)f(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此導(dǎo)函數(shù)=2+廣>0在(0,+8)上恒成立，

332

即a<2x一/在區(qū)間(o,+8)上恒成立，即。<(2x-x)mfn,

322

設(shè)函數(shù)g(%)=2x—x9x6(0,+8),那么導(dǎo)函數(shù)g'(%)=6x—2x=2x(3x—1),

令導(dǎo)函數(shù)g'(%)=2x(3%-1)=0,則久=§或第=0(舍)，

當(dāng)x>與時(shí)，g'(x)>0,9(久)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<久<§時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=孑時(shí)，g(x)有最小值為g($=2x(|)3-(1)2=―親

所以aG(―8,一奈].

故答案為：(-8,—芻.

3232

f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為((久)>0在(0,+8)上恒成立，即a<(2x-x)min,令g(x)=2x-x

借助導(dǎo)數(shù)求出9(久)最小值，即得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】j

【解析】解：由已知，試驗(yàn)前卡片朝上的數(shù)字之和為1+2+3+4+5+6=21,數(shù)字之和為奇數(shù)，

若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和仍然為奇數(shù)，

若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和變?yōu)榕紨?shù)，

所以事件進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，

即事件三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)有一次為偶數(shù)，余下兩次為奇數(shù)，

或三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，

設(shè)事件M="3次試驗(yàn)后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，

事件N="三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)恰有一次為3”，

記4表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，i=l,2,3,則P(4)=g,

設(shè)Q表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為1或5,i=l,2,3,則P(Q)=/,

設(shè)2表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為3,i=l,2,3,貝I]P(A)=3，

所以M=，

11

3+廢XXr2

所以P(M)-2-v2-

事件MN表示三次試驗(yàn)中有一次骰子的點(diǎn)數(shù)為3,另兩次的點(diǎn)數(shù)為一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，其中奇數(shù)為1或5,

所以MN=DI242c3+DiCyA-3+AiDyCo+C】D2A3++CiA^D^，

1111

所以P(MN)2-3-6-6-

1

-1

6

----

所以P(N|M)=需13

-

2

故答案為：：.

設(shè)事件3次試驗(yàn)后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)為M,設(shè)事件三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)恰有一次為3為

N,先計(jì)算P(M),P(MN),最后利用條件概率公式即可求解.

本題考查條件概率公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

15.【答案】y=4.

a=2,/(久)的極小值為4,極大值為黨.

【解析】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，函數(shù)/(%)=X3-2/+%+4,則/(1)=4,

又「(%)=3x2-4x+l,則/(1)=0,

即曲線y=/(%)在處的切線斜率k=0,

故y=/(%)在(1,/(1))處的切線方程為y=4.

(2)/'Q)=3x2-4ax+a2=(%—a)(3x—a),

令((x)=0,得x=?；騛.

因?yàn)椋?2是函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)，所以必有a>0,貝%<a,

當(dāng)久<g或久>a時(shí)，/'(%)>0,當(dāng)卷<x<a時(shí)，/'(%)<0.

所以函數(shù)在(-叫今和(見(jiàn)+8)上單調(diào)遞增，在G，a)上單調(diào)遞減.

則久=a時(shí)/(%)取極小值,即a=2,此時(shí)/(%)=X3—4%2+4%+4,

則f(X)的極大值為居)=/(|)=探，極小值為/(a)=/(2)=4.

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在x=1處的切線方程.

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值，根據(jù)極小值確定a,進(jìn)而確定極大、極小值；

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】y=14x—2；

①甲小組的線性回歸模型擬合效果更好；

②138件.

【解析】(1)由題可得以=1+2+”+5=3,

-13+21+45+55+66“八

y=---------------------=40,

所以

a=y—hx=40-14X3=-2

所以y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=14%-2.

