2024-2025學年湖南省婁底三中高二（下）期末數學試卷（A卷）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知r1表示變量x與y之間的相關系數，2表示變量”與u之間的相關系數，且q=0.836,72=-。?958,

則（）

A.變量x與y之間呈正相關關系，且x與y之間的相關性強于a與u之間的相關性

B.變量x與y之間呈負相關關系，且x與y之間的相關性強于“與v之間的相關性

C.變量u與"之間呈負相關關系，且x與y之間的相關性弱于a與u之間的相關性

D.變量比與"之間呈正相關關系，且久與y之間的相關性弱于a與"之間的相關性

2.已知｛an｝為公差不為0的等差數列，若dm=%0-+。3，則根=（）

A.9B.8C.7D.6

3.已知向量灑了為單位向量，同+二|=|府一同（4K0）,則方與1的夾角為（）

B.JC4D.穹

o323

2

4.已知函數/'0）=^,則/（e）=（）

A.1B.2C.eD.2e

5.設等比數列｛冊｝的公比q=2,前n項和為無,則盤=（）

a2

713

A.3B.4C.^D.y

6.學校舉辦籃球賽，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，則兩支最強的球隊被分在不同組的概率為（）

1234

A-5B5C5D5

7.已知函數%%。是函數的極值點，下列結論中正確的是（）

1

A.x0>-B./（%o）>。

1

C./（%0）+&>oD./（x0）+2x0>—

8.紅外體溫計的工作原理是通過人體發(fā)出的紅外熱輻射來測量體溫的，有一定誤差.用一款紅外體溫計測量

一位體溫為36.TC的人時，顯示體溫X服從正態(tài)分布N（36.9,竽），若X的值在（36.6,37.2）內的概率約為

0.9973,貝舊的值約為（）

（參考數據：若X?N（〃卬2）,則p（|x—〃|<3。）=0.9973.）

A.3B.4C.5D.6

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

第1頁，共15頁

9.已知隨機變量X?N(2,M),若P(X<0)=0.1,則()

A.P(X<2)=0.5B.P(X<4)=0.9

C.P(2WXW4)=0.3D.D(2X+2)=4<T2

10.在棱長為2的正方體A8CD—A/iCiA中，E、F、G分別為BC、CC^BB1

的中點，點P為線段&G上的動點，則下列選項正確的是()

A.4G1EF

B.三棱錐P-AEF的體積為定值

C.平面4EF截正方體所得的截面面積為9

D.存在實數入〃使得無了=4荏+〃荏

11.設函數f(x)=xe",貝i]()

A"(久)的極小值點為-1

B"(久)在(—8,—1]上為增函數

C.直線y=%是曲線y=/(%)的切線

D.方程f(x)=k恰有一個解當且僅當k=-1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若數列｛冊｝是各項均為正數的等比數列，數列｛0｝滿足3="“，且&=18,仇=12,則數列｛%｝的前

n項和為S“=

4432

13.已知(2%—I)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,貝!-

22

14.己知雙曲線C：~-^=l(a>0,b>0)的左右焦點分別為Fi，4，過點七的直線與C的右支交于兩點4

B,且|4%1：\BF2\：=2：3,若△48%的周長為20,貝1JC的實軸長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知橢圓C：務圣=l(a>6>0)的長軸長為2門且離心率為苧.

(1)求橢圓C的方程；

(2)不經過原點。的直線1：y=x+rn與橢圓C交于4B兩點，求△40B的面積最大時直線I的方程.

16.(本小題15分)

已知函數/'(久)=x2+ax—2ln|x|為偶函數.

(1)求實數a的值；

(2)求函數/(%)的單調區(qū)間和極值.

第2頁，共15頁

17.（本小題15分）

/、B兩隊進行圍棋比賽，A隊有甲、乙、丙三位棋手，B隊只有丁一位棋手.比賽規(guī)則如下：A隊的三位棋手

分別與丁對弈一盤，若一隊棋手連勝兩盤（負一盤）或連勝三盤，則該隊獲勝，若三盤比賽中沒有一隊獲得連

勝，則兩隊打平.已知甲、乙、丙分別與丁比賽且獲勝的概率為宗p且各盤比賽相互獨立.丁連勝兩盤、

負一盤的概率為P1，連勝三盤的概率為P2.

（1）若力隊按甲、乙、丙的出場順序與B隊進行比賽，求P1-P2；

（2）若2隊按甲、乙、丙的出場順序與B隊進行比賽，求力、B兩隊打平的概率；

（3）通過計算判斷4隊怎樣安排出場順序對丁最有利，并說明實際意義.

