2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合A={x\x2-3%+2=0},B={-2,0,1,2,4},則力CB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,4}D.{0,1,2}

2.復(fù)數(shù)z=2-其中i為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.—1

3.汕頭市某中學(xué)為了解高二學(xué)生的期末數(shù)學(xué)考試成績，研究人員對700名學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制

成如圖所示的頻率分布直方圖，則這700名學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績的中位數(shù)約為（）

A.92.5B.95C.97.5D.100

4.已知等比數(shù)列{冊}的前3項和為168,a2-a5=42,則）

A.14B.12C.6D.3

5.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（每兩個球隊都要進行一場），每場比賽的計分方法是：勝者得

3分，負者得0分，平局兩隊各得1分.全部比賽結(jié)束后，四隊的得分為：甲6分，乙5分，丙4分，丁

1分，貝！1（）

A.甲勝乙B.乙勝丙C.乙平丁D.丙平丁

6.已知函數(shù)/"（x）=3sinx+4cosx,當(dāng)/'（久）取最大值時sin久=（）

4343

WB-7D5

7.已知6是a,c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓爐+/+4y-1=o交于a,B兩點，則|力的最小

值為（）

A.2B.3C.4D.2<5

第1頁，共16頁

8.已知Fi、F2分別為橢圓C；務(wù)真=1的左、右焦點，力為右頂點，Bi、%為上、下頂點，若在線段力當(dāng)

上存在P（不含端點），使得時?限=2房，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（0,1）B.6,匚產(chǎn)）C.（0彎）D.（爭,1）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知圓M：（x—2）2+（y—l）2=1,圓N：（x+2）2+（y+l）2=1,則下列是圓M與圓N的公切線的直線

方程為（）

A.y=0B.4%—3y=0C.x-2y+V-5=0D.x+2y-V~5=0

10.如圖所示，在正方體力BCD-中，點F是棱上的一個動點（不包點），平面BF外交棱。的于點

E,則下列命題中正確的是（）

A.存在點F,使得為直角

B.對于任意點F,都有直線41的〃平面BED1

C.對于任意點F,都有平面4C1。，平面BEDiF

D.三棱錐F-BB/i的體積為定值

11.已知函數(shù)/'（x）=sinQx+0）（3>0,|“|<］）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/Xx）的圖象可由y=s譏2x的圖象向左平移個單位得到-］

B,直線％=-巖是/（久）圖象的一條對稱軸

C.函數(shù)/（%）的周期為7T

D.直線y=；與函數(shù)y=〃>）在［。,竽］上的圖象有7個交點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數(shù)f（x）=：+的定義域是.

13.設(shè)數(shù)列｛冊｝滿足%=1,且an+i-0n=n+l（nGN*）,則數(shù)列｛工｝的前10

an

項的和為.

14.如圖所示，在平行六面體ABCD-48停1。1中，^ArAB=Z.DAB=p

AA^AD=pAB=AD=AAt=2,E為棱為B的中點，則|%E|=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

第2頁，共16頁

15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P—48C中，4C=2,BC=4,△「?!￡1為正三角形，。為力B的中點，4PCB=4ACB=9?！?

(1)求證：平面P4C1平面4BC；

(2)若。為力C的中點，求平面P。。與平面PBC的夾角.

16.(本小題15分)

-rr1

如圖，在△力BC中，24=|,AC=8,點。在AB邊上，S.BD=2,coszBOC=y.

⑴求cos乙4CD；

(2)求的長.

17.(本小題15分)

已知數(shù)列｛an｝的前？1項和為%,且滿足3an=2Sn+2.

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)能否在數(shù)列｛冊｝中找到這樣的三項，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.

18.(本小題17分)

已知橢圓C：1的上下頂點分別為4B,過點P(0,3)且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交

于M,N兩點，直線BM與AN交于點G.

(1)設(shè)AN,8N的斜率分別為以，k2,求他?七的值；

(2)求證：點G在定直線上.

19.(本小題17分)

22

已知為-x-2mx+m+2,y2-(m-l)x-(m+l)x+m(mGR),關(guān)于工的不等式y(tǒng)1<0的解集為M.

(1)當(dāng)M是空集且方程乃=0有解時，求實數(shù)小的取值范圍；

第3頁，共16頁

⑵設(shè)a，6是為=。的兩個正實數(shù)根，求號竽的最小值；

(3)不等式為+y2>0的解集記為集合P,若{x[-3<%<2}UP,求實數(shù)m的取值范圍.

第4頁，共16頁

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={用/—3久+2=0}={1,2},又8={—2,0,1,2,4},

所以4CB={1,2}.

故選：B.

先化簡，再求交集即可.

本題考查集合的基本運算，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因為z=2—盧=2-i,所以其虛部為—1.

故選：D.

