第15講等邊三角形

期內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

【知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)】

性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于三。.

【注意】

（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；

（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).

【知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定】

1.定義法：：三邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

3.有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

【知識(shí)點(diǎn)3含30。角的直角三角形的性質(zhì)】

性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的二生.

證明：如圖，延長(zhǎng)8C到。，使CO=BC,連接則NC是3。的垂直平分線，所以

又因?yàn)?B=90°-/BAC=90°-30°=60°,所以ZU8D是等邊三角形，所以BD=AB.又BD=2BC,

所以.由此可以得到上述結(jié)論.

8練題型強(qiáng)知識(shí)

【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】

【例1】如圖，△4BC為等邊三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的直線與AC相交于點(diǎn)E,與的延長(zhǎng)線

相交于點(diǎn)尸，當(dāng)AE=AD時(shí)，則Z_F=

【變式1-1】如圖，△力BC是等邊三角形，BDLAB,BD=AB,則N4DC的度數(shù)為（

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

【變式1-2］如圖，△ABC是等邊三角形，AE^CD,AD,BE相交于點(diǎn)P,8QL力。于點(diǎn)Q,求NBPD的度數(shù).

【變式1-3］如圖，D,E分別是等邊三角形4BC的邊力B,力。上的點(diǎn)，SLAD=CE,求48。。的度數(shù).

【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例2】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6,BD是N4BC的平分線，延長(zhǎng)BC到￡,使CE=CD,貝UBE的長(zhǎng)

為（）

A

D

17

A.7B.8C.—D.9

2

【變式2-1］如圖，ZkaBC和△DEF都是等邊三角形，點(diǎn)分別在邊A8,BC,4C上，若△4BC的周長(zhǎng)為

15,XF=2,貝!］BE的長(zhǎng)為.

【變式2-2］如圖，△4BC,△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)/,￡）,E在同一條直線上，連接8E.若BE=1,4E=4,

求CE的長(zhǎng).

【變式2-3］如圖，等邊三角形ABC中，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E使得CE=：BC,過(guò)點(diǎn)。作DF，BE于上試

說(shuō)明：BF=EF.

【題型3含30。角的直角三角形的性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用】

【例3】如圖，在△ABC中，AB^AC,48=30。，AD_L48交8C于點(diǎn)。，力。=2,貝UBC的長(zhǎng)是（）

【變式3-1］如圖，點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為3的等邊△4BC一邊8c上的一點(diǎn)，OE、OF分別與兩邊垂直，則BE+CF

A

【變式3-2］如圖，在等邊三角形4BC中，BC=8,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DF，力C于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作

EFLBC于點(diǎn)￡,貝UBE的長(zhǎng)為（）

【變式3-3］如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,NA=30°,AB的垂直平分線分另U交4B和4c于點(diǎn)D、E,CE=3,

4c的長(zhǎng)為（）

【題型4作垂線構(gòu)造含30。角的直角三角形】

【例4】如圖，在△ABC中，/.ABC=60°,BC=24,點(diǎn)。在84的延長(zhǎng)線上，CA=CD,BD=15,貝必。的

長(zhǎng)為（）

【變式4-1］如圖，在等邊三角形ABC中，D是4C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是4B上一點(diǎn)，連接BD,ED.若DE=DB,

AD+AE^10,BE=2,則BC的長(zhǎng)為.

D

【變式4-2］如圖，在等腰三角形力BC中，AC=BC,點(diǎn)E,尸在等腰三角形ABC的內(nèi)部，連接力E,EF,CF,

使NBAE=N4EF=60°,且CF平分N4CB.若4E=5,EF=3,貝!MB=.

【變式4-3】如圖，在△力BC中，^ABC=60°,以AC為邊在△ABC外作等邊△4CD,過(guò)點(diǎn)。作DE1BC.若力B=

5.4,CE=3,貝1JBE=.

【例5】如圖，在△力BC中，。為力B邊上一點(diǎn)，DF1BC于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FD、G4交于點(diǎn)E.若乙E=30°,AD=4E.求

證：△力BC為等邊三角形.

【變式5-1】等邊△力BC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)。在△力BC外，S.^ABP=^ACQ,BP=CQ,問aARQ是什

么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論.

A

Q

B

【變式5-2】已知:如圖，在△ABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，DELAB,DF1.AC,點(diǎn)￡、尸為垂足，5.DE=DF,

乙4=120°.

(1)求證；ABDE=ACDF；

(2)求證：△DEF是等邊三角形.

【變式5-3］在△4BC中，NB=90。，。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC,CD的垂直平分線的交點(diǎn)，連接瓦4,

EC,ED.

(1)如圖(1),當(dāng)NB4C=50。時(shí)，貝°；

(2)如圖(2),當(dāng)NB4C=60。時(shí)，連接力D,判斷△4ED的形狀，并給予證明.

【題型6等邊三角形的判定與性質(zhì)】

【例6】如圖，△ABC與△力BD都是等邊三角形，點(diǎn)E、尸分別在BC,4C上，BE=CF,4E與BF交于點(diǎn)G.

⑴求乙4GB的度數(shù)；

(2)連接DG,求證：DG^AG+BG.

【變式6-1］如圖1,在等邊△力BC中，E為邊力C上一點(diǎn)，。為BC上一點(diǎn)，S.AE=CD,連接力。與BE相交于

點(diǎn)F.

