估算、比較無理數(shù)的大小

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①掌握估算的方法1.會(huì)估算一個(gè)無理數(shù)的大致范圍；

②會(huì)利用估算法比較大小2.比較兩個(gè)無理數(shù)的大小.

Kfl思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)。1估算

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)02比較無理數(shù)的大小

估算<

題型01估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

題型。2無理數(shù)的大小估算

題型

題型03無理數(shù)大小的比較

題型04無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算

RT知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01估算

【微點(diǎn)撥】日常生活中有些數(shù)據(jù)不需要十分精確時(shí)，可以通過應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行估算，但要盡可能地減小

誤差，方法要科學(xué).

估算法：（1）若則如<?<；（2）若%vac%,則軻<\[a<眄；

根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯x。最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來估算而和如的大小.

例如：9<a<16,則3<而<4；8<a<27,則2<3.

常見實(shí)數(shù)的估算值：百?1.414,81.732,6-2.236.

【即學(xué)即練1】

1.估計(jì)4君的值在（）

A.6和7之間B.5和6之間C.4和5之間D.3和4之間

2.若a和6為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且"而<人那么。=,b=.

知識(shí)點(diǎn)02比較無理數(shù)的大小

①平方（立方）②估算法

注意：

還有其他比較實(shí)數(shù)大小的方法，如數(shù)形結(jié)合法（數(shù)軸上右邊的實(shí)數(shù)始終比左邊的大），作差法，作商法等.

【即學(xué)即練1】

1.比較大?。?3V2--V19.

題型精講

題型01估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

【典例1］估計(jì)時(shí)的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【變式1】估計(jì)何+1的值應(yīng)在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【變式2】估算717*百-4的結(jié)果在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【變式3】估算4-遮的值（）

A.在0到1之間B.在1到2之間

C.在2到3之間D.在3到4之間

題型02無理數(shù)的大小估算

【典例2】把無理數(shù)舊，VTi,V5,百表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無理數(shù)中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住

的無理數(shù)是.

11111111I

-5-4-3-2-1012345

【變式1］估算下列數(shù)的大?。?/p>

（1）V120~（結(jié)果精確到1）；

（2）VK8?（結(jié)果精確到0.1）.

【變式2】寫出一個(gè)介于-遮和-VIU之間的整數(shù).

【變式3】同在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)a和b之間，a〈d^<b,那么a+b的立方根是.

題型03無理數(shù)大小的比較

【典例3】比較大?。篤7-12

【變式1】比較大小:2-V21（填"〉或

【變式2】比較大?。?.5四.

2

【變式3】比較大小：V5+13.（填"〉或"="）

題型04無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算

【典例3］己知5+V7的小數(shù)部分為。，5—近的小數(shù)部分為b,則（a+6）2024=.

【變式1】設(shè)4+代的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則a-6=.

【變式2】已知a的立方根是2,b是g的整數(shù)部分，貝Ua+b的算術(shù)平方根是.

【變式3】閱讀下面的文字，解答問題：大家知道應(yīng)是無理數(shù)，因此a的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出

來位-1來表示/的小數(shù)部分，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榛?，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是

V2,又例如團(tuán)22<（V7）2<32,即2<小,回收的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（V7-2）.

請解答：

⑴VII的整數(shù)部分是，小數(shù)部分.

⑵如果b的小數(shù)部分為a,聞的整數(shù)部分為6,則a+6-通的值.

⑶己知x是3-通的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x-y的值.

KH強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.估計(jì)指的值是在（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

2.估計(jì)兩的值應(yīng)在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

3.若下<m<M,則整數(shù)相的值為()

A.2B.3C.4D.5

4.若一個(gè)正方體水晶磚的體積為100,則它的棱長約在()

A.4.3:4.4之間B.4.4:4.5之間C.4.5:4.6之間D.4.6?4.7之間

5.若“是后的算術(shù)平方根，6是舊的小數(shù)部分，則a+6-而的值為()

A.-1B.1C.0D.-2

二、填空題

6.請寫出一個(gè)大于-4而小于-3的無理數(shù).

