2024-2025學(xué)年安徽省滁州市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合力={%|2<%<4},B={x|2x-7<8-3久},則AUB=()

A.(-oo,3)B.[2,3)C.(-oo,4)D.[2,4)

2.復(fù)數(shù)z=2i-言在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.圓(久一I)2+(y-I)2=1上的點(diǎn)到直線x-y-2=0距離的最小值是()

A.72-1B.1C.y[2D.72+1

4.已知函數(shù)/(x)=sin(x-,將/(X)的圖象向右平移zn(zn>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小

值為()

A

ZEBEc1rU)h.

A-43。2-4

5.設(shè)直線2的方程x+ycos。+2=0,(8eR),則直線/的傾斜角a的取值范圍是()

A.[O,TT]B.g,芻c.g《)U-D.冷曲

6.設(shè)&,尸2為橢圓C；各9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若西?羽=0,則伊川.即|=()

A.2B.4C.6D.8

7.已知空間三點(diǎn)4(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,—1,5),則△2BC的面積為()

A.7/3B.亨C.gD.7

8.a,b為正實(shí)數(shù)，且a+2b=2,當(dāng)磊+[取最小值時(shí)，(a久一《尸的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為()

A.B/C.一言D』

oo6464

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.若某中學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高雙單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(如％)(i=

1,2,用最小二乘法建立的回歸方程為y=0.75x-75.71,則下列結(jié)論中正確的是()

A.y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心6,])

C.若該中學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重可能增加0.75kg

D.若該中學(xué)某女生身高為160cm,則可斷定其體重必為44.29kg

10.數(shù)列｛的J滿足外+an+i=(―1嚴(yán)i(n€N*),且的=—3,數(shù)列｛每｝的前n項(xiàng)和為％,從｛每｝的前2n項(xiàng)中

任取兩項(xiàng)，它們的和為奇數(shù)的概率為P2"，貝女)

,1

A.=6B.+。15=2a13C.S12=—6D.22九〉,

11.如圖，三棱錐P—力BC,P41平面力BC,ABAC=2,ABAC=^,D為PC/

的中點(diǎn)，點(diǎn)。為三棱錐P—A8C外接球球心，貝|()/；\

A.當(dāng)P4=2遮時(shí)，BD1PC/\\

B.當(dāng)24=宿時(shí)，二面角P—BC—4大小為看/\

C.當(dāng)異面直線BD與AC所成角為與時(shí)，P4=6

D.當(dāng)點(diǎn)。到平面PBC的距離為，^時(shí)，PA=2/2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

12.Ig4+21g5+(2/2)3=.

13.某校的5名團(tuán)員利用周日到市養(yǎng)老院參加義務(wù)勞動(dòng).已知5名團(tuán)員中有3位女生，2位男生，活動(dòng)結(jié)束后5

名團(tuán)員站成一排拍照留念，若兩名男生之間有女生，則排法總數(shù)有種.(用數(shù)字作答)

14.不等式e%-ax(ex+1)-1＜。對(duì)任意x￡[0,1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊，且acosC+YWasbiC-6—c=0.

(1)求4

(2)若a=2,貝以4BC的面積為，求AABC的周長(zhǎng).

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=ax+:+(a—l)Znx(aER).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的值.

17.(本小題15分)

某同學(xué)在做投籃訓(xùn)練，己知該生每次投中的概率為|,投不中的概率為最為提高該生訓(xùn)練的積極性，規(guī)定:

投中一次得2分，投不中得1分.某同學(xué)投籃若干次，每次投中與否互不影響，各次得分之和作為最終得分.

(1)若投籃2次，最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

(2)設(shè)最終得分為九的概率為B，證明：數(shù)列｛Pn+i-4｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式.

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD,Z.ACD=^BAD=90°,N&BC=60。，PA^AB=BC=

2C,E是線段PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：CD14E；

(2)若E是線段PC的中點(diǎn)，求平面4BE與平面PBC夾角的余弦值;

(3)設(shè)直線PD與平面力BE所成角為8,求sin。的取值范圍.