(1)40與BE的數(shù)量關(guān)系是，AD與BE構(gòu)成的銳角夾角NBFD的度數(shù)是；并說(shuō)明理由.

(2)深入探究，將圖1中的力。延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使FG=BF,連接BG,CG,如圖2所示.求證：G2平分N8GC(第

一問的結(jié)論，本問可直接使用)

【變式6-2】如圖，△4BC和△ADE是等邊三角形，CE、BD交于點(diǎn)F,連接力F.

(1)求證：CE=BD；

(2)求證:乙AFC=60°；

(3)判斷線段ZF、BF、CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式6-3］如圖，△力BC是等邊三角形，點(diǎn)。在4C上，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，且8。=DE.

⑴如圖(1),若點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，求證：AD=CE-,

(2)如圖(2),若點(diǎn)。不AC的中點(diǎn)，=是否成立？證明你的結(jié)論；

(3)如圖(3),若點(diǎn)D在線段4C的延長(zhǎng)線上，試判斷4D與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【題型7等邊三角形中多結(jié)論問題】

【例7】如圖，△4BC中，BF,6分另IJ平分N4BC和乙力四，過(guò)點(diǎn)尸作DE||8C交AB于點(diǎn)￡),交AC于點(diǎn)E,那

么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A

A.4DFB=乙DBFB.乙ECF=4EFC

C.ZBFC=90°+1z/1D.△ADE的周長(zhǎng)等于△BFC的周長(zhǎng)

【變式7-1］如圖，已知等邊三角形ABC,AB=2,點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)尸在AC延長(zhǎng)線上，BD=CF,DE1BC

于E,FG1BC于G.DF交BC于點(diǎn)P.則下列結(jié)論：①BE=CG；②&EDP=AGFP；③4EDP=60°；

@EP=1.其中一定正確的是（）

【變式7-2］如圖，分另IJ以△力BC的邊力B,4C所在直線為對(duì)稱軸作△4BC的對(duì)稱圖形和

△ACE.^.BAC=150°,線段BD與CE相交于點(diǎn)。，連接BE、ED、DC、OA.有如下結(jié)論：?^EAD=90°；

②&BOE=60°；③△A8E是等邊三角形；④BP=EQ,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【變式7-3］如圖，已知△力BC,分別以48、AC為邊向外作等邊△力BF和等邊△ACE,CF和BE交于。點(diǎn)，則

下列結(jié)論：①CF=BE；②NCOE=60。；③。4平分NFOE；④。E=04+OC.其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

串知識(shí)識(shí)框架

8過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

1.如圖，△ABC是等邊三角形，BC1CD,且AC=CD,貝比84。的度數(shù)為（）

2.滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（）

①有兩個(gè)角是60。的三角形②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形

③腰上的高也是中線的等腰三角形④三個(gè)外角都相等的三角形

⑤有一個(gè)角為60。的等腰三角形.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.如圖，△4BC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE,若BE=2,4E=8,貝！|CE

的長(zhǎng)是（）

A.4B.5C.6D.7

4.如圖，在△力BC中，ZC=30°,AD1AB,垂足為點(diǎn)4交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。的直線山恰好垂直平分線段4C,

AD=5,貝的長(zhǎng)是（）

A

m

B/DC

A.12B.15C.18D.20

5.如圖，在等邊△力BC中，力C=9,點(diǎn)。在AC上，且4。=3,P是4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP,將線段OP繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段。D,若使點(diǎn)。恰好落在BC上，則線段4P的長(zhǎng)是()

A.4B.5C.6D.8

6.如圖，在△4BC中，^BAC=120°,AC=8,。為BC的中點(diǎn)，AD1AB,貝ijAB的長(zhǎng)為

7.如圖，△ABC和△力DE均為等邊三角形，點(diǎn)8,。,E在同一直線上，若NEBC=35。，則NEC4的度數(shù)

為___________.

8.如圖，。為等邊三角形力BC內(nèi)一點(diǎn)，AD=BD,BP=AB,乙DBP=LDBC,貝Ij/BPD=度.

9.如圖，N力。B=60。，點(diǎn)C是30延長(zhǎng)線時(shí)的一點(diǎn)，OC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的

速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿射線。4以lcm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、0同時(shí)出發(fā)，用1(s)表示移動(dòng)

的時(shí)間，當(dāng)1=s時(shí)，△尸。。是等邊三角形.

A

CpOB

10.如圖，C為線段/￡上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)力,￡重合)，在/￡同側(cè)分別作等邊△/反:和等邊△CDE,AD

與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①4。=BE；②PQIIAE；

③OP=OQ；④△CP。為等邊三角形；⑤乙4OB=60。；其中正確的有(注：把你認(rèn)為正確的答案序

號(hào)都寫上)

11.如圖，在四邊形ABCD中，AB||CD,C4平分NBCD,4"_1(7。于點(diǎn)〃，BNLAC于點(diǎn)、N,連接MN.

(1)證明：AB=BC；

(2)若NC4B=30。，證明：是等邊三角形.

12.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的邊力B上一點(diǎn)P,作PEIAC于點(diǎn)E,Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ

時(shí)，連接PQ交4C邊于點(diǎn)0.

(1)求證：。為PQ中點(diǎn)；

(2)DE的長(zhǎng)為一？

13.如圖，在△力BC中，A