18.（本小題17分）

在△ABC中，4B=BC=2,^ABC=120°,若平面ABC外的點P和線段4C上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,

四面體P—4BC的體積為^

6

（1）證明：BD1AP,

（2）求直線PB與平面4BC所成角的正弦值.

19.（本小題17分）

“洛必達法則”是研究微積分時經常用到的一個重要定理，洛必達法則之一的內容是：若函數〃（久），v（x）

的導數〃'（X）,V'（久）都存在，且"'（無）力0,如果X7aQ是常數）時，〃（久）一—8或+oo,v（x）T-8或+8,

且需=（是常數），則XTa時耨7I.

已知函數/'（%）=kex~r—x,gQ）=Inx+—l,kG.R.

（1）證明：k=1時曲線y=/（x）在點（1,/（1））處的切線與曲線y=gO）也相切；

（2）若函數/（%）有兩個零點第1，%2（%1<%2），函數g（%）有兩個零點%3，%4（%3V%4）.

酚旨出％1，冷，%3，％4的大致范圍（不必說明理由），并求出k的取值范圍；

②i式探究久1+%2與％3+%4的大小關系.

第3頁，共15頁

答案解析

1.【答案】c

【解析】解：因為已知勺表示變量X與y之間的相關系數，「2表示變量a與卜之間的相關系數，

線性相關系數勺=0,836,r2=-0.958,

所以變量x與y之間呈正相關關系，變量u與"之間呈負相關關系.

因為|r|越接近1,兩個變量的線性相關程度越高，

所以x與y之間的相關性弱于a與u之間的相關性.

故選：C.

根據線性相關系數|川越接近1,表示兩個變量之間的相關性越強，線性相關系數r的正負表示兩個變量之間

呈正相關關系或負相關關系.

本題考查相關系數相關知識，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：因為｛an｝為公差不為0的等差數列，=aw-a5+a3,

設公差為d,d于0,

可得-a3=a10—a5,即(m-3)d=(10-5)d,

所以zn—3=5=>m=8.

故選：B.

利用等差數列通項公式即可求解.

本題主要考查等差數列的性質應用，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由何+石|=|府一向(440),

得五2+2^a-b+A2b2=A2a2-2Xa-b+~b,

又向量N,1為單位向量，

所以彼?石=0,所以彼15,

所以N與另的夾角為*

故選：C.

由向量數量積的運算，結合向量模的運算求解即可.

本題考查了向量數量積的運算，重點考查了向量模的運算，屬基礎題.

4.【答案】C

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【解析】解：因為/"(X)=^,

2xlnx—x2--2xlnx—x

所以廣(X)=________x

（伍%）2（in%）2

則/（e）=e.

故選：C.

先求導，再求(e).

本題主要考查了導數的計算，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：設等比數列｛冊｝的首項為內,則

q(l-23)

魚==Z,

。2a1x22

故選C

設等比數列｛3J的首項為內，由求和公式和通項公式可得S3和。2,代入要求的式子可得答案.

本題考查等比數列的求和公式，熟記公式是解決問題的關鍵，屬基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：根據題意，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，有:或=10種分法，

若兩支最強的球隊被分在不同組，有*=6種分組方法，

則兩支最強的球隊被分在不同組的概率P=^=1.

故選：C.

根據題意，由組合數公式分析“將6支球隊平均分成甲、乙兩組”和“兩支最強的球隊被分在不同組”的

分法，由古典概型公式計算可得答案.

本題考查古典概型的計算，涉及排列組合的應用，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：因為函數/(%)=%伉%+%2,函數的定義域為(0,+8),

所以//(%)=Inx+1+2%單調遞增,

因為函數&是/(%)的極值點，

所以//(&)=仇％o+1+2%0=0,

選項/：計算/''(工)=ln^+l+2」=—1+1+冬＞0,

在久T0+時，趨向

第5頁，共15頁

故%oE(0,—),故4錯誤；

選項B：因為仇&=-1-2劭，

所以f(%o)=&(-1-2&)+xo=一xo-xo<。，故5錯誤；

選項C：計算f(%o)+%o=(—％o—就)+%()=—焉V。，故C錯誤；

選項D：計算/(&)+2x0=(-%0-%o)+2%0=x0(l-%。)，

函數/7(7)=+(+1=1-伍4=ln(V-e)3—必4>0,f7(7)=In,+(+1=1一伉5=ln(V^)7—

442Z5555

,5<0,

11141

所以％oE(彳五)，得%o(l-1o)>三x三>而■,故。正確.

