2024.2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z=2《-2+i),則|z|=()

A.2B.4C.2/2D.2/5

2.已知集合Z={x\x2—x+m=0},B={1}.若BUA,則TH=()

A.0B.1C.2D.-2

3.若stria—cosa=?，貝卜譏2a=()

1353

A-4B§C-8D4

4.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足/(久)+f(2-久)=4,貝仔(一1)=()

A.0B.1C.2D.-2

,1

5，$4=()

5.記％為等比數(shù)列{a九}的前幾項(xiàng)和.若的=-,a3a4=。則

A.39B.156C.yD.拶

6.若數(shù)據(jù)%1，%2，％3和數(shù)據(jù)久4，%5，％6的平均數(shù)均為無，方差均為s2,則數(shù)據(jù)%1，%2，%3，%4，，％6的方

差為()

a

A.vB.s2C.2s2D.4s2

4

7.若仇％+y-2>"y+%-2,貝g()

xx2%2

A.e->ey>1B.e町>e>1C.e>1>e肛D.1>e'>靖'

8.已知雙曲線C：盤-，=l((a〉0,6>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為4過F作C的一條漸近線的垂線，垂

足為P.若|PF|=C|P4|，貝UC的離心率為()

A./5B.73C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.將函數(shù)f(x)=sin。+學(xué)的圖象向右平移弓個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，貝1()

A.g(%)的最小正周期為27rB.g(%)是偶函數(shù)

C.g(%)的圖象關(guān)于直線％=Y軸對稱D.g(%)在(*5)上單調(diào)遞增

10.已知連續(xù)型隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(〃,o2),記函數(shù)〃久)=P(fN久)，且/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1[)對

稱，若存在實(shí)數(shù)a,使得/(a)=0.97725,/(a+2)~0.02275,則()

(參考數(shù)據(jù)：若f?N(”42),貝qp(4-fTWfW〃+<T)=0.6827,P(〃-2。WfW〃+2a)=0.9545)

A.〃=1B.a=0

C.d=1D.P(f>1)=0.84135

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(%O，y())在曲線C：(/+y2)2一丫(10%2+y2)=o上，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于y軸對稱B.y()20

20/30D.|OP|的最大值為空消

C.7o—27

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若曲線y=ln(ax)與直線y=x-1相切，則。=.

13.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其

為“趙爽弦圖”.如圖，邊長為"的正方形2BCD由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小

正方形拼成，且E為。尸的中點(diǎn)，則荏?麗=.

14.如圖，在四面體A—BCD中，AB=AD=CD=1,BC=2,AC=/2，平

面2BD1平面BCD,則四面體A-BCD外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知拋物線C：*=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,4(4,m)(m>0)為C上一點(diǎn)，且|4F|=5.

(1)求p；

(2)若點(diǎn)B(—2,1)在橢圓T；^+，=l(a>6>0)上，且直線48與橢圓T相切，求橢圓7的標(biāo)準(zhǔn)方程.

16.(本小題15分)

△2BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知s出22+cos24=1,b=1.

(1)若c=2V~2，求a；

(2)若△ABC為鈍角三角形，求△2BC面積的取值范圍.

17.(本小題15分)

在一次闖關(guān)游戲中，某一關(guān)有4B,C三道題.將這三道題按一定順序排好后(如第一道題為C題，第二道題

為B題，第三道題為a題)，玩家開始答題.若第一道題答對，則通過本關(guān)，停止答題，若沒有答對，則答第

二道題；若第二道題答對，則通過本關(guān)，停止答題，若沒有答對，則答第三道題；若第三道題答對，則通

過本關(guān)，若沒有答對，則沒有通過本關(guān).假設(shè)每名玩家答對a,B,C三道題的概率分別為0.2,03,0.5.每次

答題正確與否相互獨(dú)立.

(1)求玩家通過這一關(guān)的概率.

(2)規(guī)定：答對2題積30分，答對B題積20分，答對C題積10分.現(xiàn)有兩種題序可供選擇：①第一道題為4

題，第二道題為B題，第三道題為C題；②第一道題為C題，第二道題為8題，第三道題為4題.為了在本關(guān)

中得到更多的積分，應(yīng)該選擇哪種題序？

18.(本小題17分)

如圖，直四棱柱4BCD的底面4BCD是菱形，AA±=4,AB=2,NB4D為銳角，E,F,G分別

是AB,BC,A］。的中點(diǎn).