(2)①由⑴知14久-2,從而有:

X12345

%1226405468

2L(%-%產(chǎn)=(13-12)2+(21-26)2+(45-40)2+(55-54)2+(66-68)2=56,

芨=1(%-y)2=(13-40)2+(21-40)2+(45-40)2+(55-40)2+(66-40)2=2016,

R2=1一孝。]也=1_熹?1-0.0278=0.9722,

第心2016

因?yàn)?.9722>0,9276,從解來(lái)看甲小組的線性回歸模型擬合效果更好.

②當(dāng)x=10時(shí)，y=14x10-2=138,

所以預(yù)測(cè)第10天的訂單數(shù)為138件.

(1)根據(jù)公式求6,a,可得回歸方程.

(2)計(jì)算甲小組模型的決定系數(shù)，比較決定系數(shù)的大小，可得結(jié)論；把x=10代入線性回歸方程，可預(yù)測(cè)該

區(qū)域第10天的訂單數(shù).

本題考查經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與應(yīng)用、決定系數(shù)的求解等，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】奈

分布列見(jiàn)解析；期望為1.

【解析】(1)記從該地區(qū)中任抽一人，其年齡在25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上分別為事件4，

&，其為高頻消費(fèi)者為事件B,

■20-1

則P(4)=已P(4)=I-P(4)=云

所以P(B|4])=春P(B|4)=UP(B|4)=奈

33311111

P(B)=PQ4i)P(B|4)+PQ42)P(B|4)+P(X3)P(S|713)=x+1x|+^x

(2)若利用分層抽樣的方法抽取的6人中，

其中年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為3和2,

易得f的所有可能取值分別為0,1，2,3,

所以p(§=0)=p(x=1,y=1)=警=磊

p(f=i)=p(x=2,y=i)+P(x=i,y=2)=^+等=4,

%=2)=p(x=2,y=o)+P(x=o,y=2)=也+:=",

P(f=3)=P(X=3,y=0)=|f=4

則§的分布列為:

0123

3911

p

To20520

OQ11

故5(6)=0*得+1義高+2*/3*/=1.

(1)記從該地區(qū)中任抽一人，其年齡在25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上分別為事件A2,A3,其為

高頻消費(fèi)者為事件B,利用全概率公式即可求解;

(2)先利用分層抽樣抽取在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)，求f的所有可能取值，和其對(duì)應(yīng)的概率，即可得

f的分布列與期望.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布和期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】答案見(jiàn)解析;

1

證明見(jiàn)解析.

axaxax

【解析】(1)由題意有ro)=ae-x—e_(ax—l)e

當(dāng)a<0時(shí)，f(%)<0,/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(%)>0,得%>/(%)單調(diào)遞增;

1

令((%)V0,得0V%<&,/(%)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(￡)在(0,；)單調(diào)遞減，在(；,+8)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，所以方程f(%)=1最多一根，故a>0.

因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，/(X)在(0,6單調(diào)遞減，在。,+8)單調(diào)遞增，

又因?yàn)椋?>0,/(%)T+8,且％T+8,/(%)T+8,

故要使方程〃久)=1有兩根，則<1,

即ae<l,得a<：,故a的取值范圍為(0,；).

-Pax

(3)證明：要證三>aex—elnx,

axax

即p一>elneax—elnx=elnp—，

XX

ax

令"Je

X

則只需證t>elnt,

當(dāng)0<t<1時(shí)，Int<0,上式顯然成立；

現(xiàn)證當(dāng)t>1時(shí)上式成立：

由(1)知，§Nf?=ae,

取a=1,

即得e*>ex-elnex,

取1=e，>1,

即可得t>elnt,

即得證.

(1)先求導(dǎo)，對(duì)a分類討論即可求解；

(2)由(1)根據(jù)a的情況，分類討論，當(dāng)aWO時(shí)，由/(%)的單調(diào)性即可求解，當(dāng)a>0時(shí)，由單調(diào)性和極限思

想即可求解；

axaxaxax

要證p一>aex—elnx,即p一>elneax—elnx-eln—p,令p只需證伍即可；當(dāng)

(v3y)xxxt=—x,t>et0<t<1

時(shí)，仇顯然成