34J□1U

故選：D.

先求出導函數，再根據極值點列式計算結合零點存在定理判斷4代入計算判斷B,C,結合近似值判斷。.

本題考查導數的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查正態(tài)分布的概率、均值、方差，屬于基礎題.

根據已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

【解答】

解：???體溫X服從正態(tài)分布N(36.9,等)，

???〃=36.9,?2—

n

???X的值在(36.6,37.2)內的概率約為0.9973,P(\X-n\<3。)?0.9973,

.-.P(36.9-3<r<X<36.9+3cr)=P(36.9-0.3<X<36.9+0.3),

3(r=0.3,解得a=0.1,

.■.—=0.01,解得幾=5.

n

故選：c.

9.【答案】ABD

【解析】解：因為X?N(2,02),所以P(XW2)=0.5,故N正確；

因為X?NR,/),其P(XW0)=0.1,所以P(X24)=0.1,

所以P(XW4)=1—P(X24)=1—0.1=0.9,故2正確；

因為X?N(2,02),所以P(2WXW4)=P(X22)—P(X24)=0.5-0.1=0.4,故C錯誤；

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由方差性質，D(2X+2)=4D(X)=4小，故。正確.

故選：ABD.

根據正態(tài)分布的對稱性及方差的性質逐項判斷即可得解.

本題考查正態(tài)分布和方差的性質應用，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于4連接GF,DiE,

因為G,F分別為3名、CCi的中點，所以GB//C/且G8i=C/,

所以四邊形為GFD1是平行四邊形，所以4G〃〃F,

又易求得D1F=75,EF=6.,D\E=3,

所以小尸2+岳尸24。速2,所以DiF不垂直于EF,

所以41G不垂直于EF,故/錯誤；

對于B,取的中點M,連接力iM,GM,

由E、F、G分別為BC、CCi、8%的中點，所以可得GM〃EF,

又GMC平面AEF,EFu平面ZEF,所以GM//平面力EF,

又易得21M//AE,又41MC平面AEF,力Eu平面4EF,所以力/平面力EF,

又41MCGM=M,AXM,GMu平面力iMG,所以平面力i"G//平面力EF,

又AiGu平面AiMG,所以力iG//平面力EF,又P€4iG,

所以P到平面AEF的距離為定值，又S^EF為定值，所以三棱錐P-AEF的體積為定值，故3正確.

對于C,連接。遇，DrF,因為E、F分別為BC、CCi的中點，

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所以易得。遇〃EF,且力iD=2EF,則A,E,F,小四點共面，

所以平面4EF截正方體所得的截面為四邊形。遇EF,

由題意可得=272,EF=y[2,AE=，虧，

所以四邊形DMEF為等腰梯形，所以梯形的高為八=J(理)2_(苧)2=當,

所以四邊形DMEF的面積為S=1x(72+272)x苧=?，故C錯誤；

對于D,易知&G〃0F,又因為E、F分別為BC、CCi的中點，

所以力。1//EF,且力iD=2EF,貝IjA,E,F,四點共面，

所以四邊形AEFDi為梯形，又力E,4F為相交直線，

所以存在實數2、〃使得南=4/+〃荏，又因為&G〃。/且力iG=小尸，

所以用=卡，所以存在實數4、4使得中=4而+〃荏，故。正確.

故選：BD.

連接。1F,GF,%E,求得DiF,EF,DXE,利用勾股定理的逆定理可判斷出取當的的中點M,連接&M,

GM,利用線面位置關系可得&G//平面4EF,可判斷B；連接小4%凡可得截面為四邊形?！ㄊ睬?/p>

得面積可判斷C；利用四邊形ZEFDi為梯形，可判斷D.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：由/'(無)=得，f‘(無)=(比+l)ex,

令/'‘(x)=(%+l)ex=0,解得久=-1,

當x<-1時，f/(x)<0,當x>-1時，f7(x)>0,

故/(久)在(-8,-1)上單調遞減，所以3錯誤；

在(1,+8)上單調遞增，

因此當久=一1時，f(x)取得極小值，所以N正確；

當/，(K)=(X+l)ex=1時，解得x=0,則/(0)=0,

所以在(0,0)處切線方程為y=x,所以C正確；

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已知/'(久)在(一oo,-1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，極小值一1)=_eT=-：；

當X7—8時，/(無)70且〃久)<0,當久->+8時，/(%)7+8,

所以當/(X)=好合有一個解時，ke｛—；｝u[0,+8),所以。錯誤.