7.與3+后最接近的整數(shù)是.

8.比較大小：(1)-7-V50,(2)或二!■0.5

2

9.已知a,b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，J=La<V14<&，則a+b=.

10.已矢口43?=1849,44?=1936,452=2025,46?=2116.若w為整數(shù)且n<,2024〈九+1,貝U〃的值是

三、解答題

11.已知J2a-1=3,3a+6-l的平方根是±4,。是M的整數(shù)部分.

⑴求a+46+c的算術(shù)平方根；

(2)求a+》-5c的立方根.

12.根據(jù)表回答問題:

X1616.116.216.316.416.516.616.716.8

X2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24

(1)272.25的平方根是

(2)726569=,>/2.7556=；

(3)設(shè)質(zhì)的整數(shù)部分為加，求-g機(jī)的立方根.

13.請回答下列問題：

⑴，"介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)。和沙之間，且。＜6,那么。=，b=.

(2)尤是近+2的小數(shù)部分，v是?+i的整數(shù)部分，求工=,y=

14.觀察：回"＜?＜四，即2＜逐＜3,回卡的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為#-2.規(guī)定符號上司表示實(shí)

數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：[|]=0,[#]=2,請你運(yùn)用上述規(guī)律解決下面的問題：

⑴按此規(guī)定[而+2]=；

⑵如果近的小數(shù)部分為。，風(fēng)的整數(shù)部分為b,求[。+句的值.

15.根據(jù)表回答下列問題:

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

(1)316.84的平方根是「

(2),29241=,J3.1329=；

(3)若《介于17.6與17.7之間，則滿足條件的整數(shù)〃有個(gè);

(4)若J315-1小數(shù)部分為m,求(加+17『的值.

16.先閱讀下面的文字，然后解答問題.

大家知道&是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)近的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用虛

的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，因?yàn)檠恼麛?shù)部分是1,差就是小數(shù)部分.

由此我們還可以得到一個(gè)真命題：如果0=x+y,其中x是整數(shù)，那么x=l,y=y/2-l

請解答下列問題：

⑴如果-逐=〃+6,其中。是整數(shù)，且那么，b=；

⑵已知2+6=m+",其中"?是整數(shù)，且求I根-"I的值.

17.下面是小明在學(xué)習(xí)“無理數(shù)的估算”時(shí)做的學(xué)習(xí)筆記.

無理數(shù)的估算：

大家知道石是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此心的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是我用

8-1來表示6的小數(shù)部分，你同意我的表示方法嗎？

事實(shí)上，我的表示方法是有道理的，因?yàn)閴牡恼麛?shù)部分是1,所以將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)

部分

例如：

0版〈不〈也,即2<77<3,

回近的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是后_2

根據(jù)以上筆記內(nèi)容，請完成如下任務(wù).

⑴任務(wù)一：M的小數(shù)部分為.

⑵任務(wù)二：a為6的小數(shù)部分，6為止的整數(shù)部分，請計(jì)算”君的值.

(3)任務(wù)三：x+y=10+6,其中x是整數(shù)，且。<y<L求2x-y的相反數(shù).

18.在沒有帶開方功能的計(jì)算器的情況下，我們可以用下面的方法得到y(tǒng)5為正整數(shù)）的近似值4（%為

正整數(shù)），并通過迭代逐漸減小K|的值來提高應(yīng)的精確度，以求a的近似值為例，迭代過程如下：

①先估計(jì)?的范圍并確定迭代的初始值q.

,//<V7<A/9，

3-2-

/.2v\f7v3,q=2H———=2.5.

②通過計(jì)算mk=&）-”和%=mk得到精確度更高的近似值aM.

2%

請根據(jù)以上信息，完成下面的問題（此題中記才名2.6458,以下結(jié)果都要求寫成小數(shù)形式）：

（1）當(dāng)人=1時(shí)，叫=耳--=,/=4-嗎=,，一夕卜;

（2）當(dāng)人=2時(shí)，求嗎（精確到0.001）、4、,-旬的值.

