2023年新高考統(tǒng)計(jì)概率解答題9大常考題型專(zhuān)題訓(xùn)練

【題型目錄】

題型一：統(tǒng)計(jì)案例k2檢驗(yàn)解答題

題型二：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題

題型三：條件概率的計(jì)算及應(yīng)用

題型四：離散型隨機(jī)變量分布列，期望及方差

題型五：二項(xiàng)分布解答題有關(guān)問(wèn)題

題型六：統(tǒng)計(jì)概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計(jì)算問(wèn)題

題型七：正態(tài)分布在解答題中的應(yīng)用

題型八：統(tǒng)計(jì)概率中與數(shù)列有關(guān)的解答題

題型九：統(tǒng)計(jì)概率中的最值范圍問(wèn)題

【題型總結(jié)】

題型一：統(tǒng)計(jì)案例公檢驗(yàn)解答題

【例1】某商店銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，為了解客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶(hù)，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一

般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：

一般良好合計(jì)

男20100120

女305080

合計(jì)50150200

(1)通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為客戶(hù)對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？

(2)利用樣本數(shù)據(jù)，在評(píng)價(jià)結(jié)果為“良好”的客戶(hù)中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6名客戶(hù).若從這6名

客戶(hù)中隨機(jī)選擇2名進(jìn)行訪談，求所抽取的2名客戶(hù)中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

0.150.100.050.0250.010

k02.0722.7063.8415.0246.635

男生女生合計(jì)

了解10n

不了解5n

合計(jì)

求n的值;

0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

【例3】國(guó)際足聯(lián)世界杯，簡(jiǎn)稱(chēng)“世界杯”，是由全世界國(guó)家級(jí)別球隊(duì)參與的，并具有最大知名度和影響力的

足球賽事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔爾舉行.某大學(xué)為了解本校學(xué)生對(duì)世界杯的關(guān)

注程度，從學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（其中男生120名），根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果得到如下圖所

示的等高規(guī)程條形圖.

關(guān)注不關(guān)注合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

(2)從這200名學(xué)生里對(duì)世界杯關(guān)注的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再?gòu)倪@8名學(xué)生

中隨機(jī)選取3名參與學(xué)校足協(xié)活動(dòng).記參與學(xué)校足協(xié)活動(dòng)的男生人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

喜愛(ài)不喜愛(ài)

男生

女生

附:

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【例5】九江市正在創(chuàng)建第七屆全國(guó)文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)九江創(chuàng)文的了解和重視，組織全校高

三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識(shí)競(jìng)賽(滿(mǎn)分100),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)

他們的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如下：

文科生116234416

理科生92427328

合計(jì)1040507624

(1)在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類(lèi)分層抽樣抽取5名學(xué)生.

①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；

②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率.

(2)如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科

類(lèi)有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

0.100.050.010.0050.001

kg2.7063.8416.6357.87910.828

【題型專(zhuān)練】

1.某大學(xué)“愛(ài)牙協(xié)會(huì)”為了解“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)200名青少年展開(kāi)了調(diào)查,

得知這200個(gè)人中共有120個(gè)人“有蛀牙”，其中“不愛(ài)吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛(ài)吃甜食”且“無(wú)蛀

牙”的有50人.有2x2列聯(lián)表：

有蛀牙無(wú)蛀牙總計(jì)

愛(ài)吃甜食

不愛(ài)吃甜食

總計(jì)

(1)根據(jù)已知條件完成如圖所給的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”

有關(guān)；

(2)若從“無(wú)蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人作進(jìn)一步調(diào)查，再?gòu)倪@抽取的8人中隨機(jī)抽取2

人去擔(dān)任“愛(ài)牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛(ài)吃甜食”且“無(wú)蛀牙”的青少年的概率.