故選：AC.

根據函數求出函數導數，根據函數導數與極值點，單調性，切線，和方程的解的關系，逐一判斷各選項正

誤.

本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】23n-n2

12

【解析】解：由已知可得。3=618,a6=e,設｛an｝的公比為q,

則q3=%,=e-6,所以q=?-2,

所以的=涓=e?2,所以冊=的?qnT=e22-^e24-2n,

所以5n=lnan=24—2n,

所以｛0｝是等差數列，公差為-2,首項為22,

所以也｝的前幾項和%=22n+若?x(-2)=23n-n2.

故答案為：23n-n2.

由等比數列通項公式求得“后可得bn,得｛%｝是等差數列，求出“，進而求解結論.

本題主要考查了等差數列的定義，考查了等差數列的前幾項和公式，屬于中檔題.

13.【答案】24

4432

【解析】解:已知(2K-I)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

則a2=C/22.(-l)2=24.

故答案為：24.

由二項式定理，結合二項式展開式的通項公式求解即可.

本題考查了二項式定理，重點考查了二項式展開式的通項公式，屬基礎題.

14.【答案】4

【解析】解：已知雙曲線C的左、右焦點分別為Fi，F2,

過點七的直線與。的右支交于4B兩點，且|力92卜1^21：1^11=1：2：3,

設尸21=小，則|B&l=2m,\AFr\=3m,

根據雙曲線定義，|4Fil-MF2I=2a,代入得2ni=2a,即m=a,

第9頁，共15頁

同理，IBFil-|BF2|=2a,得=4a,

三角形AB%的周長為20,即+\AB\+IBFJ=20,

代入得3a+3a+4a=20,解得a=2,因此，雙曲線C的實軸長為2a=4.

故答案為：4.

根據雙曲線的定義即可求解.

本題考查了雙曲線的性質，屬于基礎題.

2

15.【答案】芻+y2=i.

I：y=x±-\/-2.

【解析】(1)根據已矢口2a=2展，!Pa=73.

又根據e=苧，可得c=WZ因此公=a2—c2=1,

那么橢圓C為號+y2=i.

(2)根據題直線/與橢圓C有兩個交點A和設8(%2/2)，4(%1，丫1)，

ry=%+m2

聯立直線1和橢圓方程忙+y2_］，得^_+(X+7n)2=14，即4x2+6mx+3m2-3=0,

所以根的判別式/=(6m)2-16(3^2_3)>0,根據韋達定理可得/久2=&詈，K1+久2—3m

2

根據直線］不過原點可得-2<m<2且租W0.

22

刃口么\AB\=V1+I?J(亞+犯下—4%I%2=V-2?J(--p)—4?

=V-2-J3一=苧，4-研，

且點。到直線泊勺距離d=瞿.

所以S=^\AB\d=".翳.等V4一加=|m|V4—m2=m2(4—m2)

22

V>-V-3-m---+-4---m-=-V---3，

-422

當且僅當血2=4—血?，即771=±，^,此時，：y=X±V-2.

(1)根據條件列出關于a,b,c的方程求解即可;

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(2)設出直線I的方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理求出△OAB面積的表達式，利用基本不等式求出最大

值，進而得出答案.

本題考查直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.

16.【答案】a=0

當x>0時，函數/(x)在(l,+oo)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，極小值為1；

當x<0時，/(x)在(一8,-1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，極小值為1.

【解析】(1)依題意，得/(—x)-f(x),BP(—x)2—ax—2ln\—x\=x2—ax—2ln\x\=x2+ax—2ln\x\,

化簡為2ax=0,由于久力0,

故a=0；

(2)由(1)知函數的解析式為f(x)=x2-2Zn|x|(xC0),

當x>0時，/(%)=x2—2lnx,fz(x)=2%—|=2』+?。L),

令//(x)<0,0<x<1,令fz(x)>0,x>1；

此時函數f(x),在(0,1)上單調遞減，(1,+8)上單調遞增，

令/，(嗎=0,因為x>0,所以久=1,

根據單調性可知函數在久=1處取極小值/(I)=1;

又/(一X)=，(久)，故/'(X)為偶函數，

所以，/(x)在(一8,-1)上單調遞減，在(一1,0)上單調遞增，

所以函數在久=一1處取極小值/'(—1)=1.