參考答案

估算、比較無理數(shù)的大小

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①掌握估算的方法1.會(huì)估算一個(gè)無理數(shù)的大致范圍；

②會(huì)利用估算法比較大小2.比較兩個(gè)無理數(shù)的大小.

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)01估算

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)02比較無理數(shù)的大小

估算工

題型01估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

題型。2無理數(shù)的大小估算

題型

題型03無理數(shù)大小的比較

題型04無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01估算

【微點(diǎn)撥】日常生活中有些數(shù)據(jù)不需要十分精確時(shí)，可以通過應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行估算，但要盡可能地減小

誤差，方法要科學(xué).

估算法：（1）若04%＜°＜生，則;（2）若qvav%,則如＜也＜強(qiáng);

根據(jù)這兩個(gè)重要的關(guān)系，我們通?？梢哉揖嚯x。最近的兩個(gè)平方數(shù)和立方數(shù)，來估算G和%的大小.

例如：9＜a＜16,貝!!3＜代＜4；8＜a＜27,則2＜布v3.

常見實(shí)數(shù)的估算值：＞/2?=1.414,百?1.732,6=2.236.

【即學(xué)即練1】

1.估計(jì)48的值在（）

A.6和7之間B.5和6之間C.4和5之間D.3和4之間

【答案】A

【分析】根據(jù)無理數(shù)估算大小的方法即可求解.

【詳解】解：04^/3=^,且用＜用＜屈，

團(tuán)6＜屈＜7,

回6＜4石＜7,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)比較大小，掌握無理數(shù)估算大小，比較大小的方法是解題的關(guān)鍵.

2.若。和6為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且“＜幅＜人那么"=，b=.

【答案】34

【分析】根據(jù)3＜JS＜4,可得：a,匕的值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】?.?3＜Vio＜4,

又a,分為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，"回<b,

a=3,b=4

故答案為:3；4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的估算，掌握算術(shù)平方根的意義，是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)02比較無理數(shù)的大小

①平方（立方）②估算法

注意：

還有其他比較實(shí)數(shù)大小的方法，如數(shù)形結(jié)合法（數(shù)軸上右邊的實(shí)數(shù)始終比左邊的大），作差法，作商法等.

【即學(xué)即練1】

1.比較大?。?3V2--V19.

【答案】>

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，要比較的兩個(gè)數(shù)都是帶根號的無理數(shù)時(shí)，應(yīng)把根號外的數(shù)整

理到根號內(nèi)，然后比較被開方數(shù).也可以采用求近似值的方法來進(jìn)行比較.

因?yàn)橄啾容^的兩個(gè)數(shù)都帶根號，所以應(yīng)把根號外的數(shù)整理到根號內(nèi)，然后比較被開方數(shù)的大小即可.

【詳解】解：3&=舊，

■.'718<V19,

0-3V2>-V19

故答案為：>

題型精講

題型01估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

【典例1]（2024九年級下?新疆?專題練習(xí)）估計(jì)近的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【答案】A

【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)，算術(shù)平方根，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)4<5<9,得到〃（痛<?，即可估算隗的取值范圍.

【詳解】解：04<5<9,

0A/4<V5<V9,即2<?<3.

故選：A.

【變式1]（23-24七年級下,重慶秀山?階段練習(xí)）估計(jì)何+1的值應(yīng)在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】D

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，根據(jù)25<27<36得到5〈歷<6,貝密<a7+1<7,據(jù)此可

得答案.

【詳解】解：025<27<36,

05<V27<6.

06<V27+1<7，

故選：D.

【變式2]（23-24八年級下?安徽淮北,期末）估算舊xV3-4的結(jié)果在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】C

【分析】本題考查無理數(shù)的估值計(jì)算.根據(jù)題意可得VT7xV3-4=V51-4?3.1,繼而得到本題答案.