19.(本小題17分)

在圓/+V=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,垂足為。.點(diǎn)Q在線段PD上，且滿足麗=亨麗.

當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵過點(diǎn)尸(1,0)的直線咬曲線C于4,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸與I垂直的直線交曲線C于D,E兩點(diǎn)，其中A,D在久軸

上方，M,N分別為4B,DE的中點(diǎn).

(i)證明：直線MN過定點(diǎn)；

(ii)求4FMN面積的最大值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閍={x|2<x<4],B=(x\2x一7<8—3嗎=B={x\x<3},

所以4UB=(-co,4).

故選：c.

根據(jù)題意先求集合B,再結(jié)合集合力，再進(jìn)行并集運(yùn)算求解.

本題主要考查并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：z=2一1=2一(航))=-1+全,

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-|,今，位于第二象限.

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)其復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)判斷即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由題意可得圓心。(1,1),半徑r=l.

直線方程為久-y-2=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算圓心到直線的距離為：

d=|lxl+(-l)xl-2|=^

Ji2+(-i)2

因?yàn)閐=V_2>1=r,那么圓與直線相離.

因此，圓上點(diǎn)到直線的最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，即：d-r=72-1.

故選：A.

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，再根據(jù)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算出圓心到直線的距

離d,根據(jù)d、r的大小關(guān)系，得出直線和圓不相交，從而得出距離的最小值為d-r.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，將/(久)的圖象向右平移a個(gè)單位后，

可得/■(久—m)=sin(x一m—；)的圖象，

因?yàn)閥=sin(x-m-J)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

4

所以一Tn——=—+k.7i,k￡Z,可得??1=---k.7i,k￡Z,

4L4

結(jié)合zn>0,可知當(dāng)々=一1時(shí)，m取得最小值

4

故選：A.

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，求得平移后的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性建立關(guān)于小的等式，進(jìn)而求出實(shí)

數(shù)小的最小值.

本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換、三角函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

【解答】

解：當(dāng)cos。=0時(shí)，直線/的方程為x+2=0,

直線[與x軸垂直，其傾斜角為3

當(dāng)cose豐0時(shí)，直線，的斜率為k=——匕，

cosd6[—1,1]且COS。W0,

k.G(_8,_1]u[1,+8),

???tanaG(—oo,-1]u[1,+oo),

又aG[0,7T),

7T7T、/7T37rl

aer[12)u

綜上所述，直線I的傾斜角a的取值范圍是冷也.

故選D

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閮?A百=0,

所以P61PF2,

因?yàn)闄E圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2,

所以0PF1I+IPF21=2a="I

222

IpFil+|PF2『=\F±F2\=4c=16'

12

則IP&I?IPF2I=1[(PF1I+%1)2-(朋|2+\PF2\)]=8.

故選：D.

根據(jù)題意可矢—F2,可得蹤口做酒［￥=M=16,然后可求“IF.

本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：???4(023),5(-2,1,6),C(l,-1,5),

■.AB=OB-OA=(-2,-1,3)，AC^OC-OA^(l,-3,2),

由此可得|AB|=J(-2)2+(—1=+32=/14,\AC\^J/+(-3產(chǎn)+22=JIM

設(shè)荏與灰的夾角為氏則肅篝1

2f

又???3E[0,7T],

.?.6=早即屈與左的夾角為早即4

.■?A48c的面積S=||AB|?\AC\■sin^BAC=jx714XA<14X苧=容.

故選：B.

根據(jù)已知條件算出的I荏|、I左I與NB2C的大小，即可算出△48C的面積.

本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，屬于

中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由a+2b=2可得：（a+1）+2b=3,

因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù)，

所以由基本不等式可得:

18

/2?1、(a+l)+2b1,4b,a+1、X

a+丁1-

(H+戶—^，(4+中+丁)3-3-

當(dāng)且僅當(dāng)落=?時(shí)取等號(hào)，此時(shí)［"I

［b=l

所以當(dāng)高+加最小值時(shí)，二項(xiàng)式為g—乎=區(qū)—總產(chǎn)，

令”1，得（＞京）3=（：制=一5

所以二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-言.