(1)證明：EG〃平面QDF.

(2)求二面角G-DF—C的余弦值的最大值.

19.(本小題17分)

(1)證明：當(dāng)l<x<2時(shí)，x2sin^+%—2>0.

(2)若VxG(0,2),Inx+1-^cosy-a>0,求a的取值范圍.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：■:z=2i(-2+0=-4i+2i2=-2-4i,

??.|z|=J(-2)2+(-4)2=2/5.

故選：D.

先應(yīng)用乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再應(yīng)用模長公式計(jì)算求解.

本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題知BU4故164代入得I7一1+巾=0,得m=0,故A正確.

故選：A.

根據(jù)8U4則1一1+爪=0,從而可求解.

本題考查集合間的相互關(guān)系求參數(shù)值，屬于簡單題.

3.【答案】C

【解析】解：將已知等式兩邊平方，可得(sina-cosa)2-sin2a+cos2a—2sina-cosa-1—sin2a=

3

8,

可得s譏2a=f.

o

故選：c.

根據(jù)s譏a-cosa=乎平方即可得出s譏2a的值.

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，定義在;?上的函數(shù)/0)滿足/0)+/(2-％)=4,

所以令x=1,可得f(l)=2.

又由f(x)是偶函數(shù),則/(一1)=/(I)=2.

故選：C.

令x=l,可得f(l)=2,再利用函數(shù)的奇偶性可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：等比數(shù)列｛廝｝中，的=(,a3a4=。5，

設(shè)等比數(shù)列｛5｝的公比為q,

由a3a4=a5,得a1/,a同=a2gS=%/,所以電勺=1,

故選：D.

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出q=5,利用等比數(shù)列求和公式得到答案.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閿?shù)據(jù)打，久2,均和數(shù)據(jù)“4,久5,右的平均數(shù)均為3方差均為$2,

222222

所以S?=-X)+(X2-X)+(X3-X)]=|[(%4-X)+(X5-X)+(X6-X)],

所以數(shù)據(jù)％1，X2,x3,x4,x5,功的平均數(shù)為=X,

所以數(shù)據(jù)久1，比2，％3，x4>x5^^的方差為4[(*1—XT+(久2—XT+…+(“6—久/I=%(3$2+3s2)=

S2.

故選:B.

根據(jù)方差的計(jì)算公式即可求解.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解:根據(jù)題設(shè)仇久一萬一2>lny-y-2,

令函數(shù)/(X)=伉萬一比V,并且定義域久>0,那么導(dǎo)函數(shù)/(久)=：+|>0,

因此函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，因此X>y>0,

因此比2>xy>0,那么e*z>exy>1.

故選：A.

構(gòu)造/'(x)=Inx-久V并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得x>y>0,結(jié)合不等式的性質(zhì)有/>xy>0,再由

指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于簡單題.

8.【答案】D

【解析】解：已知雙曲線C：a一%=M(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為4過尸作C的一條漸近線

的垂線，垂足為P,

記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，由雙曲線的性質(zhì)可知：在R2POF中，|PF|=6,|。/|=c,|PO|=a,cos/PF。=%

h

22

在APAF中，=|pF|2+^AF^2_2\PF\\AF\COS^PFA=b+Qa+c)-2b(a+c)p

222

因?yàn)閨PF|=W|PA|,所以|PZ『=IffL=L.,所以52+(a+c)2—2b(a+c)-=

5212

c+a222

3-3-+2ac-2(c—=Q,gp-e+1+2e—2(e—1)匕^=0,

-1-1e2+f7+57=0,i1(-e3+7e+6)=0,1<(e+l)(e+2)(e—3)=0.

因?yàn)閑>1,所以e=3.

故選：D.