先化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可得前幾組的頻率依次為0.12,0.28,0.4,

所以中位數(shù)在(90,110)內(nèi)，且為90+"空=95.

故選：B.

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)及中位數(shù)的概念，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，屬基礎(chǔ)題.

4【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式，求得的值.

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列{冊}的公比為q,q片0,由題意，q=/=1.

13

前3項和為由+a2+a3—的(—?)=168,a2—-q—ar--q(l—q)=42,

1

???q=5,%=96,

則即=由,q，=96x2=3,

故選：D.

第5頁，共16頁

5.【答案】C

【解析】解：甲、乙、丙、丁四支足球隊部比賽場次6場，總得分為6+5+4+1=16分，

由比賽計分規(guī)則：勝者得3分，負者得0分，平局兩隊各得1分，

???在6場比賽中有2場比賽是平局，即3X4+2X2=16,

丁得1分，即1+0+0=1,.??丁在3場比賽中有1場是平局，

丙得4分，即3+1+0=4,.??丙在3場比賽中有1場是平局，

而乙得5分，即3+1+1=5,.?.乙在3場比賽中有2局是平局，.?.乙可能平丙，乙可得平丁.

故選：C.

甲、乙、丙、丁四支足球隊總比賽場次6場，總得分16分，由比賽計分規(guī)則可得出在6場比賽中有2場

比賽是平局，丁在3場比賽有1場是平局，丙在3場比賽中有1場是平局，乙在3場比賽中有2局是平局,

由此能求出結(jié)果.

本題考查命題真假的判斷，考查簡單的合理推等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因為/'(x)=3sMx+4cosx=5sin(x+9),其中sin(p=

所以當(dāng)x+9=1+6Z)時，/(久)取得最大值5,

所以x=,—(p+2/OT,k€Z,

所以此時sinx=sin6—<p+2/OT)

=sin(^一(p)=coscp=

故選：D.

根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式及性質(zhì)，即可求解.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等差中項，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【解答】

解：因為a,b,c成等差數(shù)列，所以2/>=a+c,c=2b-a,

代入直線方程ax+by+c—0得a久+by+2b—a—0,

第6頁，共16頁

即a(%—1)+b(y+2)=0,

令產(chǎn)—1=。得產(chǎn)=1

、(y+2=0付(y=-2，

故直線恒過(1,-2),設(shè)P(l,-2),

圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C：/+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫出直線與圓的圖形，由圖可知,

當(dāng)PCL4B時，最小，

\PC\==|r|=

此時|4B|=2\AP\=AC2-PC2=2/5^1=4.

故選：C.

8.【答案】B

【解析】解：由已知，點力(a,0),B(0,6),Fi(—c,0),F2(c,0),

則線段力B的方程為>.1(心久口),

在線段ZB上取一點P(m,—gm+6)(0<m<a),滿足耐.兩=2b2,

則y=b—^x,PF；=(—c—m,—b-l-^m),PB；=(—m,—2b-h^m),

所以PF；?PB；=(_<?_m)(—m)+(—b+—2b+^m)—m2+cm+^m2—+2b2=(1+

M2ok2

設(shè)/Qn)=(1+^2)m2+(c--^2-)m+2b1,0<m<a,

注意到f(0)=2b2,故為使在線段A%上存在P(不含端點)，使得際?兩=2塊,

只需二次函數(shù)/(爪)的對稱軸在區(qū)間(0,a)內(nèi)且更靠近0,

3b2

ac—3b2<0即ac—3(a2—c2)<0

即0〈一°卞<|,整理得

a2+ac—2b2>o'a2+ac-2(a2—c2)>0?

第7頁，共16頁

工二為解得文e〈予

即

故選：B.

求得線段的方程為尹上1(0W無Wa),在線段AB上取一點P(x,y)(0<x<a),由已知可得關(guān)于x的方

程￥“2—亞久+3b2-2c2

=0,在XE(0,砌時有兩個不等的實根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于a、b、

aLa3

C的不等式組，由此可解得C的取值范圍.

本題考查橢圓與平面向量，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，及直線與圓相切的性質(zhì).根據(jù)題意，求出兩個圓的圓心和半徑，分析可得

兩圓外離，有4條共切線，且兩條內(nèi)公切線經(jīng)過原點，兩條外共切線與直線MN平行，由此求出共切線的方

程，分析選項可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，圓M：(久—2)2+(y—1)2=1,其圓心M(2,l),半徑r=l,

圓N：(%+2)2+(y+I)2=1,其圓心N(—2,—1),半徑R=l,兩圓外離，有4條共切線,

兩圓的圓心關(guān)于點(0,0)對稱，且半徑相等，則兩條內(nèi)公切線經(jīng)過原點，兩條外共切線與直線MN平行，設(shè)內(nèi)

公切線的方程為丫=/?,有盧彗=1,解可得k=0或k即兩條內(nèi)公切線的方程為y=0和y=5%,

1-(-1)1

又由KMN直線MN的方程為y=設(shè)外共切線的方程為y=：久+b,則有二L解可

2-(-2)-29

得b=±f，即外共切線的方程為y=gx+唱和y=：尤-苧，即x—2y+怖=0或x-2y—VT=。；分

析選項：ABC符合;

故選：ABC.