04

故選：C.

先利用基本不等式求出言+［取最小值時(shí)a,b的值，得出（ax-§3=6—總尸；再利用賦值法，令％=1

即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到基本不等式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)?=0.75>0,所以y與久具有正線性相關(guān)關(guān)系，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由回歸直線的性質(zhì)可知，回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心6,?。?，故2正確;

對(duì)于C,因?yàn)榛貧w直線方程y=0.75%一75.71中a=0.75,

所以若該中學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重可能增加0.75kg,故C正確;

對(duì)于0,當(dāng)久=160時(shí)，y=0.75x160—75.71=44.29,

所以若該中學(xué)某女生身高為160c爪，則其體重約為44.29kg,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)回歸直線方程一一判斷即可.

本題主要考查了回歸直線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

n+1

【解析】解：an+an+1=(-l)

a9I0九+1-i

(-l)n+1+(-1嚴(yán)1—'

a

B即nn^+i1-可a.-_1L

所以數(shù)歹式旨｝是首項(xiàng)為號(hào)=3,公差為1的等差數(shù)歹U，

即席=n+2,

LU

n

BPWan=(-l)(n+2),

=(一I)，x(4+2)=6,故A正確;

+。15=(—l)n(ll+2)+(—l)is(15+2)=-30；。13=(-+2)=—15,所以的1+%5=

2a13，故5正確;

S12=+%+…+。11+。12=+。2)+(03+。4)+…++。12)=1+1+1+1+1+1=

6,故C錯(cuò)誤;

顯然九為奇數(shù)時(shí)，a九為奇數(shù)，幾為偶數(shù)時(shí)，a九為偶數(shù),

因此要滿足兩項(xiàng)之和為奇數(shù)，則取奇偶各一個(gè),

所以P2n=￥=六=；+］、7>］故。正確.

的冗2n—1222n—12

故選：ABD.

根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，通過構(gòu)造，求出數(shù)列通項(xiàng)公式，即可判斷A,B；理解數(shù)列的前n項(xiàng)積的概念，并通

過運(yùn)算即可判斷C；根據(jù)組合數(shù)以及概率的計(jì)算公式，即可判斷D.

本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)、古典概率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4連接AD,???PA1平面ABC,ABu平面ABC,

???PALAB,即PB=y/PA2+AB2=2<3,

又AB=2C=2,ZBXC=

BC=VAB2+AC2-2AB-ACCOSABAC=J22+22-2x2x2xcosy=

273，

貝ljBC=BP,。為PC的中點(diǎn)，BD1PC,故A正確;

對(duì)于B,設(shè)BC中點(diǎn)為E,連接力E,PE,

PA1平面ABC,AB,AC,AEu平面4BC,

PALAB,PA1AC,PA1AE,又PA=6,AB=AC=2,

PB=PC=V7,

又E為8C中點(diǎn)，PEIBC,

又48=AC=2,AB4C=半

AE1BC,AE=7AB2一BE2=1,

?.?平面PBCCl平面ABC=BC,

NPEA就是二面角P-BC-4的平面角,

PA----TT

tanZ.PEA=—=V3,/-PEA=

AEa

即二面角P-BC—4的為年故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)24中點(diǎn)為F,連接DF,BF,DF=1,

設(shè)PA=2x時(shí)，BF=VXB2+XF2=V4+%2,

APBC中，PB=PC=2,*2+i,

PC2+BC2-PB24(X2+1)+12-4(X2+1)J3(x2+l)

req/yH=_________=--____-______-_____—_2_______，

—2-PC-BC-2x2/I^<x2/3-2(7+1)

BD=VCB2+CD2-2CB-CDcosAPCB=V7+%2,

BD2+DF2-BF2_7+X2+1-(4+X2)_1

cosZ-BDF=-2BDDF-=-2/7^2-=2)

解得x=3,即PA=6,故C正確;

對(duì)于D,設(shè)△ABC的外心為。1，過Oi作平面ABC的垂線，球心。在垂線上，

又PA_L平面ABC,00J/PA,

又0P=。4。在PA的垂直平分線上，貝！|P4=2。。1=2，1,故。正確.