【詳解】解：0V17xV3-4=V51-4?3.1，

0V17XV3-4的結(jié)果在3和4之間，

故選：C.

【變式3]（23-24七年級下,重慶?期末）估算4-遮的值（）

A.在0到1之間B.在1至I]2之間

C.在2到3之間D.在3到4之間

【答案】B

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，夾逼法求出無理數(shù)的范圍即可.

【詳解】解：0V4<V5<V9,

02<V5<3，

0-3<-V5<一2，

01<4-V5<2;

故選反

題型02無理數(shù)的大小估算

【典例2]（22-23八年級上?河南開封?期末）把無理數(shù)VT7,V11，逐，百表示在數(shù)軸上，在這四個(gè)無理數(shù)

中，被墨跡（如圖所示）覆蓋住的無理數(shù)是.

???1??A

-5-4-3-2-1012345

【答案】vn

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算無理數(shù)的大小即可得出答案，估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：134<V17<5,回不符合題意，

03<VT1<4,回符合題意，

02<V5<3，回不符合題意，

01<V3<2，回不符合題意，

故答案為：VTT.

【變式1】（23-24八年級上?全國?單元測試）估算下列數(shù)的大?。?/p>

（1）V120~（結(jié)果精確到1）;

（2）VK8-（結(jié)果精確到0.1）.

【答案】53.8

【分析】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，解決本題關(guān)鍵會(huì)用"夾逼法".

（1）由43=64,53=125即可得出結(jié)論;

（2）由于9<14,8<16,由此即可找到所求的無理數(shù)在哪兩個(gè)和它接近的有理數(shù)之間，然后即可判斷出所

求的無理數(shù)的大小.

【詳解】解：（1）-?-43=64,53=125,（V120）3=120）

120更接近125,

???V120?5;

（2）-,?9<14.8<16,

3<V14,8<4,

???3.82=14.44,3.92=15.21,

14.8更接近14.44,

V14.8?3.8.

故答案為：5；3.8.

【變式2】（23-24八年級下?山東煙臺(tái)?期末）寫出一個(gè)介于-次和-VTU之間的整數(shù).

【答案】-2

【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵.直接根據(jù)無理數(shù)

比較大小即可得出結(jié)果.

【詳解】解：—VTU<—\/4=—2<

???介于一舊和—VIU之間的數(shù)為：一2,

故答案為：-2.

【變式31（22-23七年級下?四川廣安?階段練習(xí)）、顧在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)a和b之間，a<同<b，那么a+6的

立方根是.

【答案】vn

【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算,立方根;此題的關(guān)鍵在于估算回的大小，并找出其兩側(cè)的連續(xù)整數(shù).通

過比較28與完全平方數(shù)的大小來確定畫的范圍，進(jìn)而求得a,b的值，即可求解.

【詳解】???5的平方等于25,6的平方等于36,V25<V28<V36

即：5<V28<6

由此可知，a和b分別是同兩側(cè)的連續(xù)整數(shù)，即a=5,b=6

，a+b=5+6=Ilf

■.a+b的立方根是VH,

故答案為：VTi.

題型03無理數(shù)大小的比較

【典例3］（23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末）比較大?。篤7-12

【答案】<

【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，先確定b-1的范圍，即可完成比較.

【詳解】解：2〈近<3,

???1<V7-1<2,

???V7-1<2,

故答案為：<.

【變式1】（22-23八年級上?內(nèi)蒙古興安盟?開學(xué)考試）比較大小：2-V21（填"或

【答案】<

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵.直接利用估算無理數(shù)的大小

方法分析可得出答案.

【詳解】解：1<e<2,

0<2—<1,

故答案為：<.

【變式2】（23-24七年級下?甘肅武威?期末）比較大?。?.5雪

2

【答案】<

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)無理數(shù)的估算方法得出逐<

2.5,再比較大小即可.

