專(zhuān)題24雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

’內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的定義

1、定義：在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳、工的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于陽(yáng)與I）的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線.兩個(gè)定點(diǎn)及、工稱為焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距，表示為閨耳,

2、雙曲線的集合表示：尸={"阿4|-惘3=2",0<2”閨F2|}.

注意：（1）若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)a滿足約束條件：

儼媚—?dú)w閭=2a<|耳聞（a>0）,則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)工的一支;

I里|一忙耳|=2。<|耳司（a>0）,則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)耳的一支;

（2）若常數(shù)a滿足約束條件：||尸用—怛司=2a=由國(guó)，

則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以Fi、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；

（3）若常數(shù)a滿足約束條件：忸用-|Pg|=2a>|片閭，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；

（4）若常數(shù)a=0,則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。

知識(shí)點(diǎn)02：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

知識(shí)點(diǎn)03：雙曲線的焦點(diǎn)三角形

求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形耳心面積的方法

(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出歸周-歸磯=2a；

②利用余弦定理表示出|P制、|P閶、|耳閭之間滿足的關(guān)系式;

③通過(guò)配方，利用整體的思想求出|明卜|?居|的值；

④利用公式S=gx||P閭sinN與P鳥(niǎo)求得面積。

(2)利用公式S=gx閨耳卜屏|求得面積；

【題型01：雙曲線的定義及辨析】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?北京延慶?期末）已知尸是雙曲線C:土-二=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)距離之

412

差的絕對(duì)值為（）

A.+4B.4C.8D.4v

2.（24-25高二上?安徽蚌埠?期末）已知A（0,-2）,8（0,2）,動(dòng)點(diǎn)P滿足|上4HpM=2,則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線的一支C.雙曲線D.射線

22

3.（24-25高二上?山西晉中?月考）雙曲線=-匕=l（a>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片與尸2,焦距為8；M是雙

a12

曲線上的一點(diǎn)，且|咋|=5,貝詞的值為（）.

A.9B.1C.1或9D.2

22

4.（24-25高二下?河南?月考）雙曲線C：土-工=1上的點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為19,則它到左焦點(diǎn)的距

25144

離為（）

A.9B.7C.9或29D.7或19

5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸（x,y）滿足J（x+2『+r一J（尤一2）2+/=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線左支

C.雙曲線右支D.一條射線

6.（24-25高二上?湖北武漢?期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)A（-2,0）,3（2,0）,點(diǎn)尸是平面內(nèi)一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若|以|+歸同=4,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓

B.若|咫-2|郎=0,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

C.若忸川-忸同=4,則點(diǎn)尸的軌跡為直線

D.若|必-|尸3|=2,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支

【題型02：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

一、單選題

1.（24-25高二上?四川成都?期末）設(shè)耳（-5,0）,耳（5,0）為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足|附卜|桃||=6，則動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程為（）

A.工+匚1B,匚匚1C,匚屋1D,￡-^=1

916916916916

2.（24-25高二上.北京?月考）化簡(jiǎn)方程優(yōu)尤+5）2+。--5）氣。=8的結(jié)果是（）

A-=1D.-----------=1

-73916

「尤2丁

1D-

2516

3.（23-24高二上.云南迪慶.期末）已知點(diǎn)“卜2百,0）,N（2區(qū)動(dòng)點(diǎn)P滿足條件1PM尸N|=4.則動(dòng)

點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

2222

A.J匕=1人2)B.--^=l(x<-2)

416I741617

2222

C.--^=l(x>4)D.---匕=l(x4-4)

164I)16417

4.（24-25高二上?內(nèi)蒙古包頭?期中）過(guò)點(diǎn)（2,2）且與橢圓9/+3y2=27有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（）

A.^-21=1B,《一￡=1cD

6868?卜-9j

5.（24-25高二上.河北?期中）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（2也@,4-2五-阿，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

V2V2

A一「-1B.土-匕=1

4334

c.

34

【題型03：判斷方程是否表示雙曲線】

一、單選題

1.（24-25高二上?北京大興?期末）已知雙曲線」1+4=1的焦點(diǎn)在x軸上，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

m-12-m

A.（fl）B.（1,2）

C.（1,+co）D.（2,+8）

22

2.（24-25高二上?四川內(nèi)江?期末）若方程「-----匚=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是（）

m+1m-1

A.（-1,1）B.（-^,-1）

C.D.（-8,-

22

3.（24-25高二上?山東青島?月考）關(guān)于x,y的方程-------匚=1,給出以下說(shuō)法錯(cuò)誤的為（）

4-m3+m

A.方程可以表示雙曲線B.方程可以表示橢圓

C.方程可以表示圓D.當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，焦距為定值

4.（24-25高二上?云南臨滄?月考）當(dāng)a從。至1］兀逐漸變大時(shí)，方程尤2+ycosa=l表示的曲線依次為（）

A.圓，橢圓，兩條直線，雙曲線

B.圓，橢圓，雙曲線

C.橢圓，一條射線，雙曲線，圓

D.圓，橢圓，一條直線，雙曲線

二、填空題

22

5.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)汜知方程烏匚+=1所表示的曲線為雙曲線，則加的取值范圍為_(kāi)____.