故選：ACD.

對(duì)于力，通過計(jì)算BC=BP,即可證BD1PC；

對(duì)于B,根據(jù)題意可得NPE4就是二面角P-BC-A的平面角，計(jì)算tan"R4即可得到二面角P-BC-A；

對(duì)于C,設(shè)P4=2x,作出異面直線夾角，再利用余弦定理結(jié)合條件列方程可得；

對(duì)于D,根據(jù)錐體外接球球心的作法，可作球心0,且PA=2。。1即可判斷.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于難題.

12.【答案】4

32

【解析】解：由指數(shù)塞與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得原式=（匈4+匈25）+（22”=匈100+2=2+2=4.

故答案為：4.

根據(jù)題意，利用指數(shù)幕與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

本題考查了對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】72

【解析】解：已知5名團(tuán)員中有3位女生，2位男生，活動(dòng)結(jié)束后5名團(tuán)員站成一排拍照留念，且兩名男生之

間有女生，

根據(jù)題意，先將二名女生全排列，有弟=6種不同的排法，

從三名女生的4個(gè)空隙中，選擇2個(gè)插入男生，有北=12種不同的排法，

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有6X12=72種不同的排法.

故答案為：72.

根據(jù)題意，先將三名女生全排列，再三名女生的4個(gè)空隙中，選擇2個(gè)插入男生，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可

求解.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

14.【答案】1

【解析】解：由e*-ax{ex+1)-1<0,得a%>—r,

由題意知，不等式a%>主百對(duì)任意％G[0山恒成立,

.e%—1

令/。)=西1

城(城+1)-靖(城-1)2〃

所以「(X)=0,

0+1)20+1)2

所以/(X)在R上單調(diào)遞增,

設(shè)/是過點(diǎn)(0,0)與f(x)=扁相切的直線，設(shè)切點(diǎn)為?,/?)),

則切線斜率層=/?)=]/，

由題意，得a>(片)2,tG[0,1]恒成立，

因?yàn)?(t)=1^==-一W=4，當(dāng)且僅當(dāng)-=，即t=0時(shí)等號(hào)成立,

0+1)2e2t+2/+14+/+22巧5+22屋

所以g(t)7nax=-f

所以Q之p

所以實(shí)數(shù)a的最小值為今

故答案為：

不等式變形為a%求得過原點(diǎn)且與相切的直線1的斜率的=房，，由題意得。之

[7妥]max，16[0,1],利用不等式求得g(t)=的最大值即得?

(er+l)(et+l)

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)由正弦定理得siTL4cosc+yTisinAsinC—sinB—sinC=0,

其中sinB=sin(i4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

i^y/~3sinAsinC—cosAsinC—sinC=0,

因?yàn)镃G(0,7i),所以sinCW0,故—cosA=1,

即2si7i(Z—*)=l,所以sin(Z-弓)=；,

因?yàn)锳6(0,7i)f所以/—6^~)9

血L解得

OOD

(2)由三角形面積公式得qbcs譏/=gbest謂=苧be=

ZZ34

故be=4,

由余弦定理得cosA=止2一bc'=安8於=I2>

解得爐+C2=8,

故(b+c)2=b2+c2+2bc=8+8=16,解得b+c=4,

故a+b+c=6,周長(zhǎng)為6.

【解析】(1)由正弦定理，sinB=sinAcosC+cos/s譏C得至！—cosA=1,再由輔助角公式求出答

案；

(2)由三角形面積公式求出be=4,由余弦定理得到力2+=8,從而得到b+c=4,得到周長(zhǎng).

本題考查解三角形問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題.

16.【答案】當(dāng)a40時(shí)，f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，在。,+8)上單調(diào)遞增，在(0,》上單調(diào)遞減；

1或e.