利用雙曲線的性質(zhì)把APAF的三邊用a,b,c表示出來，然后用NPFA的余弦定理建立起a,b,c的方程,

進(jìn)而可得到答案.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：將函數(shù)/(久)=sin(x+學(xué)的圖象向右平移3個(gè)單位長度，得g(x)=sin(x+3)，

對于4,函數(shù)g(x)最小正周期為2兀，故A正確；

對于B,因?yàn)間(-x)=sin(-x+$力g(x),所以g(x)不是偶函數(shù)，故2錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)間(Y)=0,所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(Y，0)對稱，故C錯(cuò)誤.

對于0,當(dāng)一然比(狎，+所以函數(shù)9(%)單調(diào)遞增，故°正確.

故選：AD.

由圖象平移得函數(shù)g(x)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)依次判斷即可.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換及正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意可知，/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1［)對稱，所以/(x)+/(—尤+2)=1,/(I)=>

1)=|>所以〃=1,A正確；

因?yàn)?'(a)=0.97725,/(a+2)-0.02275,所以/(a)+/(a+2)=1,

因?yàn)?(a)+f(—a+2)=11所以/(a+2)=f(—a+2),所以a+2=—a+2,解得a=0,5正確；

因?yàn)椤盎?f(a+2)=P(f>0)-P(f>2)=P(0<f<2)?0.9545,

所以P(0<2)=P(l-2cr<f<1+2CT),所以1~^=:解得c=C錯(cuò)誤；

11+LG—ZN

P(f>1)=0.5f<I)=0.84135,P正確.

故選：ABD.

根據(jù)對稱性定義結(jié)合正態(tài)分布判定4應(yīng)用概率公式結(jié)合正態(tài)分布計(jì)算求解參數(shù)判定B,C,D.

本題考查了正態(tài)分布，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項(xiàng)A,點(diǎn)p(%o,yo)關(guān)于y軸對稱的對稱點(diǎn)為P'(—Ko,yo)，

滿足［(一久0)2+據(jù)］2—yo［i0(—Xo)2+羽］=0,

2

即(以+yo)-yo(lOxo+yo)=0,所以選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)8,(詔+箔)2詔+羽)=0=>yo(10以+據(jù))=(Xo+Yo)22。，

又10詔+詔20,所以為20,故選項(xiàng)8正確；

對于選項(xiàng)C,令刀=丁(?05。，y=rsind,由(久2+y2)2一丫。。/+丫2)=。，

所以"-rsin0(lOr2cos20+r2sin20)=0(r豐0),

22

所以r=sind(<10cos9+sin0),

則y=sin3-sin0(10cos26+sin20)=sin20'(lOcos20+sin20),

令t=sin20,cos20=1—t,

所以y=10t-9t2,當(dāng)t=|時(shí)，有%nax=1，所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,|OP|=r=sin9(10cos26+sin20)=sin0(lO—9sin26'),

令入=sin。,所以r=4(10-9M),求導(dǎo)得r'=10—27萬，

令/=0n4=等(負(fù)數(shù)舍去，若代入負(fù)數(shù)，貝(!r<0),

所以r在(0,苧)單調(diào)遞增，在(苧,1)單調(diào)遞減，

所以加ax='浣，所以選項(xiàng)。正確?

故選：ABD.

對4（一%o，y（））也滿足；

對B變形y（）（10詔+指）=（Xo+據(jù)T>o可判斷;

對C,換元％=rcos。，y=rsinO,然后得到丫=sin2。.（lOcos?。+siM。），進(jìn)一步換元t=sin2。，可判

斷；

對。，\OP\=r=sind（lO—9sin2^）,A=sinO,求導(dǎo)可得.

本題考查曲線與方程的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閥=ln（ax）,所以y'=:直線y=%-1的斜率為1,

1

令y'=（=l,解得％=1,y=x—1=0,即切點(diǎn)是（0,0）,所以0=仇。，解得a=L

故答案為：1.

由題意y'=g然后求出斜率為1時(shí)的久=1,從而可求解.

本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：已知邊長為，虧的正方形A8CD由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成，且E為。尸的中

點(diǎn)，

則48=<5,DE=EF=GE=AG,

根據(jù)勾股定理得：7DE?+AE2=7DE2+4DE2=百，

所以。E=AG=1,AE=BG=2,

所以荏.屈=屈.而+荏.左=2.

故答案為：2.