【詳解】04<5,

02<V5,

02+1<75+1,

肥<四即1.5（旦

222

故答案為：<

【變式3】（23-24七年級下?山東濟(jì)寧?期末）比較大?。篤5+13.（填"〉或"="）

【答案】>

【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算，根據(jù)2<充<3,從而可得答案;

【詳解】解：02<V5<3,

03<V5+1<4.

0V5+1>3;

故答案為：>

題型04無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算

【典例3](23-24七年級下?內(nèi)蒙古通遼?期末)已知5+V7的小數(shù)部分為5-位的小數(shù)部分為6,則

(a+6)2024=

【答案】1

【分析】本題主要考查估算無理數(shù)的大小，求得。，6的值是解題的關(guān)鍵.先估算出5+e的整數(shù)部分，然

后可求得。的值，在估算出5-近的整數(shù)部分，可求得b的值，最后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：04<7<9,

02<V7<3

07<5+V7<8.2<5-V7<3.

ffla=5+V7-7=V7-2,b=S-小一2=3-木,

團(tuán)(a+b)2°24=(b_2+3—V7)2024=I2024=1.

故答案為：1.

【變式1】(23-24七年級下?山東臨沂?期末)設(shè)4+西的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是匕，則a-6=

【答案】8-V5/-V5+8

【分析】考查了估計(jì)無理數(shù)，得出a,6的值是解題關(guān)鍵.根據(jù)無理數(shù)大小可得出a,b的值，再代入計(jì)算即

可.

【詳解】解：04<5<9,

02<V5<3，

團(tuán)4+2<4+痛<4+3即6<4+逐<7

國4+b的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是匕，

Ela=6,b=V5—2,

則a—b—6—(V5—2)=8-V5?

故答案是8-病.

【變式2】(23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末)已知a的立方根是2,6是，豆的整數(shù)部分，貝必+6的算術(shù)平

方根是.

【答案】VT1

【分析】本題考查了立方根與算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算，熟練掌握立方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.先根據(jù)立方根的性質(zhì)求出a的值，再根據(jù)無理數(shù)的估算可得b的值，然后根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即

可得.

【詳解】解：?；a的立方根是2,

Ela=23=8,

09<12<16,

0V9<V12<V16,即3<VH<4，

財(cái)是g的整數(shù)部分，

鼬=3,

Ela+6=8+3=11,

則a+6的算術(shù)平方根是VTT，

故答案為：VT1.

【變式3】(22-23七年級下?湖北黃岡?期中)閱讀下面的文字，解答問題：大家知道魚是無理數(shù)，因此魚的

小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來e-1來表示魚的小數(shù)部分，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)轸~，將

這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是魚，又例如團(tuán)22<(77)2<32,即2〈近，回舊的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分

為(b-2).

請解答：

⑴VTI的整數(shù)部分是_，小數(shù)部分

(2)如果有的小數(shù)部分為a,聞的整數(shù)部分為6,貝1la+b-6的值.

⑶已知x是3-有的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x-y的值.

【答案】⑴3,V11-3

(2)4

⑶曲-3

【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小和求代數(shù)式的值，能估算出無理數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵.

(1)先估算出vn的范圍，再求出即可；

(2)先估算出病和何的范圍，再求出a、b的值，最后求出代數(shù)式的值即可；

(3)先求出3-武的范圍，再求出％、y的值，最后代入求出即可.

【詳解】(1)解：①

3<VH<4,

VIT的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是VTT-3,

故答案為：3,VT1—3;

(2)W：???V4<V5<V9.V36<V41<V49,

2<V5<3,6<V41<7,

a=V5-2>b=6,

a+b—V5=V5—2+6—V5=4;

（3）解：???2V3,

**?-2>—V5>—3,

1>3—V5>0,

y=3—y/S，

%—y=0—（3—V5）=V5—3.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（23-24七年級下.廣東珠海?期中）估計(jì)面的值是在（）

A.1到2之間B.2到3之間C.3到4之間D.4到5之間

【答案】B

【分析】本題考查估算無理數(shù)大小，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義，能估算無理數(shù)大小.由22<6<32,

可得2<太<3,即可得到答案.