【解析】⑴由題意得/(久)的定義為(0,+8),且「⑺=口一強(qiáng)+?=段七譽(yù)±旦

當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=一(二1)<0恒成立,此時(shí)下(久)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a力0時(shí)，令f，(x)="磬1)=0,則久=-1或x=

1

當(dāng)。<0時(shí)，則￡<0，當(dāng)％e(0,+8)時(shí)，廣(x)V0,/(%)單調(diào)遞減;

11

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)0<%</時(shí)，/'(%)<0,當(dāng)久>公時(shí)，/'(%)>0,

/(久)在。,+8)上單調(diào)遞增，在(0,J上單調(diào)遞減；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在。,+8)上單調(diào)遞增，在(0、)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)可得當(dāng)aWO時(shí)，f。)為減函數(shù)則無最小值,所以a>0,

當(dāng)a>0時(shí)，即x=；時(shí)，/(x)取得極小值也是最小值/'(，)=ax：+a+(a-l)ln^=2,

所以(a—1)(1—Ina)=0,解得a=1或a=e,

故函數(shù)/(%)的最小值為2,實(shí)數(shù)a的值為1或e.

(1)由題意得廣(x)=(ax-go+i)，分別討論a=0,a<0,a>0的情況，即可求解；

(2)由(1)可得當(dāng)a>0時(shí)函數(shù)/(久)有最小值，從而可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】分布列見詳解；E(X)=與；

證明見詳解;^=1+^[l-(-|)n-1].

【解析】(1)最終得分為X的可能取值為2,3,4,

則P(X=2)=(|)2=1,P(X=3)=6嗎X|=4P(X=4)=(|)2=

可得隨機(jī)變量X的分布列為

X234

144

P

999

144

2X+3X+4X-

9-9-9-

(2)證明：PL"P2=|+!x|=^且%+2=料+1+■，

因?yàn)椤?一七=扛0,且曠P片=",+1

可知數(shù)列｛Pn+l-4｝是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以Pn+i—%《x(—1yl=(-|嚴(yán)1,

當(dāng)nN2時(shí),則P2—P]=(一護(hù)(一|)3,…,4—p…=(一護(hù)

相加可得用-Pi=(-|)2+(-|)3+...+(-|r=^[i—(一|)…|,

則修=/京1-(-|尸]，

且n=l時(shí)，Pi=g符合上式，所以七=3京1—(―|)Z].

(1)由題意可知：最終得分為X的可能取值為2,3,4,結(jié)合二項(xiàng)分布求分布列和期望；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可得Pl=g,P2=l，且乙+2=2+1+|4，根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合累

加法求通項(xiàng)公式.

本題考查離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解析；|；sine￡[嬰,1].

【解析】(1)證明：因?yàn)镻21底面ABC。，CDu平面ABC。，所以PA1CD,

又因?yàn)锳C1CD,ACCtPA=A,AC,PAu平面PAC,

所以CD1平面PAC.

又因?yàn)?Eu平面PHC,所以CD1AE.

(2)因?yàn)镻A1底面4BCD,4Bu平面ZBCD,所以P414B,

如圖，以4為原點(diǎn)，彳瓦而，衣為％,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镹4BC=60°,PA=AB=BC=273,^BAD=90°,^ACD=90°,

所以2。=2門，Z.C4D=30。，DC=2,AD=4,

所以4(0,0,0),P(0,0,2<3)>B(2<3,0,0),￡>(0,4,0),C(<3,3,0),

因?yàn)镋是線段PC的中點(diǎn)，所以以?,|,門)，

所以版=件,|,門)，麗=(一苧,|,V3)，SC=(-/3,3,0)，PB=(2/3,0,-2/3)，

設(shè)平面ABE的法向量為記=(Xi，yi，zi),

則匹中則匡記=。,即仔：+/+f=°,

(BE-m=0+怖月+=0

取為=2,則與=0,Z]=—/3>

所以方=(0,2,—，耳)為平面4BE的一個(gè)法向量.

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x2,y2,z2),

貝山里1元，貝U皎?記=。，即(26x2—2，IZ2=0,

(BC1n^BC-n=0(—\Z-3x2+3y2=。

取久2=貝02=1，Z2=V-3,

所以元=(C,l,JI)為平面PBC的一個(gè)法向量.