0.050.010.005

k3.8416.6357.879

2.某中學(xué)在高一學(xué)生選科時(shí)，要求每位學(xué)生先從物理和和歷史這兩個(gè)科目中選定一個(gè)科目，再?gòu)乃枷胝巍?/p>

地理、化學(xué)、生物這四個(gè)科目中任選兩個(gè)科目.選科工作完成后，為了解該校高一學(xué)生的選科情況，隨機(jī)

抽取了部分學(xué)生作為樣本，對(duì)他們的選科情況統(tǒng)計(jì)后得到下表：

思想政治地理化學(xué)生物

物理類(lèi)100120200180

歷史類(lèi)1201406080

生物學(xué)科選法

科類(lèi)

選不選合計(jì)

物理類(lèi)

歷史類(lèi)

合計(jì)

a0.10.050.0010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

3.新冠疫情過(guò)后，國(guó)內(nèi)相繼爆發(fā)了甲型H1N1流感病毒(甲流)和諾如病毒感染潮，為了了解感染病毒類(lèi)

型與年齡的關(guān)系，某市疾控中心隨機(jī)抽取了部分感染者進(jìn)行調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲流患者數(shù)是諾如病毒感染者

人數(shù)的2倍，在諾如病毒感染者中60歲以上患者占|,在甲流患者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的一半.

(1)若根據(jù)卡方檢驗(yàn)，有超過(guò)99.5%的把握認(rèn)為“感染病毒的類(lèi)型與年齡有關(guān)”，則抽取的諾如病毒感染者至

少有多少人？

(2)研究發(fā)現(xiàn)，針對(duì)以上兩種病毒比較有效的藥物是奧司他韋和抗病毒口服液，并且發(fā)現(xiàn)奧司他韋治療以上

兩種病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍.現(xiàn)對(duì)兩種藥物進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)抗病毒口服液共進(jìn)行兩輪試

驗(yàn)，每輪試驗(yàn)中若連續(xù)2次有效或試驗(yàn)3次時(shí)，本輪試驗(yàn)結(jié)束；對(duì)奧司他韋先進(jìn)行3次試驗(yàn)，若至少2次

有效，則試驗(yàn)結(jié)束，否則再進(jìn)行3次試驗(yàn)后方可結(jié)束，假定兩種藥物每次試驗(yàn)是否有效均互相獨(dú)立，且兩

種藥物的每次試驗(yàn)費(fèi)用相同.請(qǐng)結(jié)合以上針對(duì)兩種藥物的臨床試驗(yàn)方案，估計(jì)哪種藥物的試驗(yàn)費(fèi)用較低？

0.100.050.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

題型二：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題

【例1】據(jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三打印室1-4月份購(gòu)買(mǎi)的打印紙的箱數(shù)如表:

月份代號(hào)f1234

打印紙的數(shù)量y(箱)60657085

(2)建立y關(guān)于t的回歸方程，并用其預(yù)測(cè)5月份該校高三打印室需購(gòu)買(mǎi)的打印紙約為多少箱.

【例2】基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱(chēng)強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃是教育部開(kāi)展的招生改革工作，主要是為了選拔

培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.聚焦高端芯片與軟件、智能科技、

新材料、先進(jìn)制造和國(guó)家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國(guó)家人才緊缺的人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.某校在一次強(qiáng)基計(jì)劃模擬

考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取52名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（尤）和物理成績(jī)（y）,繪制成如圖散

點(diǎn)圖：

⑴若不剔除42兩名考生的數(shù)據(jù)，用52組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)y與x的相關(guān)系數(shù)為小試判斷為與r

的大小關(guān)系（不必說(shuō)明理由）；

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并估計(jì)如果3考生加了這次物理考試（已知8考生的數(shù)

學(xué)成績(jī)?yōu)?25分），物理成績(jī)是多少？（精確到0.1）

【例3】秋天的第一杯奶茶是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬?，民警用“秋天的第一?/p>

奶茶”順利救下一名女孩，由此而火爆全網(wǎng).后來(lái)很多人開(kāi)始在秋天里買(mǎi)一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶

店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）

如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

日期代碼X1234567

杯數(shù)y4152226293132

杯數(shù)

50

40

30

20

10

O1234567日期代碼

(2)建立y關(guān)于x的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并根據(jù)建立的回歸方程，試預(yù)測(cè)要到哪一天售出的奶茶

才能超過(guò)35杯？

(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機(jī)變量X表示盈利的天數(shù)，求隨

機(jī)變量X的分布列.