2-mm-3

6.（23-24高二上?重慶?期末）若方程〃/+（2+根）爐=1表示焦點(diǎn)在了軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為.

【題型04：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】

一、單選題

22

1.（24-25高二上?北京?月考）設(shè)月，F(xiàn)?分別是雙曲線匕-土=1的下、上焦點(diǎn)，P是該雙曲線上的一點(diǎn),

412

且31P6|=5歸鳥(niǎo)|,貝U2月外的面積等于（）

A.12B.24C.12A/3D.2473

2-?25高二下?安徽?月考）設(shè)P是雙曲線Cq-右支上一點(diǎn)'小工分別是雙曲線C的左、右

焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q為線段尸耳的中點(diǎn)，若則|尸耳|的值為（）

A.2B.4C.6D.8

222

3.（24-25高二上?河北衡水?月考）已知橢圓土+匕=1與雙曲線V一匕=1有相同的焦點(diǎn)小鳥(niǎo)，且橢圓與

a123

雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,貝Ij的值為（)

12-34

A.-B.-C.一D.-

5555

4.（24-25高二上?江蘇泰州?期中）已知雙曲線C：玄-丁=1的左右焦點(diǎn)為耳,工，過(guò)尸2的直線/與雙曲線C

的右支交于A，3兩點(diǎn)，若1加1=2,則一小祖的周長(zhǎng)為（）

A.12B.14

C.10D.8

22

5.（24-25高二上?河南?月考）已知耳，F(xiàn)?分別是雙曲線C：1T-齊=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為C

上一點(diǎn)，有即=3,且「耳尸耳的面積等于66,貝畀=（）

A.76B.6C.V3D.3

二、填空題

22

6.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）己知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-匕=1,左、右焦點(diǎn)分別為耳B，且雙曲

916

線上有一點(diǎn)尸使得S兩弓=25,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

22

7.（24-25高二上?陜西西安?月考）已知雙曲線C：T-%=l（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)尸在

雙曲線右支上，則P耳工的內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

【題型05：雙曲線中的軌跡方程問(wèn)題】

一、單選題

1.（24-25高二上?云南?月考）設(shè)A5兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3,0）,（3,0）,直線AM與瀏/相交于點(diǎn)M,且

2

它們的斜率之積為則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

2.（23-24高二上?四川成都?期末）相距1400m的A,8兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s,已知聲

速是340m/s,炮彈爆炸點(diǎn)一定在曲線（）的方程上.

2222

A.——-----------........=1(%K—510)B.—................—=1(x2510)

260100229900260100229900

C.y=0(x<一700或%>700)D.—------------—=1

260100229900

3.（23-24高二上?重慶?期中）已知"（-2,0）,圓C:x2-4x+y2=o,動(dòng)圓p經(jīng)過(guò)M點(diǎn)且與圓C相切，則動(dòng)

圓圓心尸的軌跡方程是（）

,-V2,、

A.x2-^-=l(x>l)B.y-y2=l(x>V3)

Cx2V-1v-2

D.——/=]

33

二、填空題

4.（23-24高二上.河南周口?期末）動(dòng)點(diǎn)”（x,y）與定點(diǎn)網(wǎng)0,3）的距離和它到直線=g的距離的比是常

數(shù)則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.

5.（24-25高二上?上海?課堂例題）已知尸為圓C：（尤-5『+y2=36上任意一點(diǎn)，A（-5,0）.若線段以的

垂直平分線交直線尸C于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡方程為.

【題型06：雙曲線中的距離最值問(wèn)題】

一、單選題

1.（24-25高二上?江西?月考）已知雙曲線C:；-y2=i的右焦點(diǎn)為F?,點(diǎn)尸在。的右支上，且。（2,1,

則|尸0+|「閶的最小值為（）

A.4-273B.后一2石

C.岳-26D.近

2

22

2.（23-24高二上?浙江金華?月考）已知圓C:/+（y-4）2=l上有一動(dòng)點(diǎn)尸，雙曲線M：上一匕=1的左焦點(diǎn)

97

為尸，且雙曲線的右支上有一動(dòng)點(diǎn)Q,則|PQ|+|Q-的最小值為（）

A.472-1B.4A/2-5C.40+7D.40+5

3.（24-25高二下?貴州貴陽(yáng)?月考）過(guò)雙曲線V-、=i的右支上一點(diǎn)八分別向圓G：（無(wú)+3）?+/=2和圓

G：（x-3y+y2=l作切線，切點(diǎn)分別為/、N,則忸的最小值為（）

A.10B.11C.12D.15

二、填空題

4.(24-25高二上?上海?期末)已知尸是雙曲線。:亍-丁=1的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在雙曲線的左支上，點(diǎn)。為

圓G：f+(y+2)2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則歸Q|+|PF|的最小值為一.