二匚a—>一、沅?五0xV_3+2xl+(—V-3)xV~31

所以cos<m,7l>=而響='0+4+3X北+1+3=一〒

所以平面4BE與平面PBC夾角的余弦值為今

(3)由(2)知P(0,0,2，^),C(73,3,0),。(0,4,0),

所以正=(門,3,—2門)，PD=(0,4,-2A<3)，AP=(0,0,273)?AB=(2>f3,0,0)，

若點(diǎn)E與P重合，則平面ABE即為平面48P,

則而=(0,4,0)為平面4BP的一個(gè)法向量.

則血。=|cos(機(jī)前>|=|理±篝富%?=耳,

若點(diǎn)E與C重合，則平面ABE即為平面4BCD,

則布=(0,0,20)為平面ABE的一個(gè)法向量.

則sin。=|cos(西麗|=|理吐黑等*|=手，

若點(diǎn)E與點(diǎn)P、C均不重合，

由方與玩共線，設(shè)方=4定=(，3尢34一2，3；1),且0<2<L

則荏=AP+PE=(0,0,2AA3)+(73A,32,-2A<3A)=(Ol,3A,273-2A<3A).

設(shè)平面ABE的法向量為Z=(x3,y3,z3),

則西1則拜■t=0；即度&3+3楊+(2<3-273A)Z3=0,

1t\AB-t=o'(2/3%3=0

取Z3=貝！I比3=0,y3="7),

所以E=(0,"(0<A<1)是平面ABE的一個(gè)法向量.

A

因?yàn)辂?(0,4,-2，5),

|0x0+4x^=^+(-2Af3)XA<3|

所以s譏。=|cos<PD,t>I=I湍卸

JO+42+(-2<3)2XJ0+[^^i]2+(73)2

2/7XJ4(早產(chǎn)+3CxJ4(書壇V7x14(早)2+3,

令k=：_1，則ke(3,+8),g(0,,

sinff=----1卜=----11=「1]

gj(”3苧卜領(lǐng)李網(wǎng)書I，

因?yàn)?1G一》之+狂[今》所以sin。e(工31].

綜上，sin3E[[^,1]?

(1)由PZ1底面ABC。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到241CD,再結(jié)合AC1CD利用線面垂直的判定證得CD1

平面R4c即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面4BE與平面PBC的法向量，結(jié)合向量夾角公式求解；

(3)當(dāng)點(diǎn)E與P或C重合時(shí)，可直接求PD的方向向量與平面4BE的法向量的夾角余弦值；若點(diǎn)E與點(diǎn)P、C均

不重合時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E在PC上，可設(shè)而=4正（0<a<1）,求得荏，從而得到平面4BE的法向量，再用4

表示出PD與平面力BE所成角的正弦值sin。，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的值域求解即可得到s譏。的取值范

圍.

本題考查線線垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于難題.

19.【答案】］+q=i；

①證明過程見解析；

（嗚

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)QO，y）是所求曲線C上的一點(diǎn)，且「（久1，月），

因?yàn)镻D1無軸于。，

所以0（孫0）,

因?yàn)辂?苧而，

所以k=加X

因?yàn)辄c(diǎn)P是圓/+V=4上任意一點(diǎn)，

7

所以％2+（-^=y）2=4,

整理得手+4=1,

43

則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+4=1;

（2）?）證明：當(dāng)直線1的斜率存在且不為0時(shí)，

設(shè)直線2方程為y=fc（x-1）,8（%2，、2），

y=k（x—1）

聯(lián)立%2丫2,消去y并整理得（3+4/）/一8^2%+妹2-12=0,

（T+T=1

2

由韋達(dá)定理得%1+、2=§\廬

2

所以%+y2=做久1+x2-2）=2）=一1片，

可得叭黑‘一券）,

因?yàn)橹本€DE與直線1垂直，

所以直線DE的方程為y=-1）,

設(shè)。（％3，%）'E（%4，y4），

y=_T（第_1）

聯(lián)立，22，消去、并整理得（3憶2+4）%2一8%+4-12好=0,

乙+匕=1

V43

由韋達(dá)定理得%3+%4=-

3k+4

-1