【詳解】解：?.?22<6<32,

2<娓<3,

故選：B

2.（23-24七年級下?安徽安慶?期末）估計(jì)同-1的值應(yīng)在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】C

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，根據(jù)題意得到6〈屈<7是解題的關(guān)鍵.先估算出師的范圍，再

得到回-1的范圍，即可求解.

【詳解】解：?.?36<40<49,

6<740<7,

5<V40-1<6,

二估計(jì)病-1的值應(yīng)在5和6之間，

故選：C.

3.（2024?四川資陽?中考真題）若6cm則整數(shù)機(jī)的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】此題考查了無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的估算方法.首先確定君和加的范圍，

然后求出整數(shù)m的值的值即可.

【詳解】解：0A/4<A/5<79,即2<喬<3,乖〈回〈屈,即3</<4,

XEI>/5<m<V10,

團(tuán)整數(shù)相的值為：3,

故選:B.

4.（23-24八年級上?全國?單元測試）若一個(gè)正方體水晶磚的體積為100,則它的棱長約在（）

A.4.3:4.4之間B.4.4:4.5之間C.4.5:4.6之間D.4.6?4.7之間

【答案】D

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算無理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵.

由題意可得正方體的棱長為炯，然后進(jìn)行估算即可.

【詳解】解：國一個(gè)正方體的水晶枝的體積為100,

;其棱長為加麗，

Q64<100<125,

4<^/ioo<5,

Q4.33=79.507,4.43=85.184,4.53=91.125,4.63=97.336,4.73=103.823,

4.6<V100<4.7,

即它的棱長大約在4.6~4.7之間，

故選：D.

5.（22-23八年級上?河南南陽?期中）若。是J語的算術(shù)平方根，b是&T的小數(shù)部分，則a+A-JII的值為

（）

A.-1B.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的概念和無理數(shù)的估算，根據(jù)算術(shù)平方根的概念和無理數(shù)的估算求出。，匕即

可，熟練掌握算術(shù)平方根的概念和無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回。是J記的算術(shù)平方根，

回4=2,

079<711<716,BP3<Vu<4,

0fo=VTT-3,

0<7+Z>-A/TT=2+VIT-3-A/TT=-I,

故選：A.

二、填空題

6.（22-23七年級上?浙江寧波?期中）請寫出一個(gè)大于T而小于-3的無理數(shù).

【答案】而（答案不唯一）

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義和實(shí)數(shù)的大小比較，能熟記無理數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.本題

是一道開放型的題目，答案不唯一，根據(jù)無理數(shù)的定義和已知寫出一個(gè)即可.

【詳解】解：大于-4而小于一3,BP-y/16<X<-y/9

符合題意的有：-瓜，

故答案為：-歷（答案不唯一）.

7.（23-24九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）與3+厲最接近的整數(shù)是.

【答案】7

【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小.估算無理數(shù)A的大小，再確定J謳更接近的整數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解:012,25<15<16,

ffl3.5<V15<4,

06.5<3+>/15<7,

團(tuán)3+最接近的整數(shù)是7,

故答案為：7.

8.（23-24七年級下?新疆伊犁?期末）比較大?。海?）-7-屈，（2）或二10.5

2

【答案】>>

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)平方法和估算法，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：049<50,

07<>/50,

0-7>-750；

<有<6,

02<75<3,

01<A/5-1<2，

卓《，即:y[5—1

>0.5；

2

故答案為：>;>.

9.（22-23八年級上?廣西南寧?開學(xué)考試）已知a,b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且“<巧<-則a+斤.

【答案】7

【分析】本題主要考查了無理數(shù)大小的估算以及代數(shù)式求值，先估算出3<拒<4即可得出，a=3,b=4,

再代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】解：???9<14<16,

?'13<V14<4，

"a,b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且

；?a=3,b=4,

■,?a+/?=3+4=7.

故答案為：7.

10.（23-24八年級下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）已知432=1849,44?=1936,452=2025,462=2116.若"

為整數(shù)且n<<2024<〃+1,則w的值是.