丫2

5.(24-25高二上?山西太原?期末)已知雙曲線E：工-丁=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)加是月右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

3

N是圓X2+(y-2)2=3上的動(dòng)點(diǎn)，貝“肱—的最大值為.

定義在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)

一、雙曲線的定義附W瑪|=2a<國(guó)同(a>0),

則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)行的一支；

理解

四卜|兩|=%<國(guó)用|(a>0),

則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)我的一支；

焦點(diǎn)在Z軸上=l(a>0朽>0>

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)在沙軸上<a>0-6>0)

三、雙曲線中的焦點(diǎn)三角形

一、單選題

1.(23-24高二上.江西?月考)已知點(diǎn)8(0,4),C(0,-4),動(dòng)點(diǎn)A滿足||4?|-卜。=26,則A的軌跡方程為

()

y2

A.B.

313164

D=i

C.-f4

164

22

2.（24-25高二上?廣東?期中）已知雙曲線C:土-二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片，K,雙曲線C上有一點(diǎn)P,

412

若戶用=5,則歸用=（）

A.9B.1C.1或9D.11或9

22

3.（24-25高二下?甘肅慶陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）已知方程—土—+3―=1表示焦點(diǎn)在無(wú)軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)”

5+2m2m-1

的取值范圍是（

A.1一？,+8

2

4.（24-25高二上?山西太原?期末）已知雙曲線C以橢圓方程E：/+1_=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以E的頂點(diǎn)為

焦點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22丫2

A.—-/=]B.f_2L=iD.丁——=1

4444

5.（24-25高二上?新疆?月考）動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)“（TO）,N（1,O）的距離之差等于2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線的一支

C.兩條射線D.一條射線

6.（24-25高二上.遼寧?期末）已知A（0,-2后），網(wǎng)0,2后），動(dòng)點(diǎn)夕滿足回-閥=2嶼，則點(diǎn)P的軌跡

方程為（）

22

2*4

A.^--x=l（y>V7）B.'一尤2=]

22

C.5-丁=1（尤n"）D.-^--y2=1

7.（24-25高二上?天津河北?期末）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（-2,0）,且與橢圓4/+9;/=36有公共焦點(diǎn)，則雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

2222

A.---%2=1B.-=1C./一匕=iD.-=1

4444

8.（24-25高二上?四川綿陽(yáng)?期中）已知A（-1,O）,8（1,0）,直線相交于點(diǎn)M,且直線AM與直線

BM的斜率之積為1,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.x2+y2=l（x±1）B.x2-y2=l（x^±1）

22

C.x2-^-=l（x^±l）D.x2+^-=l（x^±l）

9.（24-25高二上?貴州銅仁?月考）在平面直角坐標(biāo)系My中，已知點(diǎn)A（-2,0）,B（2,0）,尸是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若|剛+怛到=4,則點(diǎn)尸的軌跡為橢圓

B.若IPA+MH%一尸耳，則點(diǎn)尸的軌跡為圓

C.若|必-仍理=2,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

D.若|尸加2_怛3|2=4,則點(diǎn)尸的軌跡為一條線段

10.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知6，F(xiàn)?分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)目的直線與雙曲線C的左支交

于A8兩點(diǎn)，若|前|=2國(guó)用，|的=忸閭,貝ijcosN片3?=（）

A.—B.-C.-D.-

18993

11.（24-25高二上?湖北武漢?期末）已知圓A:（x+3）2+V=4,3（3,0）,點(diǎn)尸在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段網(wǎng)的

垂直平分線和直線班的交點(diǎn)為。，則。點(diǎn)的軌跡方程為（）

A.x2-^=lB.x2-^=lC.y2-—=lD.y2-^=l

8686

12.（24-25高二上?江西?月考）若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A（2,0）,且和定圓C:（x+2『+/=1外切，則動(dòng)圓圓心尸的

軌跡方程為（）

A.x2=B.x2_：=］（xV_g）

C.4/一蔣=1『一D.4x2=

22

13.（23-24高二上.江蘇蘇州?月考）已知雙曲線C:3-\=1的下焦點(diǎn)為尸，4（3,7）,尸是雙曲線C上支

上的動(dòng)點(diǎn)，貝班尸耳-|即|的最大值是（）

A.不存在B.8C.7D.6

二、填空題

14.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2，￥］網(wǎng)3,-2拒）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.（23-24高二上.天津靜海?月考）若方程（1+租）尤2一根了2=］表示焦點(diǎn)在，軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍為.

16.（24-25高二上?湖南?期中）設(shè)片，F(xiàn)?為雙曲線］一y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線上的一點(diǎn)，且

/居尸居=90,則片PF2的面積為.

17.（23-24高二上?山西大同?期末）點(diǎn)K，F(xiàn)?分別是雙曲線E：'-y2=i的左