Ue2J

22.71.2759235.113.28.2

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)

乘以地塊數(shù))；

(2)建立地塊的植物覆蓋面積x(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；

(3)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測(cè)該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量.

【例5】移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底，我國(guó)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)

連接數(shù)達(dá)18.45億戶(hù)，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國(guó)家.右圖是20182022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連

接數(shù)W與年份代碼/的散點(diǎn)圖，其中年份20182022對(duì)應(yīng)的f分別為1-5.

必億戶(hù)八

25-?

20-.

15-

10**

5-,

°012345r

(D根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到o.oi),并推斷它們的相關(guān)程度;

【題型專(zhuān)練】

1.溫度作為環(huán)境因子，在種子的發(fā)芽過(guò)程中起著重要的作用.某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)某植物種子的發(fā)芽率y

與環(huán)境平均溫度x(℃)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們經(jīng)過(guò)5次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

第〃次12345

環(huán)境平均溫度x/℃1819202122

種子發(fā)芽率y62%69%71%72%76%

（2）若從這5次實(shí)驗(yàn)中任意抽取3次，設(shè)種子發(fā)芽率超過(guò)70%的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

2.受社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才不斷擴(kuò)大的需求和就業(yè)形勢(shì)等多方面因素的影響，我國(guó)本科畢業(yè)生中考研人數(shù)在不

斷攀升，2021年考研人數(shù)是377萬(wàn)人，2022年考研人數(shù)為457萬(wàn)人，比上年增加80萬(wàn)人，有關(guān)機(jī)構(gòu)估計(jì)

2023年研究生報(bào)名人數(shù)將突破500萬(wàn)人.某省統(tǒng)計(jì)了該省五所大學(xué)2022年的本（專(zhuān)）科大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)及

考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)E大學(xué)

2022年畢業(yè)人數(shù)x（千人）7.86.24.63.43

2022年考研人數(shù)y（千人）0.50.40.30.20.2

3.大壩是一座具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運(yùn)、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程.為預(yù)測(cè)滲壓值

和控制庫(kù)水位，工程師在水庫(kù)選取一支編號(hào)為BS3的滲壓計(jì)，隨機(jī)收集10個(gè)該滲壓計(jì)管內(nèi)水位和水庫(kù)水位

監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

（D估計(jì)該水庫(kù)中BS3號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位與水庫(kù)的平均水位;

上座率

1

8

6

4

2

>

O100200300400500票價(jià)/元

(2)根據(jù)(1)所求的回歸方程，預(yù)測(cè)票價(jià)為多少時(shí)，劇場(chǎng)的門(mén)票收入最多.

5.為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)x變化的繁殖個(gè)數(shù)y,收集數(shù)據(jù)如下:

天數(shù)X123456

繁殖個(gè)數(shù)

612254995190

y

八繁殖個(gè)

200

150

100

50

O2468天數(shù)x

Xy2

3.5062.833.5317.50596.5712.09

②根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于龍的回歸方程(系數(shù)保留2位小數(shù)).

題型三：條件概率的計(jì)算及應(yīng)用

【例11已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均

有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng).但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.這樣,

小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng).

(1)如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測(cè).已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測(cè)

的概率分別是:、在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對(duì)的情況下，求他知道單項(xiàng)選擇題正確

答案的概率.

(2)假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為選擇兩個(gè)選項(xiàng)的

概率為:，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為J.已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的

正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇.記X表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù).求：

(ii)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

疼痛指數(shù)X

人數(shù)(人)10819

名稱(chēng)無(wú)癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱(chēng)為有癥狀感染者.

【例3】人工智能是研究用于模擬和延伸人類(lèi)智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，

其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，

然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本

原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停挥型耆嗤募?、乙兩個(gè)袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，

其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯?/p>

子中等可能摸出一個(gè)球，稱(chēng)為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙

袋的概率均為3（先驗(yàn)概率）.

（1）求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；

（2）在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.