根據(jù)圖形中的邊角關(guān)系求出4E,AG,BG的長度，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

14.【答案】57r

【解析】解：作出示意圖如下:

易知2E1BD,因?yàn)槠矫?BD1平面BCD,

因?yàn)槠矫鍭BOCI平面BCD=CD,所以AE_L平面BCD,

BC2+BD2-CD23+4/

設(shè)BE=x,貝心盾=1-x2,cos/.CBD=

2BC-BD8x

3+4/

所以C￡"2=2+2_2BE-BCcosz.CBD=x2+4-2?2x?5”2

BEBC8%

因?yàn)樾?貸+CE2,所以1一尤2+9/=2,解得乂=苧，貝I]4E=T，

所以BD=2x=C，所以ED?+亦=Be?,所以BD1CD,

取BC的中點(diǎn)H,則“為△BCD外接圓的圓心,

過點(diǎn)H作直線4垂直于平面BCD,

設(shè)△4BD外接圓的圓心為F,過尸作直線％垂直于平面48。，記4n/2=G,

則G為四面體2-BCD外接球的球心,

AD1

又24F==2,解得4F=1,

sinz.ABD絲

AB

1i

則HG=EF=AF-AE=11

所以四面體4-BCD外接球的半徑為BG=y/BH2+HG2=苧

所以所求47r-BG2=57r.

故答案為：57r.

根據(jù)題意取BD的中點(diǎn)E,連接2E,CE,分別找出為△BCD外接圓的圓心H,△48。外接圓的圓心為尸，再

結(jié)合外接球的性質(zhì)可得8G即為外接球半徑，即可求解.

本題考查四面體的外接球問題，屬中檔題.

15.【答案】2；

》4=1.

oZ

【解析】(1)因?yàn)?(4,m)0n>0)為C上一點(diǎn),且網(wǎng)=5,

所以|4F|=4+%5,

解得p=2；

(2)由(1)得2(4,4),

所以直線AB的斜率k=號」，

4十ZZ

則直線的方程為％—2y+4=0,

包+尤=1?、°

聯(lián)乂。2戶,消去工并整理得(4匕2+q2)y2—]6b2y+16b92—a2b2=0,

、%—2y+4=0

止匕時(shí)/=(16/?2)2—4(462+a2)(16b2—a2/?2)=0,化簡得a?+4ft2=16,①

因?yàn)辄c(diǎn)8(-2,1)在橢圓T上，

所以去+a=L②

聯(lián)立①②，

Ma2=8,b2=2.

則橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+號=L

oZ

(1)利用拋物線焦半徑|訓(xùn)=44-2=5,即可求解；

22

(2)求出直線的方程為％-2y+4=0,然后與橢圓聯(lián)立后消去x后得(46?+a}y-16b2y+16b2一

a2b2=0,則/=(16^2)2_4(4/)2+@2)(1602—a2b2)=0,求得a?+4b2=16,再結(jié)合點(diǎn)B在橢圓T上即

可求解.

本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】a=A；

(0,i)U(1,+oo).

【解析】(1)因?yàn)閟譏2A+cos2A=1,^x^X2sinAcosA+1—2sin2A=1,^sinAcosA=sir12A.

因?yàn)椤癎sinAW0,所以sinA=cosA,及汝幾4=包4=1，所以/=T-

因?yàn)閎=1,c=2V-2,

所以由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=1+8—2x2，~^cosg=5,

所以a=V-5;

(2)因?yàn)閎=1,A=1所以S“BC=gbcsinA=苧。.

4嗚+8)

由正弦定理得：C=粵=si叫B)

sinBsinBsinB

sin^cosB+cos^sin5旦￡

sinB2tanB2'

因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，所以六B<管吟<C=^-B<^,

Z4N44

即<B<,或0VBV?所以tcmB6(—co,—1)U(0,1),

所以c+9e(°，?)u(VI,+8),

11

所以S—BCe(°q)UG，+°°).

所以△ABC面積的取值范圍是(0,J)U(〈,+8).

4Z

(1)由二倍角公式化簡得到sinA=cos4從而求出A=p由余弦定理得到a=75；

4

(2)由正弦定理，結(jié)合AdBC為鈍角三角形，得到c=m+￥e(0，￥)U(Y2+8),從而由三角形面積

LtCCYlDLZ

1-1

公式求出SAABCe(0,i)U(i+00).