(1)根據偶函數的定義求出a的值.

(2)對函數求導，分別討論%>0,x<0情況下函數的單調性和極值.

本題考查導數和函數的單調性、極值的關系，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】

O

2

9；

Z隊按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出場順序與3隊進行比賽時對丁最有利，理由見解析.

【解析】(1)根據題意，若/隊按甲、乙、丙的出場順序與3隊進行比賽，

丁連勝兩盤、負一■盤的概率為Pi，貝！Ip】=(1—I)x(1—9)xJx(1—x(1-9)=魯，

丁連勝三盤的概率為Pl,則P2=(1-|)(1-1)(1

_LZTl-lT-)

故P1_P2=而5_§1=1不

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(2)根據題意，設4B兩隊打平的概率為po.

記事件C：第二盤為丁勝，第一、三盤分別為甲、丙勝.

記事件D：第二盤為乙勝，第一、三盤都是丁勝，

易得事件C與。為互斥事件，

則「0=「(次0)=「《)+200)="2(1—81*升1(1—芻9*白1(1—21)=/7

(3)根據題意，設丁獲勝的概率為p.

若4隊按甲、乙、丙的出場順序與B隊進行比賽，貝物=pi+02=".

同理，若4隊按丙、乙、甲的出場順序與B隊進行比賽，則p=

lo

若a隊按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出場順序與B隊進行比賽，

1111121125

則-XXX-

JP2-3-3-2-3-3-3-

18

若4隊按乙、丙、甲或甲、3-丙、2-乙的出場順序與B隊進行比賽,

12212112184

則--X-X-X--

JP2329

18

因為得3-，所2-以3-力隊3-按乙、3-丙、3-甲或甲、丙、乙的出場順序與B隊進行比賽時對丁最有利?

因為丁連勝三盤的概率與順序無關，所以丁連勝兩盤、負一盤，

其中第二盤必勝，第二盤的對手實力越強，

連勝兩盤的概率越小，第二盤的對手實力越弱，連勝兩盤的概率越大，

根據已知丙的實力最弱，故/隊按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出場順序與B隊進行比賽時對丁最有利.

(1)利用獨立事件的概率公式可求得出P1-P2的值；

(2)對三局的輸贏情況進行分類討論，結合題意可求出4B兩隊打平的概率；

(3)設丁獲勝的概率為p,對4隊三位棋手的出場順序進行分類討論，求出每種情況下p的值，比較大小后可

得出結論.

本題考查概率的實際應用，涉及互斥事件、相互獨立事件的概率計算，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解析；

【解析】(1)證明：取力P中點K,連接KB,KD,

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由PD=DA,PB=BA,

得4P1BK,AP1DK,

又因為BKCiDK=K,且BK,DKu平面BDK,

所以4P1平面BDK,

因為8。u平面BDK,

所以BD1AP.

(2)設點P到平面ABC的距離為八，直線PB與平面力BC所成角為仇

則四面體P-力BC的體積為=gxgx2x2x^-h=y-h，

因為四面體P-ABC的體積為包，

6

所以￥無=%,

36

解得/：=?,

所以sin。=Tn=?，

PB4

即直線PB與平面力BC所成角的正弦值為g.

4

(1)取力P中點K,連接KB,KD,根據線面垂直的判定定理可得力P1平面BDK,再由線面垂直的性質定理即

可證明；

(2)設點P到平面力BC的距離為％,直線PB與平面力BC所成角為仇根據三棱錐的體積公式求出三棱錐的高，

再結合線面角的求法即可求解.

本題考查線線垂直的判定，以及線面角的計算，屬于中檔題.

19.【答案】證明見解析；

@0<%1<1<X2,0<乂3<1<刀4<e,k的取值范圍是(0,1)；②X1+久2>久3+尢4?

【解析】(1)證明：k=l時，/(x)=ex-1-x,g(x)-Inx+^-l(x>0),

11

7

//(久)=/T—1,g(X)=---?(x>0),

又/⑴=0,廣(1)=0,

所以曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程是y-0=0x(久一1),即y=0.

因為。(久)=。,g'O)=。，

所以曲線y=g(x)在點(l,g(l))處的切線方程是y-0=0x(x-l),即丫=0.

所以k=1時曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線y=0與曲線y=g(x)也相切.

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(2)?0<<1<x2?0<%3<l<x4<e.

由/(%)=0,得符—k=0；g(x)—0,得%(1—Inx)—k=0,

令F(%)二皆一/C,G(%)=%(1