①求選到的袋子為甲袋的概率，

②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來(lái)袋子中

摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

【例4】某市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，學(xué)校號(hào)召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動(dòng).高三（1）班一組有男生

4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督

員三項(xiàng)可供選擇.每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為：；每名男

生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為g.每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜

合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不彩響，求

（1）在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；

（2）記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X,求X的期望.

【例51一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩

類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)

查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【題型專(zhuān)練】

1.為弘揚(yáng)體育精神，營(yíng)造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽.規(guī)定：

先累計(jì)勝兩場(chǎng)者為冠軍，一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場(chǎng)比賽結(jié)束后，將不能參加后面場(chǎng)次的比賽.在

規(guī)則允許的情況下，甲隊(duì)中球員〃都會(huì)參賽，他上場(chǎng)與不上場(chǎng)甲隊(duì)一場(chǎng)比賽獲勝的概率分別為1和w，且

每場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上的概率為1.

(1)求甲隊(duì)第二場(chǎng)比賽獲勝的概率；

(2)用X表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)數(shù)，求X的期望；

(3)已知球員M在第一場(chǎng)比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊(duì)比賽獲勝的概率.

(1)求患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率；

(2)若患者甲的檢查結(jié)果為陰性，求他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率(結(jié)果保留5位小數(shù))；

(3)醫(yī)院為每位參加該項(xiàng)檢查的患者繳納200元保險(xiǎn)費(fèi)，對(duì)于檢測(cè)結(jié)果為陰性，但在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤

的患者，保險(xiǎn)公司賠付該患者20萬(wàn)元，若每年繳納保險(xiǎn)費(fèi)的患者有1000人，請(qǐng)估計(jì)保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)

項(xiàng)目上的收益.

3.某學(xué)校為了增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)

有兩組黨史題目放在甲、乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題,

比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放

回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.

(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；

(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支

部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.求第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題的概率.

(1)試估計(jì)該市競(jìng)賽成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和第80百分位數(shù)(保留一

位小數(shù))；

(2)以樣本頻率值作為概率的估計(jì)值，若從該市所有參與競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)抽

到60分及以上的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【例2】在節(jié)日里為了促銷(xiāo)各大商場(chǎng)八仙過(guò)海各顯神通，推出了花樣繁多的促銷(xiāo)活動(dòng)，某大超市為了拉升節(jié)

日的喜慶氣氛和提升銷(xiāo)售業(yè)績(jī)，舉行了購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，購(gòu)物滿(mǎn)500元可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)方法

如下：在盒子里放著除顏色外其他均相同的5個(gè)小球(紅球和黑球各1個(gè)，白球3個(gè))，不放回地摸球，每

次摸1球，摸到黑球就停止摸獎(jiǎng)，摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)40元，摸到白球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).

(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；

(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【例3】為普及航天知識(shí)，某航天科技體驗(yàn)館開(kāi)展了一項(xiàng)“摸球過(guò)關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不

透明的口袋中有3個(gè)紅球,2個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.參與者每一輪從口袋中一次性取出3個(gè)球，

將其中的紅球個(gè)數(shù)記為該輪得分X,記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中.當(dāng)參與完成第"輪游戲，

且其前"輪的累計(jì)得分恰好為2〃時(shí)，游戲過(guò)關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時(shí)游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲.若第3

輪后仍未過(guò)關(guān)，則游戲也結(jié)束.每位參與者只能參加一次游戲.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)若甲參加該項(xiàng)游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率.

【例4】在某次現(xiàn)場(chǎng)招聘會(huì)上，某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取

3個(gè)問(wèn)題作答.假設(shè)甲能答對(duì)的題目有4道，乙每道題目能答對(duì)的概率為:，

(1)求甲在第一次答錯(cuò)的情況下，第二次和第三次均答對(duì)的概率；

(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙誰(shuí)被錄用的可能性更大？

【例5】針對(duì)我國(guó)老齡化問(wèn)題日益突出，人社部將推出延遲退休方案.某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)

查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示.