4L

本題考查利用正、余弦定理和三角形的面積公式，三角函數(shù)的值域求法解三角形，屬于中檔題.

17.【答案】0.72；

選擇題序①.

【解析】(1)設(shè)通關(guān)概率為PQ4)，未通關(guān)概率為P(8)：

貝⑻=(1-0.2)x(1-0.3)x(1-0.5)=0.28,

那么，PQ4)=1—P(B)=1-0.28=0.72,

故玩家通過這一關(guān)的概率為0.72；

(2)計(jì)算兩種答題順序的期望積分：

順序①ATBTC：

答對4題：30x0.2,答錯(cuò)4答對B：20x0.8x0.3,答錯(cuò)4、B答對C：10x0,8x0.7x0.5

期望總積分①：=30x0.2+20x0.8x0.3+10x0.8x0.7x0.5=13.6,

順序②C-B-4：

答對C：10x0.5,答錯(cuò)C答對B：20x0.5x0.3,答錯(cuò)C、B答對4：30x0,5x0,7x0.2,

期望總積分②：=10x0.5+20x0,5x0.3+30x0,5x0.7x0,2=10.1,

比較結(jié)果大?。?3.6>10.1

故應(yīng)選擇題序①.

(i)根據(jù)題意可知，通關(guān)概率和未通關(guān)概率互為對立事件，設(shè)通關(guān)概率為p(a),未通關(guān)概率為PCB),則

P(4)=1-P(B),未通關(guān)概率P(B),即4B,C三道題均答錯(cuò)概率，通過求解對立事件概率P(B),進(jìn)而

得出通關(guān)概率P(4)；

(2)計(jì)算并比較兩種題序下，獲得不同積分的期望值.

本題考查了對立事件，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解析；喝.

【解析】(1)證明：連接力名，BDi，CD1,設(shè)(7。1。的。="，連接F”.

在AABDi中，E,G分別是AB,皿的中點(diǎn),

所以EG〃BD「

在ACBA中，F(xiàn),“分別是BC,CD1的中點(diǎn),

所以FH〃BD1,則EG〃FH.

因?yàn)镋G仁平面GDF,FHu平面GDF,

所以EG〃平面CiDF.

(2)過點(diǎn)。作DK148交4B于點(diǎn)K.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DK所在直線為無軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),6(0,2,4).

^Z-BAD=a,且ae(0,,貝！JDK=ADsina=2sina,AK=ADcosa=2cosa.

設(shè)F(%o，yo，0)，

11

則％°=《DK=sina,y0=-(CD+BK)=2—cosa,

即F(s出由2—cosa,0),

則DC；=(0,2,4),方7=(sina,2—cosa,0).

設(shè)平面CiDF的法向量為記=(%,y,z),

貝坦1友,貝吧?友=。,所以鑿裁：(Losa)y-0，

Im1DF(jri-DF=0?sina)x+(Z-cosa)y-U

可取鉆—(2—cosa,—sina.^sina').

易得平面DCF的一個(gè)法向量為元=(0,0,1).

1.

一一m-n2sina

|cos<m,n>|=||而||行?I=,

J(2—cosa)2+(—sina)2+(^sina)2

1.

■^sina]

125—4cosa

5—4cosa+^sina

J1-cos2a

令5—4cosa—t,tE(1,5),

5—4cosa_16t_16>16_4

2

貝立一cos2a--t+10t-9--(t+1)+10__2^75+10-'

當(dāng)且僅當(dāng)5—4cosa=t=3,即cosa=:,a=/時(shí)，等號成立,

所以2r5—4cosa.1一

Il-cos2a42

故二面角Q-DF-C的余弦值的最大值為空.

(1)連接2必，BD],設(shè)連接FH,由線面平行的判定即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由面面角余弦的向量公式及基本不等式即可求解.

本題考查線面平行的判定，以及向量法與基本不等式的應(yīng)用，屬于難題.

19.【答案】證明見解析；

(—8,2].

【解析】(1)證明：令g(x)=