10.【答案】CD

【解析】解：對于4易知用?麗=(方K+1了).(FA+AB)=A^F-FA\A^F\-\RA\^0,

故萬］與兩不垂直，故/錯誤；

對于B,連接41的4(7、EF,貝1J平面力。的人1Cl平面BEDiF=EF,

第8頁，共16頁

D

若公的平面BED/,則&C"/EF,顯然僅當(dāng)F和E為所在棱中點時&Ci與EF才平行，故3錯誤;

對于C,連接人1。，4]Ci，C[D,BD]、AO[,BC],

由481平面ADDiAi得AB141。，易知4￡>i14i。，ABdAD1=A,

AB.4￡>iC平面力BC]Di，.,?41。1平面ABCiDi，

Ai。.LBDi,同I理可證241cl_LBDi,A^DAA.^C^=力i，

ArD,41clu平面&CD,

.-.BDi_L平面力i",BD1u平面BED/,

??.平面4C1D1平面BEOiF,故C正確；

對于D,?.”&//平面BBi%,所以點F到平面的距離為定值，

???三棱錐F-BBiDi的體積為定值，故。是正確.

故選：CD.

4驗證印?麗是否為零即可；B：根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷；C：證明BDi1平面4的。即可；D：由

體積公式可判斷即可.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

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11.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意可得）=得一（—1）=1所以「=兀，所以C選項正確；

41Z64

所以3=竿=2,

所以/（x）=sin（2x+（p）,

又根據(jù)圖象及“五點法”可得2x（-》+9=0,

所以9=早

所以/（X）=sin（2x+^）,

所以函數(shù)f（x）的圖象可由y=s譏2x的圖象向左平移看個單位得到，所以4選項錯誤;

因為/（一若）=sin（一手+々）=1,

所以直線x=-皆是人支）圖象的一條對稱軸，所以B選項正確；

因為x€[0,當(dāng)時，t=2x+ge[g,7兀|,又sing=￥>:，

DDDD乙乙

所以根據(jù)基本初等函數(shù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：

y=sint在te冷7兀]上與y=策7個交點，

故直線y=:與函數(shù)y=f（x）在[0,竽]上的圖象有7個交點，所以。選項正確.

故選：BCD.

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，針對各個選項，即可求解.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

12.【答案】（—8,0）u（0,1]

【解析】解：要使函數(shù)有意義，

貝0'解得xWl且久4°，

所以函數(shù)的定義域為（—8,0）u（0,1].

故答案為：（一8,0）u（0,1].

由分母不為0,被開方數(shù)非負列不等式組，即可求解函數(shù)的定義域.

本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】魯

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【解析】【分析】

本題考查了裂項相消法求和，等差數(shù)列的前n項和公式，以及累加法的運用，考查了推理能力與計算能力,

屬于較難題.

由冊+1-期=九+10€可*），利用累加法求得期=兇羅，再利用裂項相消法求和即可.

【解答】

解：:數(shù)列｛冊｝滿足的=1,且冊+i-an=n+l（nGN*）,

:?當(dāng)九之2時,dn=（冊—。九一1）+（。九一1一。九一2）++（。2—。1）+

=n+（n—1）+...+2+1="受1）,

當(dāng)71=1時，的=1也滿足上式，

...冊=岑12,neN*,

12“11、

,.,瓦=而鈣=2（丁云1），

數(shù)列｛（｝的前幾項的和

11111

（）］

Sn=2［（1-2）+（2-3）+-+n~W+T

=2（1-磊）=含

??.數(shù)列｛與的前10項的和為黑

an口

故答案為：冬

14.【答案】1

【解析】解：O^AE-W=1^x7+AB-（AA[+AD）=AB--AD,

又-AA=AB-AD=2x2xcos^-=2,AD?AA=2x2xcos7=2V-2,

1314

由此可得，DiE=AB+：A4i+AD-AB-AAr-2AB-AD+AAr-AD=

3+2<2,

\DXE\=1+72.

故答案為：i+

結(jié)合向量的加法法則和減法法則，以及向量的數(shù)量積的運算法則，即可求解.