支持保留不支持

50歲以下800040002000

50歲以上(含50歲)100020003000

(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取w個(gè)人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求

n的值；

(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看成一個(gè)總體，從這10人中任意選取3人，求

50歲以下人數(shù)&的分布列和期望.

【題型專(zhuān)練】

1.兔年春節(jié)期間，煙花“加特林”因燃放效果酷炫在網(wǎng)上走紅，隨之而來(lái)的身價(jià)暴漲也引發(fā)關(guān)注，甚至還有

買(mǎi)不到的網(wǎng)友用多支普通的手持燃放煙花自制“加特林”.據(jù)悉，有A,8,C三家工廠可以各自獨(dú)立生產(chǎn)煙

花“加特林”，已知A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)2工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”也是正品的概率為1,

B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為C工廠生產(chǎn)的煙

9

花“加特林”是正品同時(shí)A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為.

(1)分別求A,B,C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)出來(lái)的煙花“加特林”是正品的概率；

(2)A,B,C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)一件煙花“加特林”，記隨機(jī)變量幾表示“三家工廠生產(chǎn)出來(lái)的正品的件

數(shù)”，求2的數(shù)學(xué)期望，它反映了什么實(shí)際意義？

2.某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，最后一個(gè)名額要在48兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測(cè)試方案如下：人8兩名學(xué)生各自從給定

的4個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答，在這4個(gè)問(wèn)題中，已知A能正確作答其中的3個(gè)，8能正確作答每個(gè)

問(wèn)題的概率是42兩名同學(xué)作答問(wèn)題相互獨(dú)立.

4

⑴求48恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；

(2)設(shè)A答對(duì)的題數(shù)為X,B答對(duì)的題數(shù)為匕若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生，說(shuō)明理由？

3.某商場(chǎng)在2023年元旦舉辦了一場(chǎng)有獎(jiǎng)銷(xiāo)售活動(dòng)，并且設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4

種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場(chǎng)消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4

種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為3.

(1)求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；

(2)若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無(wú)人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？

(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元、

15萬(wàn)元、20萬(wàn)元.問(wèn)實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大？

題型五：二項(xiàng)分布解答題有關(guān)問(wèn)題

【例1】為了“錘煉黨性修養(yǎng)，筑牢黨性根基”，黨員教師小A每天自覺(jué)登錄“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)APP”，參加各種學(xué)習(xí)

活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)

達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽,該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有30局，前2局是有效局，

根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得

2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2、3、4名的得1分；后28局是無(wú)效局，

無(wú)論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小A每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率

分別為:，；，在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為:，

(1)設(shè)小A每天獲得的得分為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；

(2)若小A每天賽完30局，設(shè)小A在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為g,每局是否贏得

比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問(wèn)在每天的30局四人賽中，小A贏得多少局的比賽概率最大？

【例2】賭徒分金問(wèn)題是概率論發(fā)展史上最著名的問(wèn)題之一，1651年法國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家德?梅赫將它提請(qǐng)著

名數(shù)學(xué)家帕斯卡解決，后來(lái)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和惠更斯也參與了討論并給出一般性推廣.以下是賭徒分金問(wèn)題

的例子:

(1)甲乙兩個(gè)選手實(shí)力相當(dāng)(即每人每局勝的概率都是:)，約定誰(shuí)先贏4局，就獲勝，并贏得獎(jiǎng)金10000元，

但在甲勝3局，乙勝2局時(shí)，比賽被迫中止，請(qǐng)計(jì)算甲最后獲勝的概率和分到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望.

【題型專(zhuān)練】

1.某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽

命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為億，壽命為2年以上的概率為0.從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)

行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換.

(1)在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；

(2)在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的P。作為P的值.已知每件產(chǎn)品

的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

Ci)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

題型六：統(tǒng)計(jì)概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計(jì)算問(wèn)題

【例1】為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出

頻率分布直方圖(如圖).圖中從左到右各小矩形面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數(shù)為12.

(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少？

(2)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).

頻率

木一-距

組二

O.

S

071-二

061-一

O.

051-一

0.

041-

0.二

031-二

0.

021-

0.

011-

齡/歲

45年

540

303

2025

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