【答案】44

【分析】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟練掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可知：442=1936,452=2025,〃為整數(shù)且n<-2024<〃+1,即J1936<12024<J2025,因此

44<V2024<45,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?442=1936,452=2025,"為整數(shù)且"<-2024<。+1,

936<J2024<72025,

44<y/2024<45,

二."=44,〃+1=45,

故答案為：44.

三、解答題

11.（23-24八年級上?山西運(yùn)城?期末）已知后二1=3,3。+。-1的平方根是±4，。是可的整數(shù)部分.

⑴求a+4b+c的算術(shù)平方根；

⑵求a+b-5c的立方根.

【答案】⑴4

⑵-2

【分析】（1）根據(jù)平方根的定義以及估算無理數(shù)大小的方法得出。，b,。的值，進(jìn)而得出代數(shù)式的值，根

據(jù)算術(shù)平方根

（2）先求出a,b,c的值，再利用立方根的定義求出答案.

【詳解】（1）解：:=3，

.".2tz-1=9，

解得a=5,

?.?3。+6-1的平方根是±4，

；.3a+?！?=16）

解得b=2,

??,3〈風(fēng)<4,

二W的整數(shù)部分c=3.

把a(bǔ)=5,b-2,c=3代入a+4b+c得，

原式=16,

?.?16的算術(shù)平方根是4,

.,.a+4/j+c的算術(shù)平方根為4；

(2)解：由(1)知：a=5,b=2,c=3,

團(tuán)。+}-5c=5+2-5x3=—8.

?.?-8的立方根是-2，

:.a+8-5c的立方根為-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根及估算無理數(shù)的大小等知識(shí)點(diǎn)，能夠理解和明確已知中

相關(guān)概念及其性質(zhì)是解答問題的關(guān)鍵.

12.(23-24七年級下?江西宜春,期末)根據(jù)表回答問題：

X1616.116.216.316.416.516.616.716.8

X2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24

(1)272.25的平方根是「

(2)/26569=_,J2.7556=_；

⑶設(shè)J兩的整數(shù)部分為根，求根的立方根.

［答案】⑴±16.5

(2)163；1.66

(3)-2

【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算和平方根：

(1)根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)一位，由此計(jì)

算即可；

(3)根據(jù)J259.21<<J262.44可得16.1<<16.2,則的整數(shù)部分加=16,--m=-S,再求

2

出的立方根為-2

【詳解】⑴解:016.52=272.25,

0272.25的平方根是±16.5,

故答案為：±16.5;

(2)解：回開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動(dòng)一位，

0V26569=163,72.7556=1.66,

故答案為：163,1.66；

(3)解：^259.21<5/260<A/262.44,

.-.16.1<7260<16.2,

V260的整數(shù)部分加=16,

—"I=—8,

2

加的立方根為-2.

13.(22-23七年級上?浙江?期中)請回答下列問題：

⑴方介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)。和｝之間，且a〈b,那么",b=.

(2戶是77+2的小數(shù)部分，y是6+1的整數(shù)部分，求、=,尸.

(3)求(4-X)、的立方根.

【答案】⑴2；3

(2)77-2;3

(3)2

【分析】本題考查無理數(shù)的估算及立方根的定義，結(jié)合已知條件求得對應(yīng)字母的值是解題的關(guān)鍵.

(1)估算出a在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可；

(2)結(jié)合(1)中所求，估算出近+2,甘+1分別在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可求得X,》的值；

(3)將X,，的值代入(br)，中計(jì)算后，根據(jù)立方根的定義即可求得答案.

【詳解】(1)v4<7<9,

2<<3,

介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)。和匕之間，且。<小

；.a=2,b=3,

故答案為：2；3;

(2)2<V7<3,

.-.4<77+2<5,3<>/7+1<4,

貝UxMjy+ZTug'-Z,>=3,

故答案為："-2;3；

(3)結(jié)合(2)可得(4-#"+2)3=23=8,

故訴7)，的立方根為：2.