本題主要考查空間向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

第11頁，共16頁

15.【答案】詳見解析;

71

6,

【解析】(1)因為NPCB=N力CB=90。，所以PC1CB,AC1CB,

又PCG4C=C,PCu平面PAC,力Cu平面P4C,

所以BC1平面P4C,又BCC平面ABC,所以平面R4C_L平面力BC；

(2)因為△P4C為正三角形，。為AC中點，

所以P。1AC,又平面P4C1平面4BC,平面PACCl平面ABC=AC,

所以PO_L平面ABC,又。。u平面4BC,所以P。_L。。，又。為4B的中點,

所以。D//BC,OD1AC,

如圖以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,扃)，c(-1,0,0),B(-1,4,0),

所以定=(-1,0,-~CB=(0,4,0)，

設(shè)平面PBC的法向量為訪=(x,y,z),則歸?上=-%-=0,

(jn?CB=4y=0

令z=—l,可得記=(，W,0,—1)，又平面P。。的一個法向量可取元=(1,0,0),

設(shè)平面P。。與平面PBC夾角為仇則cos。=|cos(m,n)|=|普魯|=噂,

又ee[o,J所以”也即平面P。。與平面PBC夾角為去

(1)利用線面垂直的判定定理可得8c1平面PAC,然后利用面面垂直的判定定理即得;

(2)利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.

本題考查空間向量法求解二面角，屬于中檔題.

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16.【答案】解：(1)由圖知乙4CD=NBDC—4

1

因為coszBDC=p

所以sinN8DC=竽，

所以COS/LACD=cos(z_BZ)C—A')=cos/-BDC,cos—+sinz.5DC,sin-=-x—H—--x——————

33727L14

(2)由上問可得sin^ACD=等，

14

R3/3

在三角形ACD中，利用正弦定理可得：,AD=心7父丁==3,

smz.ACDsmz.CDAs\nz.CDA”3

7

在三角形ABC中，48=3+2=5,利用余弦定理可得：BC2=82+52-2x8x5x1=49,

所以BC=7.

【解析】⑴由題意可得〃CD=NBDC-4利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求siMBDC=苧，進而根據(jù)

兩角差的余弦公式即可求解.

(2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin乙4CD=雪，在三角形ACD中，利用正弦定理可求的值,

141

在三角形43。中，48=3+2=5,利用余弦定理即可求解BC的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合

應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)v3冊=2Sn+2,

n=1時，3al=2sl+2=2al+2,

的=2；

當(dāng)71之2時，3a九一1—2Sn_I+2,所以3(1Tl—3冊=(2Sn+2)—(2Sn_i+2)=2an,

???an=3a九_i，即=3(n>2),

??.數(shù)列｛冊｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

n-1

an=2x3.

(2)若1<k<THV幾，有耿，%n，冊成等差數(shù)列，則2。m=在+冊，

即2x2x=2x3"1+2x3“T,整理得2T+3相一帆=2,

又/c,m,nGN*且1三kVmVn,

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3n-m>3,冊1>。，所以35機+于31>31,與冊+3n-m=2矛盾,

所以數(shù)列｛an｝中找不到三項，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列.

【解析】(1)由已知條件推導(dǎo)出的=2,3為公比的等比數(shù)列，由此能求出期.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用反證法推導(dǎo)出不存在按原來順序成等差數(shù)列的任意三項.

本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列是否存在的判斷，屬于中檔題目.

18.【答案】解：(1)設(shè)JV(x2,y2),A(0,2),8(0,—2),

的.的=一?一=勺,

%2%2%2

”2一

+*=1,故犬=4-(1-

所以的?七=矍言=-2

(2)設(shè)PM：y=kx+3,與4/+5/=20聯(lián)立得到(4+5fc2)%2+30kx+25=0,

-30k25

久i+町=4+5k2/,12-4+5k2'

2

4=900k2_i00(4+5k2)=400(k-1)>0,

解得或k<-l,而k<0,故k<-l,

直線MB：y=組區(qū)久一2,

X1

直線AM：y=W"+2'

聯(lián)立得：鬻=鬻弟,

y+2_冷(丘1+3+2)_々％I%2+5%2

y—2%i(k12+3—2)依i%2+%i

2

又..第1+%2_30/c(4+5/c)67

%1%225(4+57)二一/

.?.kx±X2=-!(%1+%2)，

.y+2_一|(第1+%2)+5汽2_一江1+象2_5

丫一2一亮(%1+%2)+、11%i-1%2

?'?y+2——5(y—2),

解得y=*

所以點G在定直線y=g上

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【解析】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達定理及其應(yīng)用，橢圓中的定直線問題等知識，屬

于中檔題.

(1)設(shè)M01，月)，兇＞2，%)，表示出口/2，結(jié)合點N在橢圓上，代入即可得出答案；

(2)設(shè)直線PM為y=kx+3,與橢圓聯(lián)立消去y得到關(guān)于光的一元二次方程，列出韋達定理，寫出直線MB,NA

的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，求出G