14.(23-24七年級下?河南安陽?期末)觀察：074<76<^,即2<?<3,回祈的整數(shù)部分為2,小數(shù)部

分為6-2.規(guī)定符號[間表示實(shí)數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：[g[=0,[6]=2,請你運(yùn)用上述規(guī)律解決下面

的問題：

(D按止匕規(guī)定[而+2]=；

⑵如果刀的小數(shù)部分為。，JR的整數(shù)部分為6,求[“+句的值.

【答案】⑴5

(2)4

【分析】此題考查了無理數(shù)的估算.

(1)先估算出3<血<4,得到5<疝+2<6,根據(jù)定義即可得到答案；

(2)先估算出V7的小數(shù)部分。=近-2,J運(yùn)的整數(shù)部分為/)=4,進(jìn)一步計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)解：09<11<16,

回3<&1<4,

05<VlT+2<6，

0[A/TT+2]=5,

故答案為：5

(2)〈用v邪,

即2<V7<3,

回行的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分q=p-2.

0V16<^/25,HP4<V18<5,

回的整數(shù)部分匕=4.

回。+〃=77-2+4=77+2.

04<V7+2<5.

團(tuán)[<7+句=4.

15.(23-24七年級下?新疆烏魯木齊?期中)根據(jù)表回答下列問題：

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

(1)316.84的平方根是」

⑵729241=_,V3.1329=_；

⑶若瑪介于17.6與17.7之間，則滿足條件的整數(shù)”有一個(gè);

(4)若J315T小數(shù)部分為〃2,求(,"+17)2的值.

［答案】⑴±17.8；

(2)171；1.77

(3)4

(4)315

【分析】本題考查平方根，算術(shù)平方根，估算無理數(shù)大小，無理數(shù)小數(shù)部分有關(guān)的計(jì)算.

(1)根據(jù)平方根的定義求解即可；

(2)根據(jù)算術(shù)平方根的規(guī)律求解即可；

(3)根據(jù)17.6<?<17.7,得309.76<"313.29,

(4)根據(jù)313.29<315<316.84,得出17.7<向5<17.8,則16.7<后？-1V16.8,所以如？-1小數(shù)部分

加=石1?-17,再代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：017.82=316.84,

0316.84的平方根是±17.8,

故答案為：±17.8；

(2)解：開二次方時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右或左移動(dòng)兩位時(shí)，結(jié)果小數(shù)點(diǎn)每向右或左移動(dòng)一位，

0V292.41=17.1,

0729241=171,

0V313.29=17.7,

0V3.1329=1.77,

故答案為：171；1.77.

(3)解:回冊介于17.6與17.7之間，

團(tuán)17.6<冊<17.7,

0309.76<n<313.29,

團(tuán)滿足條件的整數(shù)〃有310,311,312,313,

團(tuán)整數(shù)”有4個(gè)，

故答案為：4.

(4)解：0313.29<315<316.84,

017.717.7<A/^15<17.8,

EH6.7<A/315-1<16.8,

團(tuán)石T?-I小數(shù)部分〃?=A/^T?-17,

0(/M+17)2=(T315-17+17)2=315.

16.(23-24七年級下?廣東珠海?期中)先閱讀下面的文字，然后解答問題.

大家知道拒是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)拉的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用拉的

小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，因?yàn)棰艿恼麛?shù)部分是1,差就是小數(shù)部分.

由此我們還可以得到一個(gè)真命題：如果正=無+丫，其中X是整數(shù)，那么X=l,>=V2-1

請解答下列問題：

⑴如果-7^=a+6，其中。是整數(shù)，且那么。=_,b-_；

(2)已知2+6="+",其中2是整數(shù)，且0<n<1,求I加的值.

【答案】⑴3,3-75

(2)6-百

【分析】此題考查了估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

(1)估算出2<逐<3,可得一3c-如<一2,依此即可確定出分的值；

(2)根據(jù)題意確定出，"與〃的值，代入求出|〃